Introduksjon
I v?r forrige bloggpost, (Tvillingparadokset I), s? vi en fascinerende fase hvor astronauten Lisa skiftet referansesystem, og det oppsto et stort hopp i tid. La oss utforske hvordan skiftet mellom treghetsystemer og akselererte systemer endrer forst?elsen v?r av relativitetsteorien.
Lisa ankom Destiny, og hopper over i den tilbakevendende heisen og opplever et massivt tidshopp p? 396 ?r, sett fra Homey. Den store tidsforskjellen oppst?r fordi Lisa bytter referansesystem under overgangen. Her ser vi akselerasjonens avgj?rende rolle i den relativistiske fysikken. Vi ser at skiftet mellom systemer ikke er ?yeblikkelige, dette gir oss nye dimensjoner i analysen av tid.
Situasjonen
Vi har tidligere antatt at Lisas overgang fra den utg?ende heisen, romskipet Apollo-Out, til den tilbakevendende heisen, Apollo-In, skjedde ?yeblikkelig. Men er dette egentlig realistisk? Nei, det er jo ikke akkurat det. Derfor skal vi se p? en oppdatert modell, nemlig at Lisa gradvis bremser ned ved Destiny og deretter akselerer tilbake mot Homey.
Tenk deg at Lisa n?rmer seg Destiny, men i stedet for en br?stopp s? bremser hun forsiktig opp med konstant negativ akselerasjon, g. N?r romskipet har n?dd null hastighet, definerer vi denne posisjonen til ? v?re \(t_{\text{vendepunkt}}\). Og ved dette vendepunktet snur romskipet og begynner ? akselerere tilbake mot hjemplaneten Homey.
Vendepunktet ligger mest sannsynlig ikke akkurat ved Destiny, Lisa vil heller fortsette litt forbi planeten f?r den kommer til full stopp.
Men hvorfor skal vi ta med alt dette styret med bremsing og akselerasjon? Jo, fordi da kan vi analysere hvordan tiden tikker i de forskjellige referansesystemene, alts? b?de for Lisa og for Homey. Og - liten spoiler her - vi l?rer at det er akselerasjonen som er ?rsaken til at paradokset ikke er s? paradoksialt likevel.
Hva skjer med tiden p? Homey under denne akselerasjonen?
Dette kan vi finne ut av ved ? introdusere to nye hendelser. De likner p? eventene \(B\) og \(B'\) fra forrige bloggpost, men event \(Y\) og event \(Y'\) har sin egen historie ? fortelle:
- \(\text{Event}\ Y\): Denne hendelsen skjer p? romskipets posisjon under akselerasjonen. Ved tidspunktet \(t_Y\), sett fra perspektivet til Homey, skjer hendelsen mens romskipet har hastigheten \(v(t_Y)\) relativt til Homey.
- \(\text{Event}\ Y'\): Denne foreg?r samtidig som Y, men sett fra romskipets perspektiv. Her er det en astronaut som "passerer" Homey i romskipets referansesystem, og sjekker tiden p? klokkene til Homey.
Du kan se for deg event \(Y'\) som en slags fotograf p? Homey, som alltid er klar med kameraet sitt, og knipser bilder av Homeys klokker hver gang Lisa passerer med en ny hastighet. P? hvert bilde vil vi se klokkene p? Homey tikke raskere og raskere i Lisa sitt referansesystem. Det blir som en slags kosmisk fotoserie som illustrerer hvordan tidene oppleves stadig mer ulikt i de to referansesystemene, ettersom Lisa akselerer.
| Hendelse | Y | Y' | ||
|---|---|---|---|---|
| Planetsystemet (Homey) | \(x_Y=L_0+v_0(t_Y-t_B)+\frac{1}{2}g(t_Y-t_B)^2\) | \(t_Y=t_Y\) | \(x_ {Y'}=0\) | \(t_{Y'}=t_{Y'}\) |
| Romskipsystemet (Lisa) | \(x_Y'=0\) | \(t'_Y=t'_Y\) | \(x'_{Y'}=-\frac{x_Y}{\gamma (t_Y)}\) | \(t'_{Y'}=t'_Y\) |
Hva skjer i vendepunktet?
