N? skal vi utforske simultanitet, som er et viktig prinsipp i relativitetsteori. Simultanitet betyr at to hendelser som skjer samtidig i et referansesystem, ikke n?dvendigvis skjer samtidig i et annet. Vi skal anta her at vi ikke kjenner til den spesielle relativitetsteorien enda. M?let med denne oppgaven er ? utforske det Einstein fant ut p? 1900-tallet, som er at siden lysfarten er den samme i alle referansesystemer, s? betyr det at samtidige hendelser ikke er samtidige i alle referansesystemer. Konseptet simultanitet illustrerer hvordan tid og rom er relative st?rrelser som avhenger av observat?ren.
Situasjonen
Her ser vi p? to romskip som begge beveger seg med en hastighet n?r lysets hastighet i forhold til en planet, og begge sender ut hver sin laserstr?le som g?r direkte mot hverandre. N?r str?len treffer romskipene, s? eksploderer de. Sett fra romskipenes referansesystem s? sendes laserstr?lene ut samtidig. Ved ? se p? hendelsene fra ulike referansesystemer, som fra planetens referansesystem, s? ser man at hendelsene ikke skjer samtidig. Vi skal analysere hvordan en observat?r som er plassert midt mellom romskipene oppfatter hendelsene, hvilken laserstr?le som sendes ut og treffer f?rst i de ulike referansesystemene, og hva den kronologiske rekkef?lgen av hendelsene som inntreffer er i planetens referansesystem.
Se for deg at det er to uvedkommende romskip utenfor planeten vi har landet p? som kriger med laserstr?ler. En modig observat?r stiller seg midt mellom dem for ? observere eventene. De to romskipene har samme hastighet i forhold til planeten vi befinner oss p?. Med andre ord s? har de ingen hastighet i forhold til hverandre, alts? relativ hastighet er null. De to referansesystemene vi skal se p? er:
- Referansesystemet til romskipene med merket koordinatsystem \((x', t')\). Det venstre romskipet er alltid i origo \(x' = 0\).
- Referansesystemet til planeten er umerket koordinatsystem \((x,t)\).
For ? holde styr p? situasjonen, definerer vi eventer. Dette er hendelser som skjer i en gitt posisjon ved en gitt tid. Vi har derfor et koordinatsystem som representerer tidrom! Det er fire eventer vi skal analysere:
- Event A: det venstre romskipet skyter ut en laserstr?le
- Event B: det h?yre romskipet skyter ut en laserstr?le
- Event C: det venstre romskipet blir truffet av laserstr?len og eksploderer
- Event D: det h?yre romskipet blir truffet av laserstr?len og eksploderer
I romskipenes referansesystem, s? sendes laserstr?lene ut samtidig (de er samtidige). Det vil si at event A og B skjer samtidig i dette referansesystemet. Den modige bersvat?ren M st?r midt mellom romskipene og beveger seg med samme hastighet (M er alltid midt mellom de). Med andre ord s? er M i ro i romskipenes referansesystem, og vil derfor observere at event A og B skjer samtidig. Merk at hvis M ikke st?r midt mellom romskipene, s? ville hun ikke ha observert event A og B samtidig, siden lyset ville da ha brukt kortere tid p? ? n? frem hvis hun st?r n?rmere det ene eventet. Siden vi kan beskrive posisjonen og tidspunktet M ser begge lysstr?lene, s? definerer vi et nytt event M. I tillegg s? definerer vi avstanden mellom romskipene (sett i referansesystemet til romskipene, hvor de er i ro) til ? v?re \(\text L\).
For ? unng? forvirring, og f? oversikt over alle eventer, s? setter vi opp en tabell som viser tidrom-koordinatene til alle eventene. Vi antar at event A har koordinatene \( x = x’ = 0\) og \(t = t’ = 0\). All bevegelse antas ? v?re kun i \(x\)-retning, s? derfor har vi kun en \(x\)-koordinat her. Dette er da v?rt origoevent, som er hendelsen som definerer n?r klokkene i de ulike referansesystemene skal synkroniseres.
| Romskipene | Planeten | |||
|---|---|---|---|---|
Event |
x' |
t' | x | x |
| A | 0 m | 0 m | 0 m | 0 m |
| B | \(\text L\) m | 0 m | \(x_\text B\) m | \(t_\text B\) m |
| C | 0 m | \(t_\text C'\) m | \(x_\text C\) m | \(t_\text C\) m |
| D | \(\text L\) m | \(t_\text C'\) m | \(x_\text D\) | \(t_\text D\) m |
| M | \(\frac{\text L}{2}\) m |
\(\frac{\text L}{2}\) m |
\(x_\text M\) m | \(t_\text M\) m |
Du lurer nok p? hvorfor alle koordinatene er betegnet med enheten meter. N?r vi snakker om relativitiske eventer, s? bruker vi naturlige enheter, som vil si at vi m?ler b?de tid og avstand i enten meter eller sekunder. Vi har her valgt ? bruke meter. Vi kan oversette sekunder til meter ved ? bruke lysfarten. En meter som sekundenhet er tiden lyset bruker p? ? g? en meter. S? det betyr at n?r vi m?ler sekunder i meter, s? ser vi p? strekningen lyset legger bak seg p? den gitte tiden.
