Hva skjer med lyset n?rme massive objekter?
F?rst, en icebreaker: gravitasjon en ikke en kraft! Den generelle relativitetsteorien forteller oss hvordan massive objekter krummer tidrommet. Det som oppleves som "gravitasjonskraft" er alts? bare krumningen av tidrommet. Hvis du tenker deg at du sitter midt p? en trampoline, s? vil duken krumme seg p? grunn av vekten din. Hvis vennen din slipper en ball fra kanten av trampolinen, s? vil den trille ned mot deg. N? kan du utvide dette bildet til ? gjelde hele tidrommet: alle massive objekter, som stjerner, planeter og sorte hull, vil krumme tidrommet. Det vil f?re til at alle objekter vil f?lge denne krumningen - akkurat som ballen p? trampolinen. Til og med lyset m? f?lge denne krumningen og bli avb?yd.
Men hvordan ser dette ut egentlig? For ? visualisere dette bedre, s? har vi funnet et video fra NASA:
En ny type geometri - Schwarzschild geometri
Ikke bli skremt av dette vanskelige navnet, la oss forklare:
Den vanlige geometrien du kjenner til er den Euklidiske geometrien som brukes til ? beskrive det tredimensjonale rommet du kjenner til, hvor avstanden mellom to punkter er gitt ved pytagoras:
\(s^2 = x^2 + y^2 + z^2\)
I den spesielle relativitetsteorien brukte vi Lorentzgeometri, som ikke bare beskriver rommet, men tidrommet. Her er alts? tid en egen akse. Denne typen geometri brukes i flatt tidrom. Avstanden mellom to eventer har vi l?rt er:\(\Delta s^2 = \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)\) i kartesiske koordinater og \(\Delta s^2 = \Delta t^2 -\Delta r^2 -r^2\Delta \phi ^2\) i polarkoordinater.
Siden vi n? skal jobbe med en krumning av tidrommet, s? trenger vi en ny type geometri, nemlig Schwarzschild geometrien. Her er det viktig ? p?peke at vi antar at vi regner med massive objekter som er ikke-roterende. Da er et linjeelement beskrevet slik, hvor vi bruker polarkoordinater:
To ulike observat?rer
Tenk deg at vi ser p? et svart hull, og at vi har et skall rundt det svarte hullet. La oss introdusere to observat?rer:
- Skallobservat?ren: befinner seg p? overflaten av skallet rundt det svarte hullet med posisjon \(r\) og peker en laserstr?le radielt utover fra den sentrale massen. Denne observat?ren bruker Lorentzgeometri med koordinater \((r_\text{shell}, t_\text{shell})\).
- Langt vekk-observat?ren: Langt vekk observat?ren st?r s? langt unna at hun ikke blir p?virket av gravitasjonsfeltet rundt det svarte hullet. Denne observat?ren bruker Schwarzschild koordinater \((r,t)\).
Laserstr?len sendes ut og har en b?lgelengde \(\lambda_\text{shell}\). Vi lar frekvensen til lyset som blir emittert fra laserpennen (som er hos skallobservat?ren) v?re:
\(\nu_\text{shell} = \frac{1}{\Delta t_\text{shell}}\) \((2)\)
P? samme vis er frekvensen til lyset som blir mottatt av langt vekk observat?ren da:
\(\nu = \frac{1}{\Delta t}\) \((3)\)
hvor \(\Delta t_\text{shell}\) er tiden mellom to b?lgetopper skallobservat?ren m?ler p? sin klokke og \(\Delta t\) er tiden mellom to b?lgetopper m?lt av langt vekk observat?ren.
Vi ?nsker ? finne ut hvilken b?lgelengde langt vekk observat?ren observerer. Men utfordringen er at skallobservat?ren og langt vekk observat?ren m?ler ulike tidsintervaller mellom lysb?lgene, p? grunn av tidsdilatasjon! Dette er fordi tiden g?r saktere n?rme massive objekter.
Hva m?ler langt-vekk-observat?ren?
