Situasjonen: Tre planeter og to astronauter
Vi har tre planeter - Homey, Destiny og Beyond - som alle st?r i ro i samme referansesystem. Lisa reiser lynraskt fra Homey til Destiny sammen med romskipet Apollo-Out, mens astronauten Peter reiser fra Beyond til Homey i romskipet Apollo-In. Begge to beveger seg med 99% av lysets hastighet (ikke akkurat noe bykj?ring her nei). De reiser mot hverandre, i hver sin retning, og m?ter hverandre p? planeten Destiny. Men hvem eldes raskest? Hvem ser hva? Og hva skjer egentlig med tiden?
For ? forst? oss skikkelig p? Lisas reise (og Peters!), skal vi se p? den fra tre ulike perspektiver - eller referansesystemer. Det blir litt som ? filme en kosmisk actionfilm med tre kameraer som hver har sin unike linse! La oss dykke inn i de ulike perspektivene!
Referansesystem 1: hvor planetene chiller!
Dette er det stasjon?re referansesystemet, her f?les alt trygt og rolig. Hjemplaneten Homey sitter godt plantet i origo, mens planetene Destiny og Beyond ligger henholdsvis 200 og 400 lys?r unna, langs den positive x-aksen. Hva ser vi i dette perspektivet? Jo, vi ser Lisa som suser i full fart mot mot Destiny i Apollo-Out med \(v=0,99\ c \). Fra planeten Beyond ser vi Peter ombord Apollo-In med \(v=-0,99\ c\). I dette referansesystemet st?r alts? planetene stille, og det er romskipene som beveger seg i rakettfart. Alle tider og avstander m?les akkurat slik som de fremst?r i planetenes rolige referanseramme. Koordinatene her er \((x,y)\).
Referansesystem 2: Fra Lisas perspektiv
I dett referansesystemet er det Lisa som er hovedpersonen, hun sammen med Apollo-Out er i ro, og ser universet danse rundt henne. Fra Lisa sitt perspektiv vil vi se planeten Homey bevege seg vekk med \(v=-0,99\ c\), mens Destiny vil komme rett mot henne med \(v=0,99\ c\). Lisa vil observere at det er Peter og planetene som beveger p? seg. Her er koordinatene \((x',y')\).
Referansesystem 3: Fra Peters perspektiv
Her st?r Peter i origo, sammen med romskipet Apollo-In, og observerer resten av universet som farer forbi. Fra Peter sitt perspektiv vil vi se Homey og Destiny bevege seg mot han, begge med farten \(v=0,99\ c\). Og Lisa ombord Apollo-Out vil ogs? bevege seg rett mot han. Her er koordinatene \((x'',y'')\).
Viktige hendelser:
P? romskipsturen skjer det det noen viktige hendelser. La oss definere disse eventene:
- Event A: Avgang!
Lisa drar fra hjemplaneten Homey. Dette skjer ved posisjon og tid lik null i begge referansesystemene. Det skjer ved \(x=x'=0\) og \(t=t'=0\). - Event B: Destinasjon Destiny!
Lisa ankommer Destiny sammen med Apollo-Out etter en lynrask reise.
Metode
For ? komme til bunns i paradokset, skal vi ta en liten pause fra mysteriet og gj?re noe av det fysikere gj?r best! Bryte problemstillingen ned til grunnleggende prinsipper. La oss utforske noen viktige definisjoner og begreper som vil v?re helt n?dvendige for ? kunne forst? hva som egentlig skjer.
Lorentztransformasjon
Husker du Lorentztransformasjonen vi nevnte i et tidligere blogginnlegg? (Hvis ikke, kan du ta en titt her!)
Lorentztransformasjonen er n?kkelen som lar oss hoppe mellom ulike referansesystemer. Slik at vi kan regne ut tiden og posisjonen til en hendelse i ett referansesystem, basert p? hvordan det ser ut i et annet, s? lenge systemene beveger seg med konstant fart \(v\) i forhold til hverandre.
Hvordan fungerer det i praksis? Dersom du kjenner tiden og posisjonen i referansesystemet med umarkerte koordinater \((x,y)\), kan du bruke Lorentztransformasjonen til ? finne posisjonen og tiden i et annet referansesystem med markerte koordinater \((x',y')\). Dette er noe som er veldig nyttig n?r vi skal analysere situasjoner med relativistiske hastigheter!