Vi antar at akselerasjonen til romskipet er \(g=-0,1\ m/s^2\), m?lt i planetenes referansesystem. Men i v?rt system m?les b?de tiden og avstanden i sekunder. La oss derfor oversette akselerasjonen til 'tidsenheter'. Vi har enda lysets hastighet \(c\) satt til 1, hvor vi da har brukt naturlige relativistiske enheter. For ? kunne omgj?re akselerasjonen \(g\) trenger vi ? uttrykke meter i form av kun sekunder, da kan vi enkelt bruke lysets hastighet slik:
\(c = 1\ \text{m/s}\ \Rightarrow\ 1\ \text{meter} =\frac{1}{c}\ \text{sekunder}\)
Dermed kan vi omgj?re enheten til akselerasjonen:
\(g=-0,1\ \text m/ \text s^2\ = 0,1\frac{1}{c^2}\ \text s=1,11\cdot 10^{-18} \ \text s\)
Her ser vi hvordan tid og bevegelse smelter sammen i relativitetens verden. Vi trenger bare ? dele \(g\) p? lysfarten.
N?r er romskipet i vendepunktet, sett fra planetens perspektiv?
Det er ved ?yeblikket \(t_{\text{vendepunkt}}\) at romskipet "st?r stille" og begynner ? akselerere tilbake til Homey.
Her kan vi bruke v?r gode venn - hastighetsformelen for konstant akselerasjon: \(v=v_0-g\cdot t\)
Vi l?ser denne formelen med hensyn p? tiden \(t=t_{vendepunkt}\), ogs? setter vi \(v=0\), siden i vendepunktet vil romskipet har hastighet lik null.
\(t=\frac{v_0}{g}\)
Men vi m? huske ? inkludere \(t_B=202\ \text{?r}\), som var tiden det tar ? n? Destiny. Dermed f?r vi at tiden det tar Lisa ? n? frem til vendepunktet i planetsystemet er lik:
\(t_{\text{vendepunkt}}=t_B-\frac{v_0}{g}=296\ \text{?r}\)
Her ser vi at det tar \(t_{\text{vendepunkt}}-t_B=296\ \text{?r}-202\ \text{?r}=94\ \text{?r}\) for Lisa ? reise fra Destiny og til vendepunktet, n?r vi m?ler tiden p? Homey sine klokker.
Ved hvilket tidspunkt er de i vendepunktet, sett fra Lisas perspektiv?
I det momentet n?r \(t_Y=t_{\text{vendepunkt}}\), hva er tiden for romskipet og Lisa da? Ved vendepunktet er \(v=0\), og vi f?r at \(t_Y=t'_Y\). Siden hastigheten er null er det ingen relativ bevegelse mellom begge referansesystemene. Det er jo tross alt den relative bevegelsen som gir effekten av tidsdilatasjon, s? om vi ikke har noen slik bevegelse vil klokkene tikke likt i begge systemene!
Vi kunne ogs? ha brukt formelen for tidsromsavstanden for ? se matematisk at ved vendepunktet er \(t_Y=t_{Y'}\).
Metode
Her bruker vi samme oppskrift som sist. Den er b?de testet, godkjent og relativistisk vanntett! Dersom du trenger en liten oppfriskning (eller om du bare digger ? lese om metoder), sjekk ut v?r forrige bloggpost Tvillingparadoks I.
Tiden tikker!
Lisa i romskipet Apollo-Out kj?rer f?rst med konstant hastighet, deretter bremser og akselerer. S? hvordan opplever denne gangen Lisa tiden p? hjemplaneten Homey? La oss visualisere dette! Men f?rst, hvordan forventer vi at tiden vil se ut?
Da romskipet kj?rer med konstant hastighet vil vi forvente at tiden p? Homey vil tikke sakte, dette er p? grunn av tidsdilatasjon. N?r raketten begynner bremsingen s? vil det skje noe interessant. Dette vil endre hvordan Lisa oppfatter tiden p? klokkene til Homey. Men vil tiden da tikke saktere eller raskere, sett fra Lisas perspektiv alts?? Og vil dette skje plutselig eller over en liten tid?
Tiden p? Homey kommer stadig til ? bli p?virket av den skiftene tiden \(v(t_Y)\), la oss plotte dette og se hvordan dette ser ut!
Vi kan se p? grafen at her skjer det noe spennende! Ved ?r 200, m?lt i planetsystemet, endres kurven drastisk. Det er her romskipet begynner ? bremse, og at Lisas opplevelse av tiden ogs? vil endres drastisk. N? tikker klokkene p? Homey plutselig mye raskere, sett fra planetsystemet, enn de gjorde da Lisa kj?rte med konsant hastighet.
