GPS

Har du noen gang g?tt deg litt vill p? tur og lurt p? hvordan GPS-en i mobilen alltid vet hvor du har gjort av deg? Det er ikke  bare teknologi som st?r bak dette, men ogs? fysikken i sitt mest fascinerende slag. 

Og her har Einstein en finger med i spillet. For uten relativitetsteorien hadde det ikke v?rt s?rlig mye bruk for GPS¡¯er. Satellittene suser h?yt over hjemplaneten din med kjempe store hastigheter, og de vil derfor oppleve tiden litt annerledes enn det du nede p? planetoverflaten gj?r. Om vi ikke tar hensyn til den lille tidsforskjellen mellom oss og satellittene, kan dette skape katastrofale problemer.

Situasjonen

Forestill deg denne situasjonen: Vi st?r p? overflaten til hjemplaneten, mens vi har to trofaste hjelpere i form av GPS-satellitter som svever over oss i verdensrommet. Vi har en mottaker som tar imot signaler om b?de satellittens posisjon og tid fra satellittene. So far, so good ikke sant? Men hva skjer etter en liten stund?

F?r vi begynner p? eksperimentet v?rt s? skal vi s?rge for ? synkronisere klokkene v?re. Slik at alle klokkene viser den samme tiden og livet er fint. Men n? skal vi la tiden g? litt og se hvordan det hele blir veldig interessant. Vi skal bruke signalene fra satellittene til ? finne ut av hvor vi faktisk befinner oss p? plantoverflaten, ogs? skal vi sammenligne dette med hvor vi tror vi er. 

For enkelhetens skyld skal vi se p? dette som et todimensjonalt system, alts? vi mottar informasjon om posisjonene i et \((x,y)\)-system. H?rte jeg deg si enda flere forenklinger v?r s? snill? Ja det skal du s? klart f?! Vi antar at satellittene beveger seg i perfekte sirkler rundt planeten, og at planeten ikke roterer rundt sin egen akse, slik at vi er i ro p? planeten relativt til satellittene. 

La oss sette teorien p? pr?ve!

Metode

N? skal vi gj?re noe som h?res en del enklere ut enn det er, vi skal nemlig finne v?r n?yaktige posisjon p? overflaten av planeten med hjelp av satellittene v?re!

Det blir kanskje ikke heeeelt n?yaktig i f?rste omgang, for vi begynner med ? regne ut posisjonen v?r uten ? inkludere de relativistiske korreksjonene. S? vi havner kanskje n?rme nok uansett, men vi g?r ikke full Einstein riktig enda.

Det f?rste vi gj?r er ? finne h?yden over bakken til satellittene. N?r vi mottar signalet fra dem, s? f?r vi posisjonene deres i x- og y-koordinater. Da kan vi bruke gode gammeldagse Pythagoras for ? regne avstanden \(r\) fra satellittene ned til planetenes sentrum. 

Vi setter inn informasjonen fra signalet inn i en tabell:

Fra denne tabellen henter vi ut posisjonene til satellittene, og regner ut avstandene deres. Men vi ser at vi mangler et felt - vi vet jo ikke hvor vi er enda! Men n? er vi p? riktig vei, la oss regne ut h?yden til satellittene:

\(r_{\text{satellitt 1}}=| \vec{r}_{\text{satellitt 1}} |=\sqrt{(7952.577 )^2 + ( -6494.839)^2}\ \text{km}=10267,736 \ \text{km} \approx10267,74\ \text{km} \)\(r_{\text{satellitt 2}}=| \vec{r}_{\text{satellitt 2}} |=\sqrt{(10134.553)^2 + ( -1648.407)^2}\ \text{km}=10267,727 \ \text{km} \approx10267,73\ \text{km}\)

Siden satellittene beveger seg i en sirkelbane kan vi anta at denne avstanden fra sentrum er omtrent den samme overalt i banen.

Satellittenes h?yde over bakken blir da avstanden vi nettopp regnet ut, minus radiusen av planeten som er \(R_{\text{planet}}=3688,76259 \ \text{km}\).