Formlene for Lorentztransformasjonen ser slik ut:
\(t'=\gamma (t-vx)\)
\(x'=\gamma (x-vt)\)
Tidsromsavstanden
Husker du dette konseptet? (trykk her for en liten oppfriskning!). Denne beskriver avstanden mellom to hendelser, for eksempel Event A og Event B, n?r vi ser dem fra ulike referansesystemer. Det som er s? kult med denne avstanden, er at den er invariant, som betyr at den alltid er den samme for alle observat?rer, uansett hvilket referansesystem de befinner seg i!
Formelen for tidsromsavstanden ser slik ut:
\(\Delta S_{AB}^2 = \Delta t_{AB}^2 - \Delta x_{AB}^2\)
\(\Delta S_{AB}^{'2} = \Delta t_{AB}^{'2} - \Delta x_{AB}^{'2}\)
\(\Delta S_{AB}^2=\Delta S_{AB}^{'2}\)
Lengdekontraksjon
Hvorfor ser noe kortere ut n?r det beveger p? seg? Lengdekontraksjon ja! For et objekt som beveger seg med h?y hastighet, relativt til et referansesystem, vil lengden til objektet virke kortere n?r den blir sett av en observat?r som er i ro.
Formelen for lengdekontraksjon ser slik ut:
\(L=\frac{L_0}{\gamma}\)
Her er:
- \(L\): den lengden som "blir kortere", sett fra observat?ren som st?r i ro.
- \(L_0\): den egentlige lengden til objektet.
- \(\gamma\): lorentz-faktoren, som er definert slik \(\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\), hvor vi har brukt naturlige relativistiske enheter, og derfor satt lysfarten \(c\) lik 1.
Tidsdilatasjon
Kan tiden tikke saktere for noe som beveger seg skikkelig raskt? Ja! Det er dette som er tidsdilatasjon. N?r et objekt beveger seg med h?y hastighet, i forhold til en observat?r, vil det virke som om tiden g?r saktere for objektet.
Formelen for tidsdilatasjon ser slik ut:
\(\Delta t=\gamma \Delta t'\)
Her er:
- \(\Delta t\): den tiden som observeres fra det stasjon?re referansesystemet.
- \(\Delta t'\): den 'egentlige' tiden, denne m?les av objektet som beveger p? seg.
- \(\gamma\): dette er lorentz-faktoren.
N? begynner moroa!
La oss starte med ? se p? hvordan tid og avstand oppleves ulikt i de forskjellige referansesystemene. Siden hvor lang tid tar det egentlig ? reise turen fra Homey til Destiny, fra Event A til Event B?
For en observat?r p? Homey, alts? fra planetenes perspektiv (referansesystem 1), vet vi at Lisa reiser med en fart p? . For ? finne tiden reisen tar kan vi bruke den gode gammeldagse fartstrekanten:
\(\Delta t=\frac{L_0}{v}=\frac{200\ \text{lys?r}}{0,99}\approx202\ \text{?r}\)
Fra Homey til Destiny tar reisen alts? 202 ?r. P? turen tilbake til Homey vil Lisa kj?re i den samme konstante hastigheten, i et like langt stykke, alts? er turen til og tilbake helt like og da symmetriske. Ved denne symmetrien vet vi at turen hjem igjen til Homey vil ta like lang tid. Derfor blir den totale reisetiden p? 404 ?r, sett fra planetenes perspektiv.
La oss se hvordan dette ser ut p? Lisa sin klokke, siden hun er observat?ren ombord Apollo-Out romskipet, og vil se de to eventene i et annet referansesystem.