I begynnelsen av reisen kj?rer Lisa med en konstant hastighet p? \(v=0,99\ c\), og da s? vi at Homey sine klokker tikker saktere, sett fra romskipet. Og dette er jo ikke rart n?r man beveger seg s? raskt blir jo tidsdilatasjonen sterk. Men da romskipet bremses s? endres alt. Da vil jo de relativistiske effektene reduseres, som da gj?r at tiden p? Homey vil tikke raskere fra Lisa sitt perspektiv. Og dette ser vi soleklart p? grafen, klokkene p? Homey tikker sakte i starten, men s? begynner bremsingen og da f?r de opp farten som bare det!
N?r Lisa da Kommer tilbake til Destiny etter vendepunktet, s? vil tiden som er g?tt p? Homey v?re hele 588 ?r! What, hvordan er dette mulig? Vi husker jo fra forrige bloggpost at det tok \(4\ \text{?r}\) for Lisa ? reise fra Homey til Destiny. Og n? som vi har lagt til en akselerasjonsfase, s? er det blitt til \(588\ \text{?r}\)! Hvordan ble det slik?
Svaret ligger i vakker symmetri. Reisen fra Homey til vendepunktet, og tilbaketuren fra vendepunktet til Homey, er helt speilvendte! Lisa begynner reisen sin med en konstant hastighet p? \(v=0,99\ c\), deretter bremser hun (alts? vi har en negativ akselerasjon) ned til \(v=0\). Hun snur ved vendepunktet, akselerer fra null hastighet til den konstante hastigheten p? \(v=0,99\ c\). Disse to reisene er jo kliss like, og vi har symmetri! Dette betyr at Lisa vil observere at tiden tikker likt p? reisen til og fra vendepunktet.
Vi fant ut tidligere at det tok \(296 \ \text{?r}\) for Lisa ? reise til vendepunktet. Og det var kun \(4\ \text{?r}\) av disse som ble brukt p? reisen fra Homey til Destiny. Dette betyr at Lisa brukt \(292\ \text{?r}\) p? ? bremse ned til vendepunktet. Alts? tok akselerasjonsfasen \(292\ \text{?r}\)! Og p? grunn av symmetrien, tar det n?yaktig like lang tid for Lisa ? akselerere romskipet tilbake mot Destiny fra null hastighet. N?r vi summerer opp disse tidene s? ser vi at reisen fra Homey til vendepunktet, og tilbake igjen til Destiny tok totalt \(588\ \text{?r}\). Er ikke det helt spr?tt? Reisen fra Homey g?r fra ? vare 4 ?r til ? bli til 588 ?r i l?pet av akselerasjonsfasen. Slik er relativiteten, perspektivet ditt kan endre alt!
Hvor gammel blir Lisa i l?pet av akselerasjonsfasen?
Vi husker fra forrige bloggpost at Lisa eldes 57 ?r p? reisen til og fra Homey. Da s? vi kun p? reisen med konstant hastighet. Men hva skjer n?r vi n? tar med akselerasjonsfasen frem til vendepunktet?
Husker du heismodellen v?r? Vi har en rekke med uendelig romskip som fungerer som en heis mellom Homey og vendepunktet. N?r Lisa begynner ? bremse, hopper hun fra romskip til romskip. Og det samme skjer p? tilbakeveien, n?r hun akselerer fra vendepunktet mot Destiny, s? hopper hun fra romskip til romskip.
La oss starte litt p? nytt. Ved vendepunktet setter Lisa klokken til null, vi kaller dette \(\text{event}\ E\). Og s? begynner Lisa ? akselerere mot Destiny. Hun hopper da fra romskip til romskip, og hvert romskip vil ha en litt h?yere hastighet enn den forrige. N?r Lisa da flytter seg til den neste delen av heisen, opplever hun en akselerasjon, men i sm?, h?ndterbare porsjoner. Slik deler vi opp reisen hennes i mindre tidsintervaller, noe som er veldig praktisk n?r vi skal regne ut hvor mye eldre hun blir. Vi bruker tidsdilatasjon for ? finne en sammenheng mellom tiden m?lt i planetsystemet, \(\Delta T\), fra event E og tiden m?lt av Lisa \(\Delta T'\). Men vi akselerer jo, hvordan kan vi bruke tidsdilatasjon? Siden vi deler opp akselerasjonen i mindre deler, alts? flere hopp mellom romskipene i heisen, s? ser vi p? korte ?yeblikk hvor hastigheten er tiln?rmet konstant. Slik ser vi at Lisa ble 74,5 ?r eldre i l?pet av akselerasjonsfasen, sett fra romskipsystemet. Veldig spennende, ikke sant? Men la oss n? se p? hvordan klokken tikker for alle observat?rene.