Vi ser fra tabellen at vi har en god del ukjente koordinater i planetens referansesystem. Disse skal vi snart se mer p?. I referansesystemet til romskipene derimot, s? kjenner vi alle koordinatene. Vi ser at event A og B skjer samtidig og at event C og D skjer samtidig. Dette er fordi romskipene er i ro i forhold til hverandre, og siden begge laserstr?lene skytes ut samtidig og lyset har konstant hastighet, s? vil eksplosjonene skje ved samme tidspunkt \(t_\text{C}'\).
Hendelsesforl?p
Vi vet hva som skjer i romskipenes referansesystem, s? n? er det p? tide ? finne ut av hva som skjer i planetens referansesystem. Sett fra planetens referansesystem, s? har de to romskipene, og observat?r M midt mellom dem, en relativ hastighet \(v_\text{rel}\) i forhold til planeten. Vi vet at M ser at event A og B er samtidige. Den f?rste tanken som dukker opp er ofte at “ja men da er de samtidige sett fra planeten ogs?”. Men det skal vi pr?ve ? overtale deg om at de ikke er!
Men, hvorfor kan ikke event A og B skje samtidig i planetens referansesystem?
Gitt at \(v_\text{rel}\) er i positiv \(x\)-retning, s? vil romskipet til h?yre bevege seg vekk fra laserstr?len romskipet til venstre sender ut, og det venstre romskipet vil bevege seg mot laserstr?len det h?yre romskipet sender ut. Det betyr at laserstr?len fra event A vil derfor bevege seg en lengre strekning enn str?len fra event B for ? n? observat?r M midt mellom dem. Dermed vil str?len fra h?yre romskip treffe M f?rst og str?len fra venstre romskip etterp?. Men dette bryter med det vi allerede vet, som er at M ser begge str?lene samtidig! Men hvorfor vil M se str?lene samtidig? Kan ikke den ene str?len g?r fortere enn den andre, tenker du sikkert.
Observat?r M vil nemlig se at begge str?lene skytes ut samtidig, fordi M befinner seg midt mellom romskipene, sett i romskipenes referansesystem. Avstanden fra M til hvert av romskipene er derfor \(\frac{\text L}{2}\). Vi vet at laserstr?lene blir sendt ut samtidig, alts? er event A og B samtidig for observat?r M. Siden romskipene er i ro i forhold til hverandre i dette referansesystemet, og lyshastigheten er konstant, s? bruker lyset like lang tid fra hvert romskip til ? n? observat?r M. Dette er et viktig prinsipp i fysikken, og her ser vi at det er avgj?rende for at M skal se begge laserstr?lene samtidig.
Tror du p? oss n?, n?r vi sier at event A og B ikke kan skje samtidig sett fra planetens referansesystem, selv om de skjer samtidig i romskipenes referansesystem?
La oss finne ut av hva som observeres i planetens referansesystem:
Vi har allerede resonnert oss frem til at lyset fra event A m? bevege seg en lengre strekning enn lyset fra event B for ? komme frem til observat?ren, som betyr at lyset fra A bruker lengre tid enn lyset fra B. For at laserstr?lene skal n? frem til observat?r M samtidig, s? m? derfor laserstr?len fra det venstre romskipet bli sendt ut f?rst. Alts? m? event A skje f?r event B i planetens referansesystem. Hvis vi tenker oss at vi st?r p? planeten og ser p? hendelsen (vi er da i ro og romskip-systemet beveger seg med en hastighet mot h?yre i forhold til oss), s? vil vi observere at lysstr?len fra det h?yre romskipet beveger seg fortere enn lyset fra det venstre. Dette er fordi det venstre romskipet beveger seg mot str?len det h?yre romskipet sender ut, mens det h?yre romskipet beveger seg bort fra str?len det venstre romskipet sender ut. Men som vi l?rte i Fysikk 2, s? vet vi at lyset g?r med samme hastighet uansett. Under er en figur som viser hendelsesforl?pet frem til event M i begge referansesystemer.