Det vi ?nsker ? finne ut n?, er ? finne en sammenheng mellom tiden langt vekk observat?ren m?ler og tiden skallobservat?ren m?ler (denne f?r vi bruk for senere). For ? finne sammenhengen mellom de to tidsintervallene, s? f?r vi bruk for en invariant st?rrelse slik at vi kan lage en ligning. Som du husker, s? er tidromsintervallet \(\Delta s \) en invariant st?rrelse. Derfor har vi denne ligningen:
\(\Delta s^2 = \Delta s_\text{shell}^2\)
Laserstr?len peker bare radielt utover, slik at vi har ingen komponent i \(\phi\)-retning for begge observat?rene. Linjeelementet for langt vekk observat?ren som bruker Schwarzchildgeometri er:
\(\Delta s^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1 - \frac{2M}{r}} \) \((4)\)
For skallobservat?ren bruker vi linjeelementet i Lorentzgeometri som vi allerede kjenner til:
\(\Delta s_\text{shell}^2 = \Delta t_\text{shell}^2 - \Delta r_\text{shell}^2\) \((5)\)
For ? g? videre herfra, s? definerer vi to eventer A og B som hver tilsvarer ett tikk p? klokken til skallobservat?ren. Hvert tikk p? klokken til skallobservat?ren tilsvarer hver gang en b?lgetopp passerer observat?ren. Eventene vil skje p? samme sted fordi skallobservat?ren st?r i ro p? skallet, slik at \(\Delta r_\text{AB, shell}= \Delta r_\text{AB} = 0\). Dette forenkler ligningene \((4)\) og \((5)\) til:
\(\Delta s_\text{AB}^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \Delta t_\text{AB}^2\)
\(\Delta s_\text{AB,shell}^2 = \Delta t_\text{AB,shell}^2\)
hvor AB st?r for avstanden og tiden mellom event A og B. Siden vi definerte \(\Delta t\) og \(\Delta t_\text{shell}\) som tiden mellom to b?lgetopper tidligere, s? der det disse vi mener her. Vi setter ligningene lik hverandre og l?ser for \(\Delta t_\text{AB} = \Delta t\), og f?r at:
\(\Delta t =\frac{\Delta t_\text{shell}}{ \sqrt{\left( 1- \frac{2M}{r} \right)}}\) \((6)\)
Her er representerer avstanden \(2M\) eventhorisonten til det svarte hullet og kalles Schwarzschild-radien. Innenfor denne radien kan ikke en gang lys slippe unna gravitasjonsfeltet til det sorte hullet. Vi ser fra formelen at tiden langt vekk observat?ren m?ler er st?rre enn tiden skallobservat?ren m?ler, fordi vi deler p? noe som er mindre enn 1. Men hva skjer n?r \(r = 2M\)? Da deler vi p? null! Det betyr at n?r vi n?rmer oss Schwarzschild-radien s? g?r tiden uendelig sakte!
Hvorfor f?r vi et gravitasjonelt dopplerskift, egentlig?
Vi ser her p? en laserstr?le som beveger seg ut fra et gravitasjonsfelt. Men dette kommer ikke kostnadsfritt - fotonene mister energi p? veien ut av gravitasjonsfeltet! Siden lyshastigheten fortsatt er den samme, s? kompenseres det med at frekvensen minker og b?lgelengden ?ker. Energien til fotonet er \(E = h \nu\), hvor \(\nu = \frac{c}{\lambda}\) er frekvensen. S? n?r frekvensen \(\nu\) minker s? m? b?lgelengden \(\lambda\) ?ke, som er fenomenet vi kaller gravitasjonell r?dforskyvning. Grunnen til at frekvensen minker er fordi tiden g?r saktere n?rme et massivt objekt, s? hvert lysb?lge bruker lengre tid p? ? n? langt vekk observat?ren, som tilsvarer en lavere frekvens.