\(h_{\text{satellitt 1}}=10267,736 - 3688,76259 = 6578,97341 \ \text{km}\)

\(h_{\text{satellitt 2}}=10267,727 - 3688,76259 = 6578,96441 \ \text{km}\)

For begge satellittene er h?yden over bakken omtrent \(6579 \ \text{km}\)! Men n? begynner vi ? bli nysgjerrige p? hastighetene deres. Hvor fort beveger de seg i bane rundt planeten v?r? Her kommer Newtons gravitasjonslov og sentripetalakselerasjonen til unnsetning.

Hva er hastighetene til satellittene?

Siden vi tenker oss at satellittene beveger seg i perfekte sirkul?re baner, og at gravitasjonskraften m? balansere seg mot sentripetalkraften for at de skal kunne forbli i banen sin. Vet vi at formelen for hastigheten blir ganske rett frem slik:

\(v=\sqrt{G\frac{M}{r}}\)

Her har vi alts? brukt Newtons gravitasjonslov:

\(F_{\text{gravitasjon}}=G\frac{Mm}{r^2}\)

hvor:

• \(M \) er planetens masse, som er \(1,01 \cdot 10^{24} \ \text{kg}\).
• \(m\)  er satellittens masse, m?lt i kg.
• \(r\) er avstanden fra planetens sentrum til satellitten, m?lt i meter.
• \(G\) er gravitasjonskonstanten, som er \(6,6743 \cdot 10^{-11} \ m^3 kg^{-1}s^{-2}\).

Siden gravitasjonskraften m?tte balanser sentripetalkraften, fikk vi at:

\(F_{\text{Gravitasjon}}=F_{\text{Sentripetal}}\)

\(G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\)

Vi stryker massen til satellittene p? begge sider av likningen, og l?ser for farten \(v\), og f?r uttrykket for hastigheten som vi har ovenfor.

N? kan vi regne ut banehastighetene til satellittene. Vi setter inn verdiene for gravitasjonskraften, massen til planeten og avstanden fra sentrum av planeten opp til satellittene:

\(v_{\text{satellitt 1}}=v_{\text{satellitt 1}}= \sqrt{\frac{GM}{r_{\text{satellitt 1}}}} = \sqrt{\frac{GM}{r_{\text{satellitt 2}}}} =2562,3\ \text{m/s} \approx 2,6 \ \text{km/s}\)

Da fikk vi at satellittene beveger seg med en hastighet p? omtrent \(2,6 \ \text{km/s}\). Dette er jo ganske raskt, men vi er ikke helt ferdige enda! N? er vi ett skritt n?rmere av ? finne posisjonen v?r.

Hvordan finner vi posisjonen v?r p? planetoverflaten?

Vi kan anta at signalet som satellittene sender til oss beveger seg ii lysets hastighet. Dermed kan vi bruke fartstrekanten, nemlig at \(\text{avstand}=\text{hastighet}\cdot \text{tid}\). Da finner vi avstanden mellom oss og satellittene. Tidspunktet for n?r signalet ble sendt er selvf?lgelig litt annerledes fra det tidspunktet n?r vi mottar signalet nede p? planeten, vi m? alts? ta hensyn til tidsforskjellen \(\Delta t\).

Her kan vi nok en gang bruke Pythagoras, men n? er vi ute etter vinkelen mellom de to vektorene som strekker seg fra oss til satellittene. Ved hjelp av cosinussetningen og litt hacks f?r vi til slutt en formel for vinkelen \(\alpha\) mellom v?r posisjon og satellittenes posisjon.

Cossinussetningen

Om du ikke helt husker denne, s? er dette bare en formel som hjelper oss med ? finne lengden av en av side p? en hvilken som helst trekant. Noe som er veldig nyttig om du driver med trekantberegninger eller spesielt for oss som jobber med vektorer og posisjonsberegninger.

Slik ser formelen ut:

\(c^2=a^2 \ + \ b^2 \ -2ab \ \cdot \ cos(\alpha)\)

S? om du kjenner til lengden p? to sider av en trekant, samt vinkelen mellom dem, s? kan du bruke formelen ovenfor til ? finne lengden av den tredje. 

Eller s? kan du faktisk finne en ukjent vinkel \(\alpha\), om du kjenner til lengdene p? alle tre sidene.

La oss finne posisjonen v?r!

Vi antok alts? at signalet reiser i lyshastigheten, og vi skulle huske ? ta hensyn til tidsforskjellen \(\Delta t\). Da bruker vi den enkle formelen fra fartstrekanten og f?r:\(\text{avstand}=|\vec{x}-\vec{x}_{\text{satellitt}}|\).