Avstanden som Lisa opplever er , vi finner denne lengden ved ? bruke formelen for lengdekontraksjon, men da m? vi f?rst regne ut verdien for lorentz-faktoren:
\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-0,99^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-0,9801}}=\frac{1}{\sqrt{0,0199}}\approx7,09\)
N? kan vi beregne lengden som Lisa opplever:
\(L'=\frac{L_0}{\gamma}=\frac{200\ \text{lys?r}}{7,09}\approx 28,2\ \text{lys?r}\)
Tiden for denne kortere avstanden som Lisa opplever, finner vi p? samme m?te som vi gjorde for planetenes referansesystem, nemlig med v?r trofaste formel \(\text{tid}=\frac{\text{strekning}}{\text{fart}}\):
\(\Delta t'=\frac{L'}{v}=\frac{28,2\ \text{lys?r}}{0,99}\approx 28,5\ \text{?r}\)
Lisa opplever alts? at reisen bare tar 28,5 ?r p? hennes egen klokke. Ved symmetri vet vi at ogs? her vil turen tilbake ta like lang tid, og vi ser at den totale reisetiden blir 57 ?r, sett fra Lisa sitt perspektiv.
Her ser vi et tydelig eksempel p? tidsdilatasjon, der tiden g?r saktere for en person i bevegelse relativt til de som er i ro.
Hva skjer n?r vi bytter perspektiv?
La oss se p? reisen til Lisa fra et nytt perspektiv! Vi har allerede unders?kt hvordan ting ser ut fra planetens perspektiv, n?r vi valgt det stasjon?re referansesystemet til ? ha planetene i ro
Ting er allerede ganske spennende, men for ? gj?re ting enda bedre, la oss bytte referansesystemer. Slik kan vi utforske tvillingparadokset fra et annet perspektiv! Vi har sett p? reisen mellom Homey og Destiny fra planetens perspektiv, hvor planetene er i ro og Lisa i romskipet beveger seg med nesten lysets hastighet. Men hva skjer dersom vi ser situasjonen fra Lisas perspektiv? Hvordan oppleves tid og avstander n?r det er Lisa som er "i ro", mens planetene farer forbi? Alts? er det n? Lisa sitt referansesystem som er satt til det stasjon?re systemet, men obs obs, dette er bare midlertidig!
Hvordan ser n? situasjonen v?r ut?
Lisa, sammen med romskipet Apollo-Out, st?r alts? stille, mens planetene Homey og Destiny begge beveger seg mot henne i hver sin retning, med samme hastighet \(v=0,99\ c\).
Vi har allerede funnet ut Lisa m?ler reisen til Destiny til ? ta 28,5 ?r, n?r hun m?ler tiden med sin egen klokke. La oss nok en gang bruke tidsdilatasjon for ? finne ut hvor mye tid som har g?tt p? klokken til en observat?r p? planeten Homey.
Vi kjenner alts? til Lisas tid, denne er \(\Delta t'=28,5\ \text{?r}\). For ? bruke formelen for tidsdilatasjon, m? vi f?rst regne ut lorentz-faktoren. Siden farten fortsatt er \(v=0,99\ c\), vil lorentz-faktoren v?re den samme som vi regnet ut ovenfor, nemlig \(\gamma \approx 7,09\).
N? kan vi sette inn i formelen for tidsdilatasjon, da f?r vi:
\(\Delta t'=\frac{\Delta t}{\gamma}=\frac{28,5\ \text{?r}}{7,09}\approx4\ \text{?r}\)
Dette betyr at Lisa observerer tiden som har g?tt for en observat?r p? Homey til ? v?re 4 ?r. Alts?, Lisa ser ned p? sin egen klokke og ser at tiden som er g?tt er 28,5 ?r. Og p? en eller annen magisk m?te, greier hun ? se klokken til en observat?r p? Homey, og kan se at tiden som er g?tt der er fire ?r.
N?r Destiny har ankommet Lisa, vil Homey begynne ? bevege seg mot henne med farten \(v=0,99\ c\). Reisen tilbake til Homey, kjenner vi fra f?r av til ? v?re 28,5 ?r, m?lt p? Lisa sin klokke. For ? finne ut hvor lang tid det tar for en observat?r p? Homey, kan vi igjen bruke formelen for tidsdilatasjon, og finne at denne ogs? er 4 ?r. Da blir den totale tiden som har g?tt for hele reisen, p? Homey sine klokker, m?lt til ? v?re 8 ?r.
Er du óg forvirret?