Den gravitasjonelle Doppler-formelen
N? som vi har funnet ut hvordan tiden er for de to observat?rene. Dette kan vi bruke til ? finne et uttrykk for det gravitasjonelle dopplerskiftet. Siden vi vet tiden mellom to b?lgetopper, s? kan vi finne b?lgelengden slik:
\(\lambda = \frac{c}{\nu} = c \Delta t\) \((7)\)
hvor \(c\) er lysfarten og \(\nu = \frac{1}{\Delta t}\) er frekvensen til lyset mottatt av langt vekk observat?ren. Vi minner deg p? at vi bruker naturlige enheter og alt m?les i enten meter eller sekunder. Siden \(c=1\) i naturlige enheter, s? f?r vi at
\(\lambda = \Delta t \ \ \ \ , \ \lambda_\text{shell} = \Delta t_\text{shell}\) \((8)\)
B?lgelengden langt vekk observat?ren observerer finner vi ved ? se p? dopplerskiftet i forhold til den sanne b?lgelengden \(\lambda_\text{shell}\) som er b?lgelengden til lyset som sendes ut fra laserpennen. Vi vet at dopplerskiftet kan skrives:
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_\text{shell}} = \frac{\lambda - \lambda_\text{shell}}{\lambda_\text{shell}}\) \((9)\)
hvor vi vet at \(\lambda = \Delta t = \frac{\Delta t_\text{shell}}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}\) og at \(\lambda_\text{shell} = \Delta t_\text{shell}\). Vi setter sammen alle uttrykkene og f?r at dopplerskiftet er:
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_\text{shell}} = \frac{\lambda - \lambda_\text{shell}}{\lambda_\text{shell}} = \frac{ \frac{\Delta t_\text{shell}}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} - \Delta t_\text{shell}}{\Delta t_\text{shell}} = \frac{\Delta t_\text{shell} \left( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}-1 \right)}{\Delta t_\text{shell}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} -1\)
Wow. Dette var en munnfull. La meg skrive det ned litt penere. Dopplereffekten som langt vekk observat?ren opplever p? grunn av tyngdefeltet lyset sendes ut fra, er beskrevet slik med Schwarzschild-geometri:
\( \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{\text{shell}}} = \frac{\lambda - \lambda_{\text{shell}}}{\lambda_{\text{shell}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1 \) \((10)\)
Hva skjer langt unna gravitasjonsfeltet?
N?r \(r\gg2M\), det vi si n?r skallobservat?ren er langt unna eventhorisonten, s? kan vi forenkle dette uttrykket. Tenk logisk p? det: dess lengre unna skallobservat?ren er fra det massive objektet, dess svakere er tyngdefeltet. La oss analysere formelen:
N?r \(r \gg 2M\) s? er \(\frac{2M}{r} \approx 0\) fordi vi deler p? noe veldig stort. Men da vil jo \((10)\) bare bli 0? For ? finne ut hva som skjer, s? taylorutvikler uttrykket for det gravitasjonelle dopplerskiftet rundt \(\frac{2M}{r} = 0\). Vi kaller denne variabelen for \(x\) og kan da skrive dopplerskiftet som en funksjon:
\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}-1\)
Taylorutviklingen vil se slik ut:
\(f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 ...\)
Vi taylorutvikler rundt 0. Da er:
\(f'(x) = \frac{1}{2(1-x)^{3/2}} \\ f(0) = 0 \\ f'(0) = \frac{1}{2}\)
Vi velger ? taylorutvikle til f?rste orden, siden \((x-a)^i \approx0\) fordi \(x = \frac{2M}{r} \approx 0\) og \(a = 0\), s? disse leddene blir veldig sm? n?r \(i>1\). Vi n?yer oss derfor med ? taylorutvikle til f?rste orden:
\(f(x) \approx 0 + \frac{1}{2} \cdot (x-0) = \frac{x}{2}\)
hvor \(x = \frac{2M}{r}\). Da kan vi forenkle dopplerformelen \((10)\) til:
\( \frac{\lambda - \lambda_{\text{shell}}}{\lambda_{\text{shell}}} = \frac{M}{r}\) \((11)\)
Grunnen til at vi gjorde denne forenklingen, er at det kan v?re en nyttig tiln?rming i situasjoner hvor avstanden til det massive legemet et veldig stor i forhold til radien \(r = 2M\). Beregningene blir enklere fordi uttrykket er enklere og uten kvadratrot. I situasjoner hvor vi ser p? mindre legemer med svakere gravitasjonsfelt (i motsetning til et svart hull som vi har snakket om tidligere), slik som solen, s? er denne forenklingen spesielt nyttig. Vi ser fra formelen at dess st?rre massen \(M\) er, dess st?rre blir r?dforskyvningen.
What's the moral here?
N? har vi alts? l?rt at lys mister energi n?r det pr?ver ? r?mme ut fra et gravitasjonsfelt, og dette resulterer i en r?dforskyvning av lyset sett fra en observat?r langt vekk. Denne effekten er st?rst ved veldig massive objekter, som svarte hull og veldig massive stjerner, men effekten er ogs? tilstede n?r vi ser p? lys fra mindre massive objekter, slik som solen v?r. Den gravitasjonelle dopplerformelen er nyttig for ? finne ut bl?forskyvningen av lys som trenger seg inn i et sterkt gravitasjonsfelt, og r?dforkyvningen av lyst som pr?ver ? r?mme ut av et gravitasjonsfelt.
Hungry for more?
Hvis du er interessert i detaljerte utregninger hvor vi anvender den gravitasjonelle dopplerformelen, og regner dopplerskiftet for blant annet sola og kvasarer, trykk HER.