Kosmisk pingpong

N? som du har litt mer kunnskap om spesiell relativitetsteori, s? skal vi ta det et steg lengre. N? skal vi se p? kosmisk ping-pong! Ja, du h?rte riktig. Det er to nye romskip utenfor planeten, Casjoh, som vi befinner oss p?. De spiller ping-pong, men med en laserstr?lesom ball. Begge romskipene har speil som reflekterer lysstr?len. Vi er tilskuere i en romstasjon som er i ro i forhold til romskipene som spiller ping-pong. De har en relativ hastighet til venstre i forhold til oss. V?r oppgave er ? notere ned tidsforskjellen mellom refleksjonene sett fra romstasjonen. Vi skal se p? hvordan tidsintervaller er forskjellige i ulike referansesystemer. Hvor lang tid tar det for str?len ? g? fra h?yre til venstre og motsatt sett fra romstasjonen? Klarer vi ? se for oss hvordan romskipene og laserstr?len beveger seg? Hva skjer med tidsintervallene om vi ?ker romskipenes hastighet? Vi vil ogs? sammenligne disse tilfellene med et ikke-relativistisk tilfelle av vanlig ping-pong med en vanlig ping-pong-ball.

Situasjonen

Vi har alts? to romskip som spiller kosmisk ping-pong med en laserstr?le. Romskipene beveger seg med en sv?rt h?y relativ hastighet \(v_\text{rel}\) til venstre i forhold til romstasjonen. De har konstant avstand mellom seg, som vi kaller \(\text L'\), og all bevegelse skjer i \(x\)-retning. Vi har to referansesystemer vi skal se p?:

• Referansesystemet til romskipene med merket koordinatsystem \((x',t')\). Det venstre romskipet er alltid i origo \(x¡ä=0\).
• Referansesystemet til romstasjonen (og planeten) med umerket koordinatsystem \((x,t)\). Romstasjonen er i origo.

Vi har fire eventer vi skal analysere:

• Event A: laserstr?len skytes ut fra venstre romskip ved \(t = t¡¯ = 0 \) ved posisjonen \(x=x¡¯ = 0\).
• Event B: laserstr?len reflekteres for f?rste gang av romskipet til h?yre.
• Event D: laserstr?len som reflekteres i B n?r det venstre romskipet og reflekteres igjen.
• Event C: en tilfeldig eksplosjon p? romstasjonen skjer samtidig som event B sett fra romskipenes referansesystem.

Sp?rsm?lene vi ?nsker ? utforske er:

• om tidsintervallene er de samme i romskipenes referansesystem; tar det like lang tid for str?len ? g? fra venstre til h?yre som fra h?yre til venstre? Det vil si, er \(\Delta t_\text{AB}¡¯\) eller \(\Delta t_\text{BD}¡¯\) st?rst, eller er de like store?
• hvordan beveger romskipene og laserstr?len seg sett fra romstasjonen? 
• hvilke av tidsintervallene i romstasjonens referansesystem,\(\Delta t_\text{AB}\) og \(\Delta t_\text{BD}\), er st?rst?
• Hva skjer om vi ?ker romskipenes hastighet?
• til slutt vil vi se p? et ikke-relativistisk tilfelle med en vanlig pingpong-ball og sammenligne med det relativistiske tilfellet. 

Ved ? se p? disse problemstillingene, s? kan vi utforske hvordan tid og rom p?virkes av en relativ bevegelse! Her f?r du bruk fra kunnskapen du fikk i forje bloggpost om samtidighet og at det er relativt. Alts? kan man ikke bare si at to hendelser er samtidige, man m? si for hvem de er samtidige!

Her er origoeventet v?rt event A, som er n?r laserstr?len skytes ut fra venstre romskip. Vi har litt OCD og liker ? ha kontroll p? koordinater, s? vi slenger med en tabell. Her har vi valgt ? bruke enheten meter for b?de tid og avstand.

La oss analysere:

F?r vi begynner ? se p? problemstillingene vi presenterte tidligere, s? minner vi dere p? noen viktige prinsipper. Vi m? huske p? at lysfarten er invariant, det vil si at den er den samme i alle referansesystemer. En konsekvens av dette er da, som dere l?rte i forje bloggpost, at samtidighet er relativt. 