Dette er litt merkelig, ikke sant? Sett fra planetenes perspektiv var den totale reisen 404 ?r, men n? ser vi at fra Lisas perspektiv er denne tiden 8 ?r, og disse tidene skal jo v?re m?lt p? de samme klokkene! Hvordan kan vi f? to s? forskjellige resultater?
Vi er vant til at fysikkens lover ikke endres n?r vi bytter referanseramme. Dette betyr at vi burde f? de samme resultatene uansett hvilket system vi velger som labsystemet, alts? uansett hvilket referansesystem vi velger til ? v?re stasjon?rt.
Men n? har vi sett at det ikke virker slik. Er det dette som er kjernen i tvillingparadokset? Lisa og Homey opplever tiden helt ulikt. Og det virker som om resultatene motsier hverandre n?r vi skifter referanseramme. Det virker kanskje paradoksalt, men dette er ikke hele historien!
Vent, er ikke dette paradokset??
Er det slik at fysikkens lover ikke lenger gjelder n?r vi skifter referanserammer, eller har vi oversett noe? Paradokset vil begynne ? gi mening n?r vi ser p? det som virkelig bryter symmetrien mellom Lisa og Homey. Og hva er dette, tror du? Hva har vi oversett?
Hmmmmmm
Har du f?tt tenkt litt?
Klar eller ei, her kommer svaret - det er akselerasjonen! N?r Lisa snur ved Destiny for ? returnere til Homey, s? skifter hun referanseramme. Og denne akselerasjonen til Lisa gj?r at hennes situasjon ikke er symmetrisk med Homey sin, fordi Homey aldri akselerer.
Dermed vil ikke Lisa ha konstant hastighet relativt til Homey, og dette var jo en betingelse for at vi kunne bruke tidsdilatasjon!
N?r Lisa ankommer Destiny og skal vende tilbake til Homey, s? er hun n?dt til ? akselerere. Dette er fordi hun da bytter fartsretning, og vi vet fra fysikken lover at et objekt som beveger seg i kontant hastighet bare vil fortsette rett fram - med mindre en kraft p?virker den. Alts?, dersom Lisa ikke hadde akselerert ville hun sammen med romskipet bare ha fortsatt forbi Destiny og ut i det ukjente.
N?r Lisa akslererer, er hun ikke lenger i en tilstand av konstant hastighet, relativt til Homey. Og da kan vi ikke bruke den enkle formelen for tidsdilatasjon, da denne kun gjelder for objekter i konstant bevegelse. Alts? er ikke metoden v?r gyldig n?r vi bytter om p? rollene, og gj?r Apollo-Out til labsystemet.
For ? kunne l?se dette m? ti ta hensyn til akselerasjonen, og her kommer Einsteins generelle relativitet inn i bildet.
S? langt har vi sett sett p? reisen fra to ulike perspektiver, nemlig planetens referanseramme og Lisas eget perspektiv. Reisen tok 202 ?r i Homeys perspektiv, mens Lisa ombord romskipet opplevde kun 28,5 ?r p? sin egen klokke, takket v?re tidsdilatasjon. Om vi ser p? den totale reisen, inkludert returen, vil klokkene p? Homey m?le denne til ? ta 404 ?r. Mens Lisa bare vil ha opplevd 57 ?r. Dette viser oss hvordan spesialrelativitet p?virker hvordan vi opplever tiden, spesielt n?r vi beveger oss n?r lysets hastighet.
Fra Homeys perspektiv er Lisa i bevegelse og det virker som om tiden hennes g?r saktere. Men n?r vi bytter roller og ser p? reisen fra Lisas perspektiv, virker det som om tiden p? Homey g?r saktere. Dette er interessant, hvordan kan begge de to observat?rene, Homey og Lisa, oppleve at den andres tid g?r saktere? Det er nettopp dette som gj?r tvillingparadokset s? facinerende, og kanskje ikke minst s? forvirrende.
Tvillingparadokset 2.0
Klare for ? dykke enda dypere inn i tvillingparadokset? La oss skru opp vanskelighetsgraden litt, og inkludere noe nytt og spennende: akselerasjon! Som om ikke det var nok, introduserer vi ogs? n? den tredje planeten - si hei til Beyond. Planeten Beyond ligger 400 lys?r unna Homey, i positiv x-retning. Dette blir da 200 lys?r unna Destiny. Beyond gir oss en ny m?te ? se p? Lisas reise p?, og analysere hvordan relativitet og tidsdilatasjon oppleves fra flere perspektiver.