\(|\vec{x}-\vec{x}_{\text{satellitt}}|=c(t-t_{\text{satellitt}})=c\Delta t \)

\(x=c\Delta t \ \pm \ x_{\text{satellitt}}\)

Siden vi vet at vi kan skrive den relative avstanden mellom oss p? planetoverflaten og satellitten som \(c\Delta t\), kan vi bruke dette for ? finne vinkelen mellom to vektorer:

\(c\Delta t =|r-r_{\text{satellitt}}|\)

\(c^2\Delta t^2 = (r-r_{\text{satellitt}})^2\)

\(c^2\Delta t^2=|r|^2+|r_{\text{satellitt}}|^2-2r\cdot r_{\text{staellitt}}\)

N? kan vi bruke et lite triks! Husker du at n?r man regner ut prikkeproduktet mellom to vektorer, s? ganger med med cos av vinkelen mellom vektorene. Noe som passer oss veldig godt, siden det er denne vinkelen  vi ?nsker ? finne et uttrykk for!

\(|r|^2+|r_{\text{satellitt}}|^2-c^2\Delta t^2=2|r|\cdot |r_{\text{satellitt}}|\cdot \text{cos } \alpha\)

Vi l?ser likningen med hensyn p? vinkelen \(\alpha\) mellom vektorene og f?r:

\(\alpha = \text{cos}^{-1}(\frac{|r|^2+|r_{\text{satellitt}}|^2- \ c^2\Delta t^2}{2|r|\cdot |r_{\text{satellitt}}|})\)

Vi regner ut tiden det tar ? motta signalet fra begge satellittene. Vi ser fra tabellen ovenfor at vi mottar signalet om posisjonen og tiden fra satellittene ved tiden \(t=31,550 \ \text{sek}\). Vi trekker fra begge tidene for n?r satellittene sendte ut signalet og f?r:

\(\Delta t_{\text{satellitt 1}} = 0,0328 \ \text{sek}\)

\(\Delta t_{\text{satellitt 2}}=0,0378 \ \text{sek}\)

N? kan vi regne ut denne mellom x-aksen, som blir radiusen til planeten, og satellittene. Se figur nedenfor!

 \(\alpha_{\text{satellitt 1}} = \text{cos}^{-1}(\frac{|r_{\text{planet}}|^2+|r_{\text{satellitt 1}}|^2- \ c^2\Delta t_{\text{satellitt 1}}^2}{2|r_{\text{planet}}|\cdot |r_{\text{satellitt 1}}|}) = \pm \ 1,27\)

\(\alpha_{\text{satellitt 2}} = \text{cos}^{-1}(\frac{|r_{\text{planet}}|^2+|r_{\text{satellitt 2}}|^2- \ c^2\Delta t_{\text{satellitt 2}}^2}{2|r_{\text{planet}}|\cdot |r_{\text{satellitt 2}}|}) = \pm \ 1,70\)

F?r vi kan regne ut posisjonen v?r p? planetoverflaten m? vi regne ut theta-vinkelen:

\(\theta_{\text{satellitt 1}}=\text{tan}^{-1}\frac{-6494.839}{7952.577}=-0.6848\)

\(\theta_{\text{satellitt 2}}=\text{tan}^{-1}\frac{-1648,407}{10134,553}=-0.1621\)

\(\phi_1=-0,6848 \ \pm \ 1,27\)

\(\phi_2 = -0,1621 \ \pm \ 1,70\)

Vi kan se at begge vinklene blir omtrent det samme n?r vi trekker fra p? begge, vi f?r da:

\(\phi =-1,9\)

N? kan vi finne posisjonen v?r ved ? gj?re om fra polarkoordinater til kartetiske koordinater:

\(r_{\text{oss}}=(x,y) \ = \ (r_{\text{planet}}\text{cos}\phi \ , \ r_{\text{planet}}\text{sin}\phi)\)

\(r_{\text{oss}}=(3688.76259 \ \text{cos}(-1,9) \ , \ 3688.76259 \ \text{sin}(-1,9)) = (-1192.54 \ \text{km}, -3490.68 \ \text{km})\)

Da har vi funnet posisjonen vi manglet i tabellen som ligger litt lenger oppe. Men la oss inkludere de gravitasjonelle og de relativistiske effektene for ? se hvordan posisjonen blir da.