Det f?rste vi tar for oss er ? sammenligne tidsintervallene mellom event A og B og event B og D i romskipenes referansesystem (merkede koordinater). Det vil alts? si ? sammenligne hvor lang tid det tar for laserstr?len ? g? fra venstre til h?yre og fra h?yre til venstre. Vi vet at romskipene alltid har en avstand \(\text L'\) mellom seg, som betyr at de er i ro i forhold til hverandre. Hvis i satte oss i ett av romskipene, s? ville vi alts? sette at det andre romskipet var i ro, men at romstasjonen beveger seg. Vi vet at laserstr?len beveger seg med lysets konstante hastighet, og at det er like langt fra det venstre romskipet til det h?yre, som motsatt. Laserstr?len m? derfor reise like langt begge veier. Derfor m? tidsintervallene v?re like, \(\Delta t_\text{AB}' = \Delta t_\text{BD}'\). Dette er nok ganske intuitivt, men det er likevel viktig ? merke seg. 

Men hvordan tror du at disse tidsintervallene ser ut i romstasjonens referansesystem? 

Her m? vi tenke p? den relative hastigheten \(v_\text{rel}\) romskipene har mot venstre, i forhold til romstasjonen. Vi skal alts? analysere tidsintervallene \(\Delta t_\text{AB}\) og \(\Delta t_\text{BD}\), og resonnere oss frem til hvilke av disse som er st?rst. Lyshastigheten er fortsatt den samme, selv om vi har byttet referansesystem. Okei, la oss pr?ve ? visualisere dette: Begge romskipene beveger seg med en hastighet til venstre i forhold til romstasjonen. Det venstre romskipet skyter ut en laserstr?le mot det h?yre. Romskipet til h?yre vil da bevege seg mot laserstr?len det venstre romskipet skyter ut, siden romskipene er i ro i forhold til hverandre. N?r str?len treffer h?yre romskip og den reflekteres, s? vil romskipet til venstre bevege seg vekk fra lysstr?len. Dermed vil lysstr?len som reflekteres fra det h?yre romskipet m?tte bevege seg en lengre strekning enn lysstr?len det venstre romskipet sender ut. Da vil det naturligvis ta lengre tid for lysstr?len fra det h?yre romskipet ? n? frem til det venstre romskipet. Derfor kan vi konkludere med at \(\Delta t_\text{BD} > \Delta t_\text{AB}\). Alts? at det tar lengre tid for str?len ? g? fra h?yre til venstre enn fra venstre til h?yre. 

Hva skjer med tidsintervallene om romskipene ?ker hastigheten?

Vi tenker oss at romskipene f?rst er i ro i forhold til observat?ren p? romstasjonen. Da vil laserstr?len bare g? frem og tilbake og bruke like lang tid hver vei. Her gjelder samme argumentasjon som vi har bruk i romskipenes referansesystem. Men hva skjer n?r vi ?ker den relative hastigheten til romskipene gradvis opp til 0,8\(c\)? N?r romskipene f?r en hastighet relativt til observat?ren som er i ro, s? vet vi n? fra resonnementet over at det vil ta lengre tid for laserstr?len ? g? fra h?yre til venstre enn venstre til h?yre, fordi da vil romskipet til venstre bevege seg bort fra laserstr?len mens det h?yre romskipet beveger seg mot laserstr?len. N?r vi ?ker farten mer og mer slik at vi kommer n?rmere lysfarten, s? vil denne effekten bli enda mer tydelig. Alts? vil differansen mellom tidsintervallene bli st?rre og st?rre. Under ser der een video som illustrerer dette. Merk at her beveger romskipene seg med en relativ hastighet til h?yre, ikke venstre slik som vi har diskutert over. Men argumentasjonen er akkurat den samme, bare at det vil ta lengre tid for str?len ? g? fra venstre til h?yre enn motsatt istedet. 

P? videoen ser dere tydelig hvordan effekten ?kes. ?verst i venstre hj?rne ser dere hastigheten romskipene har.

Hva med ikke-relativistisk pingpong?

I stedet for en laserstr?le, s? ser vi n? for oss en vanlig pingpong-ball som beveger seg frem og tilbake med konstant hastighet 80 km/h i forhold til romskipene. I tillegg beveger romskipene seg med 50 km/h i forhold til planeten. S? i likhet med laserstr?len, s? beveger pingpong-ballen seg fortsatt med konstant hastighet i forhold til romskipene, bare ikke i lysfart. Burde ikke da argumentene v?re akkurat de samme for laserstr?len og ballen i romskipenes referansesystem? Burde ikke ballen bruke lengre tid p? ? bevege seg til venstre enn til h?yre, akkurat som laserstr?len?