Men vent litt, det skal bli enda mer interessant! Fordi n? kommer astronauten Peter inn i bildet! - han setter i gang fra planeten Beyond med sin egen reise. Han hopper ombord romskipet Apollo-In og fyker mot Homey med en fart p? \(v=0,99\ c\) , men i motsatt retning av Lisa. N? har vi enda flere observat?rer, eller enda flere muligheter kan man kanskje si, til ? f? relativitetens rariteter til ? sette hodet v?rt p? pr?ve.
N?r relativitet blir genialt enkelt!
S? langt har vi sett p? Lisas reise som én enkelt romskipstur, fra Homey til Destiny, og deretter tilbake til Homey. Men la oss n? tenke litt annerledes! Hva om vi bytter ut det ene romskipet med en uendelig rekke av romskip som alle beveger seg i samme retning med samme fart? Og ikke nok med det, vi skal kalle denne kjempe lange rekken for èn heis. Hvordan fungerer dette da? Se for deg en rekke romskip som strekker seg s? langt ?ye kan se, og hver observat?r om bord opplever seg selv som i ro. For dem er det nemlig universet som suser forbi. Hele rekken fungerer som én stor utg?ende heis fra Homey til Beyond, gjennom Destiny. Og p? vei tilbake? Da har vi den tilbakevendende heisen, som tar med observat?rene fra Beyond til Homey.
Hvorfor er denne heismodellen s? genial, tenker du kanskje? Vel, vanligvis ville vi sett p? akselerasjonen som en stor dramatisk hendelse. Men i heismodellen brytes den ned i sm?, h?ndterbare trinn mellom hvert romskip. Det blir som ? ta en etasje av gangen i en vanlig heis, bare at vi n? beveger oss gjennom rom og tid med relativitetsteorien p? laget.
La oss introdusere noen flere flere viktige hendelser:
- Event A: Avgang!
Lisa starter reisen sin fra Homey, hun hopper alts? ombord den utg?ende heisen ved \(x=x'=0\) og \(t=t'=0\). - Event B: Destinasjon Destiny! Lisa ankommer Destiny etter en lynrask reise. Hun ankom planeten i den utg?ende heisen, og hopper over til den tilbakevendende heisen.
- Event B': Signal fra Homey!
Lisa ankommer Destiny, og samtidig vil en annen astronaut i samme heis, men i et annet romskip, passere Homey, dette skjer ved posisjonen \(x_{B'}=0\). Denne astronauten er derfor i samme referansesystem som Lisa, og dermed er klokkene deres synkroniserte. Astronauten ser p? klokken sin n?r hen passerer Homey, og sender ut et lyssignal som observeres nede p? Homey. - Event D: Peter tar av fra Beyond!
Astronauten Peter drar fra Beyond, i retning Homey. I planetenes referansesystem skjer dette ved \(t=0\) og \(x=2L_0\), som da er \(400\ \text{lys?r}\) unna Homey, siden vi vet at \(L_0=200\ \text{lys?r}\). Her skjer event D og A samtidig, alts? i planetenes referansesystem, og derfor ankommer Lisa og Peter Destiny samtidig.. Mens i referansesystemet til den tilbakevendende heisen skjer dette ved \(x''=0\) og \(t''=0\), i dette systemet er alltid Peter i ro i origo. - Event B'': Et bl?tt signal i returheisen!
Event B’’ skjer samtidig med Event B i den tilbakevendende heisen sitt referansesystem (\(x'',t''\)). Her vil en observat?r i den tilbakevendende heisen, ved posisjonen Homey, ser p? klokken p? Homey og sender ut et bl?tt lyssignal. Dette skjer alts? n?r Lisa kommer p? den tilbakevendende heisen og m?ter Peter ved posisjonen Homey, sett fra den tilbakevendende heisens perspektiv.
