Okei. Strengt talt s? f?r vi et proton, et elektron og et n?ytrino n?r et n?ytron desintegrerer. Et n?ytrino er en pitteliten element?rpartikkel med n?ytral ladning som ofte dannes i blant annet fusjonsprosesser og supernovaeksplosjoner. Men vi bryr oss ikke om disse her, og ser kun p? elektronet og protonet. Vi skal bruke relativistiske prinsipper for ? finne hastigheten til disse to ve d? se p? bevegelsesmengden og energien.
Situasjonen
Se for deg at du sitter med iskaffeen i h?nden utenfor romfart?yet v?rt p? Casjoh. PLutselig ser du et n?ytron suse forbi n?r lysets hastighet i \(x\)-retning. Hastigheten sett fra oss p? planeten er \(0.894000c\). N?ytronet desintegrerer spontant (g?r i oppl?sning) og danner et proton og et elektron som fortsetter i samme retning som n?ytronet, alts? i \(x\)-retning.
Vi har to referansesystemer:
- Referansesystemet til planeten, eller labsystemet, med umerkede koordinater \((x,t)\). N?ytronet har en hastighet i forhold til planeten. Eller med andre ord, vi er i ro i forhold til n?ytronet.
- Referansesystemet til n?ytronet med merkede koordinater \((x',t')\). Her er n?ytronet i ro i origo. Det vil si at det er planeten som har en hastighet relativt til n?ytronet.
V?r er sykt nysgjerrige p? hastigheten til protonet og elektronet sett fra planetens referansesystem (labsystemet), s? vi vil pr?ve ? finne disse ved ? studere n?ytronets referansesystem. ? regne ut fra n?ytronets referansesystem gir betydelig mindre grisete regning, fordi n?ytronets referansesystem hvor n?ytronet er i ro gir pene uttrykk for energi og bevegelsesmengde.
Vi tegner inn hendelsene i de to koordinatsystemene for ? f? en oversikt over hendelsesforl?pet:
N? som vi har dette klart for oss, s? trenger vi noen ligninger.
4-vektorer og momenergy
Vi vil finne hastighetene til partiklene, men for ? komme oss dit m? vi f?rst snakke om en ny type vektorer. Som vi har snakket om tidligere s? har eventer i tid og rom koordinater i det vi kaller tidsrommet. I det firedimensjonale tidsrommet f?r vi da koordinatene \((t,x,y,z)\) for et event. Dette er en vektor som peker p? et event i tidsrommet i et referansesystem, alts? n? og hvor eventet er. Dette er det vi kaller en 4-vektor. Du tenker kanskje at dette bare er en vanlig 4D-vektor hvor tid er den ene koordinaten. Det er det alts? ikke. En 4-vektor m? nemlig fylle to kriterier:
- komponentene i en 4-vektor m? v?re fysisk m?lbare st?rrelser
- disse st?rrelsene m? transformere fra et referansesystem til et annet ved Lorentz-transformasjonen
Notasjonen til slike 4-vektorer skiller seg fra vanlige vektorer ved at vi merker dem med en \(\mu\). S? hvis noen sp?r deg hva \(\text X_\mu\) er, s? roper du "4-vektor!". Du har nok l?rt om Lorentztransfomasjonen p? videreg?ende. Denne transformasjonen tar oss fra et referansesystem til et annet. Vi kan skrive ut denne p? matriseform slik:
\(\begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ z' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -v\gamma & 0 & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} \) \((1)\)
S?ylevektorene som holder de merkede og umerkede koordinatene representerer ulike referansesystemer. Den store matrisen kalles Lorentz-matrisen, der \(v\) er hastigheten det merkede systemet har sett fra det umerkede systemet (som i v?rt tilfelle er hastigheten til n?ytronet sett fra planeten) og \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\). Ved ? gange ut matrisen og vektoren, f?r vi ligningene som transformerer koordinatene. Vi kan ogs? skrive dette p? komponentform slik:
\(X'_{\mu} = \sum_{\nu} C_{\mu \nu} X_{\nu}, \)
hvor \(C_{\mu \nu}\) er Lorentzmatrisen som representerer Lorentztransformasjonen. Men siden vi er fysikere og ikke bruker tid p? ? skrive summetegn istedet for ? l?se verdensproblemer, s? dropper vi summetegnet fremover (men det er fortsatt en sum der).
Men, hva har dette med saken ? gj?re? Jo, vi m? nemlig finne en 4-vektor for hastighet, ikke bare posisjonen i tidrommet. Som du vet fra Fysikk 2 s? er hastighetsvektoren den deriverte av posisjonsvektoren, alts? \(\frac{dx_\mu}{dt}\). Men dette er feil!