Gravitasjonelle og relativistiske effekter!

Vi starter med ? se p?  den gravitasjonelle effekten. Vi ser for oss at vi har to "skall", som vi kan bruke for ? f? litt mer forst?else for det hele. Skall nummer 1 er rundt planeten, der hvor vi st?r! Skall nummer 2 kan vi tenke oss at er satellittenes bane. 

Tiden er ikke helt den samme p? disse to skallene! Det er nemlig slik at n?r vi er n?r en stor masse, som for eksempel en planet, g?r tiden litt langsommere. S? om du st?r p? bakken, vil du f?le at tiden g?r saktere enn det den gj?r for folk som er langt borte fra planeten, for eksempel folk p? en annen planet eller stjerne. S?, satellittene er rett og slett ute i et svakt gravitasjonsfelt, og det f?r det til ? virke som om klokkene deres tikker raskere enn det klokkene v?re nede p? bakken gj?r. Det er litt merkelig, er det ikke? Men ogs? litt kult og ekstremt interessant!

Vi har jo den spesielle relativitetsteorien ogs?. Satellittene beveger seg jo veldig fort, spesielt sammenlignet med oss som st?r p? bakken og chiller. Da husker vi at spesiell-relativitet sier at tids-dilatasjon vil gj?re at satellittenes klokker tikker litt saktere enn v?re. 

Hva skjer da n?r vi tar begge effektene i betraktning? Vel, her bruker vi Schwarzchild-geometrien til ? regne ut hvordan tid-dilatasjonen virker p? satellittene. 

N?r vi tar med b?de gravitasjon og spesial relativitet i beregningene, finner vi ut at effektene egentlig er skikkelig sm?, og da endres ikke posisjonen seg noe stort. Kanskje disse teoriene ikke er s? viktige allikevel da? Vel, vi lar det g? litt tid, for ? se hvor feil det er:

Hva skjer etter en liten tid?

N? er det g?tt nesten 3 timer, og vi mottar et nytt signal fra satellittene med deres nye posisjoner. 

Resultatet? Vel, klokkene p? satellittene viser fortsatt en minimal tidsforskjell, men vi f?r for det om noen sm? ulikheter i posisjonene. La oss sette opp en ny tabell for ? f? litt oversikt:

Tiden som er g?tt etter at alle klokkene er synkronisert er nesten 3 timer ( omtrent 2 timer og 40 minutter). Forskjellen mellom med og uten effekter var i begynnelsen minimal, men n? begynner ting ? endre seg litt. St?rre forskjeller bygger seg opp over tid. Noe som betyr at uten en korrekt relativistisk justering ville GPS'en v?rt bitte litt ubrukelig. Ja, vi hadde v?rt fullstendig lost uten Einstein.

Hva skjer egentlig med klokkene?

Fra den generelle relativiteten vil vi at klokkene til satellittene g?r raskere en nede p? planeten, fordi satellittene er mye lengre unna planeten, som er selve gravitasjonskilden v?r. S? over en lengre periode vil satellittene litt etter litt tikke seg fra planetklokkene v?re. Alts? vil en feil i posisjon bare bygge seg mer og mer opp, og hvis det ikke var for Einstein ville vi ha endt opp med en massiv posisjonsfeil.

Men hva med den spesielle relativiteten? Var det ikke slik at klokkene til satellittene tikket saktere her? Jo! Den h?ye farten deres f?r klokkene til ? tikke langsommere enn v?re klokker. Men, og denne delen er ganske viktig, denne effekten er faktisk svakere enn den gravitasjonelle effekten. S? til slutt vinner gravitasjonen, og tiden vil tikke raskere p? satellittene, og slik bygger feilen seg opp om vi ikke hele tiden tar hensyn til denne tidsforskjellen.

Konklusjon

S? hva har vi l?rt? Det er ekstremt viktig ? inkludere de gravitasjonelle og relativistiske effektene b?r vi bruker GPS-satellitter for ? finne posisjonen v?r. Vi s? at etter nesten tre timer v?r g?tt, hadde vi allerede bygget opp en feil p? over 300 meter, og dette er bare starten! Feilen vil bare vokse seg st?rre med tiden. ? ta imot hjelp av Einstein er alts? helt avgj?rende, ellers hadde ikke GPS'en v?rt til s? mye hjelp som vi trodde!