Her var det veldig mange eventer og koordinater, la oss sortere det i en tabell, slik at alt ikke g?r i surr inni hodet v?rt:
| Event | Beskrivelse |
Planetsystemet\((x,t)\) |
Lisas system\((x',t')\) | Peters system\((x'',t'')\) |
|---|---|---|---|---|
| A |
Lisa reiser fra hjemplaneten Homey. |
\((0,0)\) | \((0,0)\) | \((2L_0,0)\) |
| B |
Lisa ankommer Destiny. |
\((L_0,\frac{L_0}{v})\) | \((0,\frac{L_0}{\gamma v})\) | \((0,t''_B=t'_B)\) |
| B' | Lyssignal sendes ut fra posisjon ved Homey n?r Lisa ankommer Destiny. | \((0,t_B')\) | \((x'_{B'},t_B')\) | \((x''_{B'},t''_{B'})\) |
| D | Peter reiser fra Beyond. | \((2L_0,0)\) | \((x'_D,t'_D)\) | \((0,0)\) |
| B'' | Bl?tt lyssignal sendes ut n?r Lisa kommer ombord Peters romskip. | \((0,t''_B)\) | \((x'_{B''},t'_{B''})\) | \((x''_{B''},t''_B)\) |
N?r ankommer Lisa planeten Destiny i planetens ramme?
Lisa er p? vei mot Destiny, og vi ?nsker ? finne ut hvor lang tid det tar for henne ? n? planeten, sett fra b?de Homeys referanseramme og fra hennes egen klokke. Men denne gangen skal vi i tillegg bruke Lorentz-transformasjonen for tid!
For ? finne tiden det tar Lisa ? ankomme Destiny, fra planetenes referanseramme, gj?r som tidligere: \(t_B=\frac{L_0}{v}\), og n?r vi innsetter \(L_0=200\ \text{lys?r}\ \text{og}\ v=0,99\ c\) s? f?r vi at dette blir 202 ?r. Fra Homeys perspektiv vil det alts? ta 202 ?r for Lisa ? n? Destiny.
Lisa vil oppleve reisen fra sitt eget referansesystem, hvor lengden mellom Homey og Destiny blir kontrahert p? grunn av relativistisk lengdekontraksjon, lengden \(L'\) ble \(28,2\ \text{lys?r}\), og tiden for reisen ble da \(t_B'\approx 28,5\ \text{?r}\).
N? skal vi bruke Lorentz-transformasjonen for ? transformere denne hendelsen tilbake til Homey sitt perspektiv:
\(t_{B'}=\gamma (t_{B'}'-v\cdot x_B')=7,09(28,5\ \text{?r}\ -\ 0,99\cdot 28,2\ \text{?r})\approx 4\ \text{?r}\)
Alts?, vil Lisa observere at det er g?tt 4 ?r p? planeten Homey, n?r hun kommer frem til Destiny.
Dette viser tydelig hvordan samtidighet og tid er relative begreper.
N?r sendes lyssignalet opp?
N? er vi klare for ? trekke de nye eventene inn i bildet! Lyssignalet som sendes ut ved Homey n?r Lisa ankommer Destiny - ved hvilket tidspunkt skjer dette i Homey sitt referansesystem, alts? hva blir \(t_{B'}\)?
Her kan vi igjen bruke Lorentz-transformasjonene, da m? vi finne \(x'_{B'}\) og \(t'_{B'}\).
Her kan vi f?rst bruke lengdekontraksjon for ? finne posisjonen til Homey, sett fra Lisas perspektiv, alts? \(x'_{B'}\).
\(x'_{B'}=\frac{L_0}{\sqrt{1-v^2}}\approx 28,2\ \text{lys?r}\)
Tiden for hendelsen, \(t_{B'}'\), vil v?re den samme tiden som for Lisas ankomst til Destiny, i hennes referansesystem, \(t_B'\). Alts? har vi \(t_{B'}'=t_B'\). Og vi vet fra tidligere at \(t_B'=28,5\ \text{?r}\).