Grunnen til at det blir feil ? bare kj?re p? ? derivere er fordi vi m? tenke relativistisk: tiden endrer seg ut fra hvilket referansesystem vi er i! Alts? er \(dt\) ulik i de forskjellige referansesystemene, og derfor vil dette ikke funke. Vi m? derivere med hensyn p? en st?rrelse som er invariant. Vi vet at egentiden \(\tau\) er den samme i alle referansesystemer. Egentiden er tiden som m?les av en klokke som beveger seg sammen med objektet (i objektets referansesystem), fordi alle observat?rer vil m?le det samme egentidsintervallet \(\Delta \tau\) mellom eventer. Dermed finner vi hastighets 4-vektoren:
\(V_\mu = \frac{dx_\mu}{d\tau} \\ = \left( \frac{dt}{d\tau}, \frac{dx_i}{d\tau} \right) = \left( \frac{dt}{d\tau}, \frac{dt}{d\tau} \frac{dx_i}{dt} \right) \\ = \frac{dt}{d\tau} \left( 1, \vec{v} \right) = \gamma (1, \vec{v}) \)
hvor \(\vec v\) er en tradisjonell tredimensjonal hastighetsvektor og \(\frac{dt}{d\tau} = \gamma\).
N? m? vi t?rke litt svette f?r neste steg: n? som vi vet hastigheten i tidrommet s? m? vi finne ut hvordan denne transformerer ved Lorentztransformasjonen. Det vi vil finne ut er alts? hva farten til n?ytronet er i n?ytronets referansesystem, sett fra en observat?r i planetens referansesystem. Vi har kun bevegelse i \(x\)-retning. Derfor m? vi finne sammenhengen mellom \(v_x'\) og \(v_x\). Siden \(V_\mu\) er en 4-vektor, s? kan vi bruke samme metode for transformasjonen som vi gjorde for posisjon:
\(V_\mu' = C_{\mu \nu} V_\mu\)
eller p? matriseform:
\(\begin{pmatrix} \gamma' \\ \gamma' v'_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{\text{rel}} & -v_{\text{rel}} \gamma_{\text{rel}} & 0 & 0 \\ -v_{\text{rel}} \gamma_{\text{rel}} & \gamma_{\text{rel}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \\ \end{pmatrix} \)
hvor \(\gamma_{\text{rel}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{\text{rel}}^2}}\), \(\gamma' = \frac{1}{\sqrt{1 - (v'_x)^2}}\) og \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v_x^2}} \). Her er \(v_\text{rel}\) som nevnt hastigheten til n?ytronet i forhold til planeten.
Yay! N? er vi ett steg n?rmere!
Momenergy!
Ja, du ser ikke syner. N?r vi snakker om hastighet og hvordan den transformeres, s? m? vi ogs? innom bevegelsesmengde. Bevegelsesmengde er masse ganger hastighet, \(\vec p = m\vec v\). Hva er 4-vektoren for bevegelsesmengde, \(P_\mu\)? Jo, det er like lett som du tror. Vi ganger massen (m?lt i systemet som er i ro, merk at denne er invariant) med 4-vektoren for hastighet:
\(P_\mu = mV_\mu = \gamma m(1,\vec v) = (\gamma m , \gamma m\vec v) = \gamma (m, \vec p)\)
Hvor \(\vec p\) er den tradisjonelle bevegelsesmengdevektoren som vi kjenner til (Newtonsk bevegelsesmengde). Hvis vi ser p? den andre komponenten i \(P_\mu\), s? har vi at
\(\vec p_\text{relativistisk} = \gamma m\vec v\)
der \(\vec v\) er den vanlige hatsighetsvektoren. Men hva med den f?rste komponenten (tidskomponenten) \(P_0 = \gamma m\)? For ? finne ut av det, s? ser vi p? tilfeller hvor \(v << 1\) (hastigheter mye mindre enn lyshastigheten, setter \(c = 1\)). S? skal vi Taylorutvikle uttrykket. ? rekkeutvikle et uttrykk har du nok ikke l?rt enda, men bare stol p? oss n?. Uttrykket blir som f?lger:
\(P_0 = m + \frac{1}{2} mv^2\)
der vi kjenner igjen det siste leddet som det Newtonske uttrykket for kinetisk energi. Det f?rste leddet best?r av hvilemassen. Men husk at vi n? opererer med relativistiske enheter. Det betyr at massen er ganget med \(1^2\), hvor \(c=1\). I SI-enheter er derfor det f?rste leddet \(mc^2\), som du kanskje kjenner igjen som Einsteins ligning for hvileenergi! La oss n? skrive om 4-vektoren for bevegelsesmengde:
\(P_\mu = \gamma(m, \vec p) = (E_\text{relativistisk}, \vec p_\text{relativistisk})\)
hvor \(E_\text{relativistisk} = \gamma m\) og \(\vec p_\text{relativistisk} = \gamma m \vec v\). Vi kaller denne for momenergy 4-vektoren (momentum + energy). Alts? er tidskomponenten lik energi og romkomponeten er lik bevegelsesmengde. Dette viser oss at energi og bevegelsesmengde er relatert til hverandre p? samme m?te som tid og rom er relatert!