N?r vi har relativistiske hastigheter, s? m? vi huske at lysets hastighet er den samme i alle referansesystemer. Dette f?rer til fenomener du kjenner fra Fysikk 2 som lengdekontraksjon og tidsdilatasjon, som p?virker hvordan tid og avstand oppfattes i ulike referansesystemer. Tidsdilatasjon er prinsippet om at tid observeres ulikt i forskjellige referansesystemer, hvor det ene systemet har en relativ hastighet i forhold til det andre. Men n?r vi har hastigheter som er langt mindre enn lysfarten, s? f?r vi ikke slike fenomener. Da er det klassisk mekanikk som gjelder, og vi kan ikke anvende relativistiske prinsipper p? ikke-relativistiske situasjoner. I klassisk mekanikk s? kan vi addere hastighetene til ballen og observat?ren, men det kan vi ikke i relativistisk fysikk.

Alts?, n?r vi observerer den kosmiske pingpongen med laserstr?len fra romstasjonen, s? vil vi observere at laserstr?len beveger seg med lysfarten begge veier. Grunnen til at str?len bruker ulik tid de ulike veiene er fordi romskipene beveger seg mot str?len den ene veien og bort fra str?len den andre veien. Men hastigheten til laserstr?len er lysfarten c, sett fra romskipenes referansesystem og romstasjonens referansesystem. Men i det ikke relativistiske tilfellet har ballen en annen hastighet sett fra romskipenes referansesystem enn det observat?ren p? romstasjonen ser. Sett fra romskipenes system har ballen en hastighet p? \(80 \ \text{km/h}\) begge veier. Men sett fra romstasjonen har ballen en hastighet p? \(80 \ \text{km/h} - 50 \ \text{km/h} = 30 \ \text{km/h}\) fra venstre mot h?yre og \(80\ \text{ km/h} + 50 \ \text{km/h} = 130 \ \text{km/h} \) fra h?yre til venstre. Dermed er ikke hastigheten til ballen invariant, slik som lysfarten er. Men hvordan vil dette se ut for observat?ren?

N?r ballen beveger seg fra venstre mot h?yre, ser observat?ren at den har en hastighet p? 30 km/h. Det h?yre romskipet beveger seg mot ballen. N?r ballen g?r fra h?yre til venstre, s? ser observat?ren at den har en hastighet p? 130 km/h. Da beveger det venstre romskipet seg bort fra ballen, s? den m? reise en lengre strekning enn tidligere. Men, siden hastigheten er s? mye st?rre, s? vil observat?ren observere at ballen bruker like lang tid p? ? g? fra venstre til h?yre som h?yre til venstre, fordi den har ulik hastighet. Tidsintervallene er derfor like, \(\Delta t_\text{AB} = \Delta t_\text{BD}\) sett fra romstasjonens referansesystem. 

Her ser dere to figurer som illustrerer det relativistiske tilfellet med laserstr?len og h?yre hastigheter, og det ikke-relativistiske tilfellet med en vanlig pingpong-ball:

Dermed har vi vist at vi ikke kan bruke relativistiske argumentene p? hendelser som kun involverer klassisk mekanikk. 

Vi vender tilbake til det relativistiske tilfellet:

Hvilke av event C og B skjer f?rst sett fra romstasjonens referansesystem? Event C (eksplosjon p? romstasjonen) og event B (laserstr?len reflekteres ved det h?yre romskipet) skjer samtidig i romskipenes referansesystem. Vi forestiller oss at det er en ny observat?r som er plassert midt mellom eventene B og C som beveger seg med samme hastighet som romskipene. Dermed vil denne observat?ren befinne seg i romskipenes referansesystem, og event B og C vil skje samtidig for henne. Event C skjer p? romstasjonen, som er i \(x = 0\). Lyset fra event C skjer alts? i et stasjon?rt punkt.

Observat?ren vil bevege  seg mot romstasjonen, siden romskipene beveger seg mot venstre. Dermed beveger hun seg mot lyset fra eksplosjonen som skjer til venstre for henne, og vekk fra lyset som blir reflektert til h?yre for henne. Derfor m? str?len reflekteres fra det h?yre romskipet f?r eksplosjonen skjer for at observat?ren skal observere lysstr?lene samtidig. Alts? m? event B skje f?r event C sett fra romstasjonens referansesystem for at hendelsene skal v?re samtidige for observat?ren i romskipenes referansesystem. Alts? vil laserstr?len reflekteres fra det h?yre romskipet f?r eksplosjonen skjer. Dette er akkurat det samme som situasjonen i forje bloggpost (men her har vi en relativ hastighet til venstre istedet for h?yre). For ? skj?nne dette bedre kan du se videoen som visualiserer det hele:

Her ser dere tydelig at laserstr?len f?rst reflekteres fra det h?yre romskipet (event B) og deretter skjer eksplosjonen (event C).

Hva er da den kronologiske rekkef?lgen av eventene i romstasjonens referansesystem? Jo, vi har resonnert oss frem til at det m? v?re A, B, C og til slutt D. 