For ? transformere denne hendelsen tilbake til Homeys system, kan vi bruke Lorentz-transformasjonen for tid:
\(t_{B'}=\gamma (t_{B'}'-v\cdot x_B')=7,09(28,5\ \text{?r}\ -\ 0,99\cdot 28,2\ \text{?r})\approx 4\ \text{?r}\)
Lisa vil alts? oppfatte at det er g?tt 4 ?r p? Homey n?r hun ankommer Destiny, men ved denne tiden har Lisa ikke n?dd Destiny p? Homey sine klokker egentlig. Og dette forklarer de merkelige resultatene vi kom frem til tidligere da vi byttet om p? hvilket referansesystem som var stasjon?rt. Samtidighet er et relativt konsept. Fra Lisas perspektiv vil lyssignalet skje samtidig med at hun n?r Destiny, mens fra planetenes perspektiv er ikke disse to hendelsene samtidige.
Reisen til Destiny sett fra Peters perspektiv
La oss se n?rmere p? Peter sitt perspektiv, han reiser i den tilbakevendende heisen fra Beyond til Homey. Hvordan opplever han Lisas reise? Og hva skjer med tiden n?r Lisa hopper over til Peters referansesystem?
For ? finne tiden ,\(t''_B\), det tar for Lisa ? n? Destiny, sett fra Peter. Kan vi bruke tidsromsavstanden mellom hendelse D (n?r Peter drar fra Beyond) og hendelse B (n?r Lisa n?r Destiny). Tidsromsavstanden er invariant, og vi husker at den ser slik ut:
\(\Delta S^2=\Delta t^2 - \Delta x^2\)
Vi kjenner avstanden mellom Beyond og Destiny til ? v?re \(\Delta x = L_0 = 200\ \text{lys?r}\). Og tiden det tar fra Peter begynner sin reise, til Lisa ankommer Destiny, kjenner vi til ? v?re \(\Delta t=202\ \text{?r}\). Tidsromsavstanden blir dermed:
\(\Delta S^2=(202)^2-(200)^2=804\)
\(\Delta S=\sqrt{804}\approx28,5\ \text{?r}\)
Og i Peters referansesystem vil avstanden, \(\Delta x''\), mellom hendelsene v?re lik null, da Peter alltid er i origo i sitt referansesystem. Og da kan vi enkelt finne tiden \(\Delta t_B''\) slik:
\(\Delta S^2=(\Delta t''_B)^2-(\Delta x'')^2=(\Delta t''_B)^2 \rightarrow \Delta t''_B\approx 28,5\ \text{?r}\)
Dette betyr at det tar 28,5 ?r, sett fra Peters perspektiv, for Lisa ? n? Destiny. Som er den samme tiden det tok i Lisas referansesystem! Og dette gir mening da Peter og Lisa beveger seg relativt til planetene med den samme hastigheten, bare i motsatte retninger, noe som gj?r deres opplevelse av tid symmetrisk.
Lyssignal fra Homey - n?r skjer dette?
N?r Lisa n?r Destiny, sendes et bl?tt lyssignal ut fra Homeys posisjon. Og dette signalet markerer at Lisa har byttet over til den tilbakevendene heisen sammen med Peter. N?r skjer denne hendelsen i Peters referansesystem? Ettersom event B (Lisa n?r Destiny) og event B'' (lyssignal sendes fra Homey i peters system) skjer samtidig sett fra Peters perspektiv, har vi at \(t_{B''}=t''_B\).
Men ved hvilket tidspunkt vil Homey se dette signalet? Her kan vi igjen bruke tidsromsavstanden, siden denne er invariant mellom referansesystemene. La oss regne ut tidsromsavstanden mellom hendelse D (Peter reiser fra Beyond) og hendelse B'' (lyssignalet sendes). Fra planetenes perspektiv har vi at \(\Delta x=2L_0=400\ \text{lys?r}\). Vi vet at lyssignalet som sendes ut ved Homey, vil reise med lyshastigheten. Vi har naturlige enheter, s? denne er \(c=1\). Dermed vil det ta 400 ?r for lyssignalet ? reise de 400 lys?rene.
Henger du med?
N? begynner ting ? bli litt mind-bending, ikke sant? Vi fant nettopp ut at Lisa ankommer Destiny og observerer at det er g?tt 4 ?r p? Homey sine klokker. Og etter at hun bytter over til Peters romskip, alts? hopper over i den tilbakevendende heisen, ser Lisa n? at det er g?tt 400 ?r p? Homey!