Momenergy 4-vektoren m? ogs? transformere under Lorentz-transformasjonen siden det er en 4-vektor. Vi kan skrive transformasjonen slik:
\(P_\mu' = C_{\mu \nu}P_\nu\)
eller p? matriseform:
\(\begin{pmatrix} E' \\ p'_x \\ p'_y \\ p'_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{\text{rel}} & -v_{\text{rel}} \gamma_{\text{rel}} & 0 & 0 \\ -v_{\text{rel}} \gamma_{\text{rel}} & \gamma_{\text{rel}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}\)
N? har vi en del av verkt?ykassa v?r klar for ? kunne angripe protonet og elektronet! N? vet vi hva hastighet og bevegelsesmengde er i relativistisk fysikk, og vi har en metode for ? kunne transformerer disse mellom referansesystemer ved hjelp av Lorentzmatrisen!
Men, da kommer 1000-kronerssp?rsm?let: er disse st?rrelsene bevart?
Men, mangler vi masse?
Vi skal n? anvende kunnskapen v?r om 4-vektorer og finne momenergy 4-vektoren til elektronet og protonet i n?ytronets referansesystem, \(P_\mu'(e)\) og \(P_\mu'(p)\). Vi har valgt ? bruke n?ytronets referansesystem fordi vi vil unng? grisete regning, siden hastigheten til n?ytronet er 0 i dette systemet. Her er det viktig ? huske p? at merkede st?rrelser er sett fra n?ytronets referansesystem, og de umerkede er i planetens referansesystem.
Siden energi og bevegelsesmengde er bevarte st?rrelser, s? har vi at:
\(P_\mu'(n) = P_\mu'(p) + P_\mu'(e)\) \((2)\)
som bare betyr at bevegelsesmengden til n?ytronet er summen av bevegelsesmengden til protonet og elektronet (sett fra n?ytronets referansesystem).
Siden du nettopp har l?rt hvordan man finner momenergy 4-vektorer, s? gyver vi oss l?s p? dette. Vi har hastigheter kun i \(x\)-retning. For n?ytronet f?r vi at:
\(P_\mu'(n) =\gamma_n'(m_n, \vec p_n') = m_n(1, \vec v_n') = m_n(1,\vec 0) = m_n \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
hvor \(\gamma_n' = \frac{1}{\sqrt{1-v_n'^2}} = 1\) fordi n?ytronet st?r stille i n?ytronets referansesystem. \(m_n\) er massen til n?ytronet. Vi ser at n?ytronet kun har hvileenergi og ingen bevegelsesmengde, siden det er i ro og da er \(\vec v = \vec 0\).
For protonet og elektronet har vi p? samme vis at:
\(P_\mu'(p) = \gamma_p'(m_p, \vec p_p') = \gamma_p'm_p(1, \vec v_p') = \gamma_p' m_p \begin{pmatrix} 1 \\ v_p' \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
hvor \(\gamma_p' = \frac{1}{\sqrt{1-v_p'^2}}\) der \(v_p'^2\) er hastigheten til protonet i n?ytronets referansesystem (\(x\)-retning) og \(m_p\) er massen til protonet.
\(P_\mu'(e) = \gamma_e'(m_e, \vec p_e') = \gamma_e'm_e(1, \vec v_e') = \gamma_e' m_e \begin{pmatrix} 1 \\ v_e' \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
hvor \(\gamma_e'= \frac{1}{\sqrt{1-v_e'^2}}\) hvor \(v_e'\) er elektronets hastighet i n?ytronets referansesystem (\(x\)-retning) og \(m_e\) er massen til elektronet.