Hva viser klokkene egentlig?
Tiden er relativ og oppleves ulikt for de forskjellige observat?rene. Dersom vi skulle la dem sammenligne m?lingene sine etter Lisas reise, s? hadde det nok blitt en livlig diskusjon. La oss se hva klokkene deres faktisk viser!
- Tiden m?lt i planetsystemet (Homey sin tid):
-
Reisen fra Homey til Destiny: 202 ?r
-
Akselerasjonsfasen fra Destiny til null hastighet: 94 ?r
-
Akselerasjonsfasen tilbake fra null hastighet til Destiny: 94 ?r (ved symmetri)
-
Returen fra Destiny til Homey: 202 ?r ( ved symmetri)
-
Total reisetid: 592 ?r
- Tiden m?lt p? Lisas klokke (romskipsystemet)
Dette er tiden som Lisa selv opplever p? reisen. Klokken hennes vil tikke saktere enn klokkene p? Homey, som en konsekvens av tidsdilatasjon og relativ bevegelse.
-
Reisen fra Homey til Destiny: 28,5 ?r
-
??????????????Akselerasjonsfasen fra Destiny til null hastighet: 74,5 ?r
-
Akselerasjonsfasen tilbake fra null hastighet til Destiny: 74,5 ?r (ved symmetri)
-
Returen fra Destiny til Homey: 28,5 ?r (ved symmetri)
-
Total reisetid: 206 ?r
- Tiden m?lt av observat?ren ved Homey (romskipsystemet)???????
Dette er tiden som vises p? klokkene til Homey, men m?lt fra Lisas referansesystem.
-
???????Reisen fra Homey til Destiny: 4 ?r
-
??????????????Akselerasjonsfasen fra Destiny til null hastighet: 292 ?r
-
Akselerasjonsfasen tilbake fra null hastighet til Destiny: 292 ?r (ved symmetri)
-
Returen fra Destiny til Homey: 4 ?r (ved symmetri)
-
Total reisetid: 592 ?r
Alle har ulike m?linger, men alle har rett. Hvordan er det mulig? Hver observat?r m?ler tiden fra sitt referansesystem, og hva m?lingen blir avhenger av fart og akselerasjon. Det virker kanskje som om vi har en uenighet, men det er bare slik tid fungerer i ulike systemer. Mens Lisa har brukt 206 ?r av livet sitt p? reisen, har Homey sett at klokkene har tikket i 592 ?r.
Konklusjon
S? hva har vi l?rt? Fra Homeys perspektiv varer den episke romferden til i 592 ?r, men selv opplever Lisa bare at det er g?tt 206 ?r. Dette er ikke noe science fiction - men vitenskap p? sitt kuleste! Takket v?re relativitetsteorien til Einstein vet vi at tidsdilatasjon f?r klokkene til ? tikke ulikt for observat?rer som beveger seg i forhold til hverandre.
Lisa og tvillingen hennes (som holder seg hjemme p? Homey) vil oppleve tiden forskjellig. Tvillingen mener at klokkene p? Homey har tikket som bare det i 592 ?r. Derimot har Lisa reist i nesten lysets hastighet og v?rt gjennom flere akselerasjoner, og opplevd at klokken hennes har "tikket saktere". Og n?r hun endelig f?r se tvillingen sin igjen, er hun hele 386 ?r yngre! Hvordan er det mulig? Jo, for Lisa har v?rt p? farten hun - bokstavelig talt! Og det er slik at begge tvillingene har like rett i sine tidsm?linger. Og derfor vil tidsforskjellen mellom dem v?re helt reell og fysisk da de m?tes igjen.
Tvillingparadokset? Kanskje det ikke er et paradoks i det hele tatt. Lisa har opplevd relativ hastighet i forhold til tvillingen sin, og hun har opplevd flere akselerasjoner. Det betyr at de vil oppleve tiden annerledes fra hverandre. Og dette er jo akkurat det som relativitetsteorien forutsier. Ikke noe paradoks, bare relativitetens magi i praksis!