N?r Peter og Lisa reiser til Homey vil turen ta 28,5 ?r m?lt p? Lisa sin klokke. Sett fra Lisas perspektiv, vil hun oppleve at denne turen tar 4 ?r p? Homeys klokker. Men totalt vil Lisa observere at den totale turen tok 57 ?r p? hennes egen klokke, og 404 ?r p? Homey sine klokker!
Hva skjer egentlig her? Jo, det er jo akselerasjonen! Lisa bytter referansesystem ved Destiny og opplever et stort "tidshopp" p? Homey sine klokker, fordi hun her skifter fra det utg?ende til det tilbakevendende referansesystemet. Noe som bryter med symmetrien mellom Lisa og Homey. Det er alts? akselerasjonen som gj?r at Lisa opplever en helt annen tidsskala.
Hva skjer med Event B'?
Vi husker fra event B' at i det ?yeblikket Lisa ankom Destiny, i sitt referansesystem, s? sendes det ut et bl?tt lyssignal fra Homeys posisjon. Og hvorfor bryr vi oss om dette signalet? Jo, nettopp fordi det kobler opp hvordan vi m?ler tid i de ulike referansesystemet. Det markerer ats? hvor mye tid som er g?tt p? Homey, sett fra Lisas perspektiv. Vi skal se p? hvordan tidsm?lingene er forskjellige, men fortsatt konsistente.
Lisa observerte at det kun hadde g?tt 4 ?r p? Homey da hun ankom Destiny. Noe som kan virke veldig merkelig, da Homeys referansesystem m?lte at reisen til Lisa tok 202 ?r!
Dette demonstrerer hvordan samtid er et relativt konsept. For Lisa skjer lyssignalet ved Homey samtidig som at hun ankommer Destiny. Men sett fra Homeys perspektiv skjer disse to hendelsene p? ulike tidspunkt, og er dermed ikke samtidige. Om to hendelser er samtidige, avhenger av hvilket referansesystem du ser fra.
Event B' fungerer nesten som en kosmisk tidsmark?r. Astronauten, i det utg?ende referansesystemet, sender opp lyssignalet ved Homeys posisjon idet Lisa n?r Destiny. Det er dette lyssignalet som markerer hva Lisa oppfatter som tiden p? Homey.
Konklusjon
Relativitet kan virke ekstremt forvirrende - men det er nettopp det som gj?r det s? fascinerende! Det virker som om hendelser i ulike referansesystemer motsier hverandre, men om vi passer p? ? inkludere akselerasjon og relativ samtidighet, s? ser vi hvordan alt henger sammen p? en kul og konsistent m?te!
Tvillingparadokset er et veldig kult tankeeksperiment som viser og at tiden virkelig er relativ. Det at Lisa og Homey opplever tiden p? s? ulike m?ter virker som et ul?selig mysterium, helt til vi innser at Lisa akselererer ved Destiny.
Lisa reiste 200 lys?r unna til Destiny, og tilbake hjem igjen til Homey. Reisen tok totalt 404 ?r p? Homey, men p? hennes egen klokke tok den bare 57 ?r. Tvillingen til Lisa som ble igjen p? Homey er alts? 347 ?r eldre enn Lisa n?r de skal feire tilbakekomsten hennes. Men siden Lisa akselererte ved Destiny, opplevde hun et enormt hopp i tid. Men akselerasjonen er ikke gyldig i spesiell relativitet, som bare gjelder ved konstant hastighet.
S? hva var paradokset egentlig? Relativitetsprinsippet sier at begge referanseystemer kan hevde at det er dem selv som er i ro, alts? som er stasjon?rt. Men dette gjelder bare n?r referansesystemene har konstant relativ fart i forhold til hverandre, men n?r Lisa snur for ? reise hjem igjen blir symmetrien brutt. Og det er dette som er n?kkelen til paradokset. N?r Lisa kommer hjem igjen, vil klokkene v?re enige. Alts? vil Lisa sin klokke og Homey sin klokke vise den samme tiden. Begge vil alts? v?re enige om at den totale tiden for reisen var 404 ?r m?lt p? Homey.
Lyst p? mer tvillingparadoks-moro? Trykk HER!