N? kan vi sette de sammen ved ? bruke ligning \((2)\):
\( m_n \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \gamma_p' m_p \begin{pmatrix} 1 \\ v_p' \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \gamma_e' m_e \begin{pmatrix} 1 \\ v_e' \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Da f?r vi f?lgende ligningssystem:
\(m_n = \gamma_p' m_p + \gamma_e'm_e \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.1) \ \\ \ \ \ \ 0 = \gamma_p' m_p v_p' + \gamma_e' m_e v_e' \ \ \ \ \ (3.2) \)
Vi skal ikke kjede dere med utregningene v?re (vi har de hvis du er spesielt interessert, bare sp?r), s? vii bare slenger ned resultatene, for ? kunne snakke om de spennende tingene:
\(\gamma'_p = \frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2 m_p m_n} \ \ \ \ \ \ (4.1) \\ v'_e = \sqrt{\frac{C}{1 + C}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4.2)\\ C = \left( \frac{v'_p \gamma'_p m_p}{m_e} \right)^2 \ \ \ \ \ \ \ (4.3) \)
Disse gir kanskje ikke s? mye mening for deg akkurat n?, men de b?rer et veldig fascinerende budskap. P? grunn av de h?ye hastighetene opp mot lysfarten, s? skjer det noe muffins med massen. Massen er ikke bevart!
All logikk tilsier t n?r n?ytronet desintegrerer, og vi f?r et proton og et elektron (vi ignorerer fortsatt n?ytrinoet, men det p?virker ikke det vi har kommet frem til) s? vil massen til protonet og elektronet til sammen v?re lik massen til det originale n?ytronet. Det er det alts? ikke! (*mindblowing*). Alts? er \(m_n \neq m_p + m_e\). Dette er p? grunn av de h?ye hastighetene som gj?r at deler av den totale massen etter desintegrasjonen blir omgjort til energi (husk her p? Einsteins ligning som sier at masse og energi er to sider av samme sak, \(E = mc^2\)). Dette er kanskje ikke s? lett godta, men det er alts? slik naturen fungerer, og det stemmer.
For ? overbevise deg helt, s? antar vi at massen er bevart. Vi ser p? ligning \((4.1)\) som er Lorentzfaktoren til protonet i n?ytronets referansesystem. Vi setter inn at \(m_n = m_p + m_e\) og ser hvilken hastighet det gir oss for protonet og elektronet i n?ytronets referansesystem:
\(\gamma_p' = \frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_pm_n} = \frac{(m_p+m_e)^2+m_p^2-m_e^2}{2m_p(m_p+m_e)} \ \ \ \ = \frac{m_p^2 + 2m_pm_e +m_e^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_p^2 + 2m_pm_e} = 1\)
Hm. Hva betyr dette da?
Vi vet at \(\gamma_p' = \frac{1}{\sqrt{1-v_p'^2}} \implies v_p' = \sqrt{1- \frac{1}{\gamma_p'^2}}\), s? m? da \(v_p'= 0\) n?r \(\gamma_p' = 1\). Da ser vi fra ligning \((4.3)\) at \(C = 0\), og videre ser vi fra ligning \((4.2)\) at \(v_e' = \sqrt{\frac{C}{1+C}} = 0\)! Alts? st?r protonet og elektronet stille etter desintegrasjonen, som er umulig! Vi vet jo at protonet og elektronet har en hastighet i \(x\)-retning. Dette viser at vi tukler med energien hvis vi sier at massen er bevart. Derfor kan ikke massen v?re bevart. Tror du p? oss n??
What's the moral of the story?
Vi har alts? studert et n?ytron som suste forbi Casjoh mens vi satt utenfor romfart?yet v?rt og nytte en iskaffe. N?ytronet hadde en hastighet n?r lysfarten i -retning. N?r det desintegrerte og dannet et proton og et elektron, som fortsatte videre bortover i -retning. Siden vi har med s? h?ye hastigheter ? gj?re, s? kan vi ikke bruke vanlige formler som vi kjenner til, vi m?tte introdusere 4-vektorer og endre st?rrelsene som hastighet og bevegelsesmengde til ? gjelde i relativistiske tilfeller. Ved ? bruke kjente prinsipper som bevaring av energi og bevegelsesmengde, s? fant vi ut at massen ikke er bevart i desintegrasjonen! Vi har alts? mindre masse f?r enn etterp?, fordi noe av massen blir omgjort til energi, med den kjente sammenhengen . Vi forsikret oss om at dette er sant ved ? se p? resultatet hvis vi antar at massen er bevart. Da kom vi frem til at protonet og elektronet vil ha 0 fart i n?ytronets referansesystem, som er umulig! N? vet du at hvis noen sier at massen alltid er bevart, s? kan du ta p? deg Einstein-hatten og si at "men bare hvis vi holder oss langt unna lysets hastighet" :)