Men hva med event C og D i planetens referansesystem? Ta det rolig, de har ikke g?tt i glemmeboka. Vi vet allerede at eksplosjonene (event C og D) skjer samtidig i romskipenes referansesystem, siden event A og B skjer samtidig her. Lyset fra eksplosjonene vil n? frem til observat?r M samtidig, som fremdeles st?r midt mellom romskipene, s? hun oppfatter de som samtidige i romskipenes referansesystem. I planetens referansesystem, s? vil lyset fra den venstre eksplosjonen (event C) bruke lenger tid p? ? n? frem til observat?ren enn lyset fra den h?yre eksplosjonen (event D), p? samme m?te som i analysen av event A og B. Vi vet jo at M ser eksplosjonene samtidig, og siden lyset fra C bruker lengre tid enn lyset fra D, s? kan ikke eksplosjonene v?re samtidige i planetens referansesystem.
Hvilke av eksplosjonene skjer f?rst sett fra planeten?
Her m? vi tenke oss godt om. Observat?ren er jo stuck midt mellom romskipene, og systemet av romskipene og observat?ren beveger seg med en relativ fart mot h?yre i forhold til planeten. Som allerede nevnt, s? bruker lyset fra event C lengre tid p? ? n? frem til observat?ren enn lyset fra event D. Dette er fordi observat?ren beveger seg til h?yre med relativ fart i forhold til planeten, s? hun beveger seg mot lyset fra event D og bort fra lyset fra event C. Ergo, for at lyset fra eksplosjonene skal treffe henne samtidig, s? m? event C skje f?r event D sett fra planeten. S? for ? svare p? sp?rsm?let ditt: det venstre romskipet sender ut laserstr?le f?rst og er ogs? det som eksploderer f?rst sett fra planetens referansesystem!
La oss oppsummere dette i en figur (ikke fordi vi er kunstnere, men fordi vi like r? ha det ryddig og oversiktlig):
Vi kan dermed oppsummere med den kronologiske rekkef?lgen av eventene sett fra planetens referansesystem. Event A skjer f?rst, deretter event B, s? event M (hvor laserstr?lene treffer M samtidig), s? event C og til slutt event D.
For ? illustrere rekkef?lgen til eventene, s? bruker vi det vi kaller et tidrom-diagram. Dette viser alle eventene i de to referansesystemene.
Legg merke til at koordinataksene til det merkede systemet (romskip-systemet) er rotert i forhold til de umerkede aksene. Du m? ogs? merke det at begge aksene har enheten meter. Denne rotasjonen er for ? representere relativistiske effekter som tidsforlengelse og lengekontraksjon. Ved ? analysere diagrammet ser vi hvordan hendelsene oppfattes i de ulike systemene. De merkede aksene er ikke vridd 90 grader, fordi de er vridd avhengig av hastigheten de har i forhold til planeten.
Vi ser i diagrammet at i det merkede systemet, alts? referansesystemet til romskipene, s? skjer event A og B ved samme tid \(t_\text{A}’ = t_\text B’ = 0\) (avstanden mellom de er parallell med \(x'\)-aksen). Videre skjer event C og D samtidig ved samme argument.
I det umerkede systemet, planetens referansesystem, ser vi at event A skjer f?rst ved tiden \(t_\text A = 0\), og deretter skjer event B. Videre skjer event M, C og D (her kan du se p? tid-aksen og se rekkef?lgen).
What’s the moral of the story?
Trommevirvel…La oss oppsummere:
Vi har to referansesystemer, et sett fra de to romskipene og ett sett fra planeten. Midt mellom de to romskipene sto en modig observat?r M. Romskipene og M beveget seg med en fart \(v_\text{rel}\) i forhold til planeten. Det var fire viktige eventer: event A var at det venstre romskipet skutte en laserstr?le, event B var h?yre romskip som skj?t en laserstr?le, event C var at venstre romskip eksploderte og event D var at h?yre romskip eksploderte. Det var to ting som skjedde samtidig i romskipenes referansesystem: at laserskuddene ble skutt og samtidig og disse n?dde frem til M samtidig, og til slutt traff romskipene slik at begge eksploderte samtidig.. Alts? var event A og B samtidige og event C og D var samtidige.
Men, n?r vi setter oss i planetens referansesystem, s? fant vi ut at ingen av disse hendelsene var samtidige her! I stedet s? skj?t romskipet til venstre f?rst, deretter romskipet til h?yre slik laserstr?lene krysset M samtidig, og dermed eksploderte det venstre romskipet f?rst og deretter det h?yre. Alts? skjedde event A, B, C og D i rekkef?lge!
Form?let med ? se p? disse to systemene var ? analysere samtidighet, og hvordan dette er relativt. Grunnen til at noen eventer var samtlige i et referansesystem, men ikke i et annet, er p? grunn av den relative hastigheten det ene referansesystemet hadde i forhold til det andre. Vi fant ogs? ut at samtidighet m? v?re relativt p? grunn av at lysfarten er invariant, som var akkurat det Einstein oppdaget for 100 ?r siden.