What's the moral of the story?

Hvorfor bryr vi oss om kosmisk pingpong? For det f?rste, s? er det jo megakult. For det andre s? har vi l?rt oss noen nye relativistiske prinsipper!

Vi har analysert hvordan en laserstr?le som blir skutt ut og reflektert mellom to romskip som har en relativ hastighet i forhold til en romstasjon i ro, beveger seg. Vi s? p? to ulike referansesystemer: romskipets referansesystem \((x',t')\) hvor romskipene er i ro i forhold til hverandre, og romstasjonens referansesystem \((x,t)\) som er i ro i forhold til romskipene. Vi unders?kte hvordan tidsintervaller er ulike i de ulike referansesystemene, og spesielt hvordan \(\Delta t_\text{AB}' = \Delta t_\text{BD}'\) men at \(\Delta t_\text{BD} > \Delta t_\text{AB}\). Vi brukte prinsippet om at lyshastigheten er invariant, og hvordan dette medf?rer at samtidighet er relativt. Dette s? vi vet ? studere event C og B i romstasjonens referansesystem. Sett fra romskipene s? skjer event B og D samtidig, men sett fra romstasjonen m? event B skje f?r event C, p? grunn av den relative hastigheten mellom referansesystemene.

I tillegg s? vi p? et ikke-relativistisk tilfelle av pingpong, og hvordan vi ikke kan anvende relativistiske prinsipper p? en ikke-relativistisk situasjon. Selv om tennisballen hadde en konstant hastighet i romskipenes referansesystem i likhet med laserstr?len, s? vil ikke tidsintervallene mellom eventene v?re ulike, fordi klassisk mekanikk og addisjon av hastigheter gjelder i dette tilfellet. Vi s? derfor at vi ikke f?r fenomener som tidsdilatasjon i ikke-relativistiske situasjoner. 

Litt beregninger...

Som du ser i tabellen i begynnelsen av bloggposten, s? er nesten alle koordinatene i det umerkede systemet (romstasjonens referansesystem) ukjente. Heldigvis s? harromskipene ganske n?yaktige m?leinstrumenter montert, slik at vi ved tidspunktene og posisjonene for alle eventene i romskipenes referansesystem. Vi har lest av verdiene og de ser slik ut:

For ? finne tidspunktene og posisjonen til eventene i romstasjonens referansesystem (umerket system), s? kan vi bruke prinsippet om invarians av tidromsavstander. Det betyr avstanden mellom to eventer i tidrommet. Tidrommet er et firedimensjonalt rom hvor tiden er en egen koordinatakse. At tidsromsavstanden er invariant, betyr at den er lik i alle referansesystemer. Vi kan derfor bruke at avstanden mellom to eventer i romskipenes referansesystem er den samme som avstanden mellom de samme eventene i romstasjonens referansesystem. Dette er i praksis bare en hau med ligninger og masse ukjente som vi kan klare ? finne ved ? se p? eventene i ulike referansesystemer. Her kan vi ikke lenge rbruke vanlig euklidisk geometri, vi m? bruke Lorentz-geometri. Tidromsavstanden mellom to eventer, for eksempel event A og B, er definert som

\(\Delta S_\text{AB}^2 = \Delta t_\text{AB}^2- \Delta x_\text{AB}^2 \)               (romstasjonens referansesystem)

\(\Delta S_\text{AB}'^2 = \Delta t_\text{AB}'^2- \Delta x_\text{AB}'^2 \)                (romskipenes referansesystem)

hvor \(\Delta t_\text{AB}, \ \Delta t_\text{AB}'\) er tidsintervallene mellom hendelsene og \(\Delta x_\text{AB}, \ \Delta x_\text{AB}'\) er de romlige intervallene mellom eventene. Legg merke til at det st?r minus istedet for pluss mellom disse, som skyldes Lorentz-geometrien. Men ta det med ro, vi g?r ikke mer i detalj om dette her. For ? finne koordinatene til eventene i det umerkede systemet, s? ser vi p? ligningene:
\(\Delta S_\text{AB}^2 = \Delta S_\text{AB}'^2 \\ \Delta S_\text{AC}^2 = \Delta S_\text{AC}'^2 \\ \Delta S_\text{BC}^2 = \Delta S_\text{BC}'^2 \\ \Delta S_\text{AD}^2 = \Delta S_\text{AD}'^2 \\ \)

Vi skal ikke kjede dere med ? l?se disse i detalj, s? vi n?yer oss bare med ? gi dere resultatene:

Vi ser fra denne tabellen at event B skjer f?r event C, som er akkurat det vi resonnerte oss frem til over!