Analyse av atmosf?ren

N? skal vi unders?ke atmosf?ren til Narnia, og vi skal finne ut hva den midlere molekylvekten er. Dette skal vi finne ut ved spektralanalyse, hvor vi skal finne ut hvilke gasser atmosf?ren best?r av. F?r vi kaster oss p? analysen, skal jeg f?rst gjennomg? litt teori slik at dere kan forst? hva vi gj?r!

Spektralanalyse

Vi skal studere str?lingsfluksen til Narnia ved ? se p? absorpsjonsspekteret vi observerer fra raketten. Hvis du ikke helt husker hva fluks er, s? kan du ta en titt innom et tidligere innlegg hvor vi diskuterte lysfluks. Atmosf?ren til planeten vil best? av diverse ukjente gasser, og disse gassene vil absorbere str?ling ved spesifikke b?lgelengder og lage s?kalte absorpsjonslinjer, som du nok ble kjent med allerede i naturfag p? f?rste klasse i videreg?ende! Ved ? finne b?lgelengden som disse absorpsjonslinjene ligger p?, s? kan vi finne hvilke gasser atmosf?ren til Narnia best?r av. I den f?lgende tabellen kan du se spektrallinjene til vanlige gasser funnet i atmosf?ren til planeter.

Som du kan se i tabell 1, s? har noen gasser flere spektrallinjer, mens noen har bare en. Dette er fordi noen gasser ikke n?dvendigvis har flere spektrallinjer. Senere n?r vi skal utf?re spektralanalysen, s? trenger vi ikke ? observere flere av spektrallinjene til en gass for ? kunne si at den er en del av atmosf?ren. Det holder at vi observerer en av spektrallinjene til en gass for ? kunne si at den er tilstede i atmosf?ren.

N?r vi skal studere spekteret til fluksen og lete etter disse absorpsjonslinjene, s? vil det ikke v?re s? rett frem som ? se etter tydelige dypp i fluksen. Vi vil nemlig oppleve st?y i m?lingene v?re, som vil gj?re spekteret litt vanskeligere ? tolke! I tillegg s? g?r vi jo i bane rundt planeten, og vi vil bevege oss i forhold til atmosf?ren. Da vil enda en faktor komme i spill, nemlig dopplereffekten, som vi forklarte i et tidligere innlegg. Hvordan skal vi klare ? finne gassene som atmosf?ren best?r av n? som alt ble s? komplisert?!

Vi tar ting et steg av gangen, og starter med ? se p? dopplereffekten. Vi finner en ?vre grense for hastigheten til raketten i forhold til Narnia i den tiden vi observerer og gj?r m?lingene v?re. Dette bruker vi for ? finne et uttrykk for det maksimale dopplerskiftet som vi kan observere. Da f?r vi f?lgende uttrykk:

\(\Delta \lambda _{max} = \dfrac{v_{r,max}\cdot \lambda_0}{c}\)

Her er \(v_{r,max}\) den ?vre grensen for rakettens radielle hastighet i forhold til Narnia, \(\lambda_0\) er b?lgelengden til gassen vi unders?ker, og \(c\) er lysets hastighet. Dopplerskiftet vil alts? variere etter hvilken gass vi unders?ker, og vi m? ta hensyn til dette i analysen v?r senere. 

N? g?r vi videre til ? se p? neste faktor. For ? finne ut hvilke gasser som befinner seg i atmosf?ren til Narnia s? skal vi lage modeller for spektrallinjene, og s? sammenligne modellene med m?lingene v?re for ? se hvilken som passer best. Deretter skal vi vurdere om den beste modellen tilsier at det er en faktisk absorpsjonslinje tilstede, men dette kommer vi tilbake til senere. Modellene vi skal lage vil avhenge av ulike faktorer, nemlig hva den sentrale b?lgelengden \(\lambda_0\) til spektrallinjen er, fluksen \(F_{min}\) ved senteret av spektrallinjen, og standardavviket \(\sigma\) til spektrallinjen. I figur 1 kan du se en illustrasjon av alle disse st?rrelsene.

N? skal vi finne et uttrykk for standardavviket \(\sigma\) til spektrallinjen. Dette vil vi finne ved ? bruke FWHM (Full Width at Half Maximum), som er et m?l p? bredden til kurven ved halvparten av maksimalpunktet. Du trenger ikke n?ye deg med hvor vi fikk det f?lgende uttrykket fra, det kommer simpelthen fra et formelark. FWHM for spektrallinjen er:

\(FWHM = \dfrac{2\lambda_0}{c}\sqrt{\dfrac{2kT \text{ln} 2}{m}}\)

Hvor \(k\) er Boltzmanns konstant, \(T\) er temperaturen i gassen, og \(m\) er massen til et gassmolekyl. Vi har en sammenheng mellom standardavviket og FWHM som ser slik ut:

\(\sigma = \dfrac{FWHM}{\sqrt{8\text{ln}2}}\)

Ved ? kombinere disse uttrykkene f?r vi f?lgende uttrykk for standardavviket til spektrallinjene:

\(\sigma = \dfrac{\lambda_0}{c}\sqrt{\dfrac{kT}{m}}\)

Vi skal lage modellen for en spektrallinje ved en gaussisk funksjon som vil avhenge av parametrene \(\lambda_0\), \(F_{min}\) og \(\sigma\), som vi skal justere for ? finne den beste modellen. Modellen v?r vil se slik ut:

\(F(\lambda) = F_{cont}(\lambda) + (F_{min}-F_{cont}(\lambda))e^{-(\lambda-\lambda_0)^2/(2\sigma^2)}\)

\(F_{cont}(\lambda)\) er den fluksen vi ville ha observert hvis det ikke hadde v?rt noen absorpsjon tilstede, og denne er lik 1. For ? finne ut hvilken modell som er best, skal vi bruke kji-kvadrat-metoden. Denne metoden f?lger de samme prinsippene som minste kvadraters metode, som du kanskje husker fra et tidligere innlegg. Forskjellen er at kji-kvadrat-metoden tar hensyn til at st?yen i m?lingene varierer. Denne metoden vil minimere f?lgende funksjon for ? finne den beste modellen.

\(\chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \left[ \dfrac{f_i -f(t_i)}{\sigma_i} \right]^2 \)

Her er \(f_i\) verdien for fluks som vi m?ler, \(f(t_i)\) er fluksen vi forventer basert p? modellen vi tester, og \(\sigma_i\) er standardavviket til st?yen i m?lingene. N? gjelder det ? holde tungen litt rett i munnen, siden vi n? jobber med to forskjellige standardavvik, en for spektrallinjene og en for st?yen til m?lingene v?re!

N? har vi p? plass den teorien vi trenger for ? kunne starte p? analysen v?r!

Modellering og minimering

Vi vil g? gjennom mange ulike kombinasjoner av verdier for \(\lambda_0\), \(F_{min}\) og \(\sigma\), s? vi starter med ? velge grenser til disse verdiene og hvor mange verdier vi vil teste. Vi bruker \(10km/s\) som en ?vre grense for hastighet, som vil bestemme det maksimale dopplerskiftet for hver gass. Videre vil vi bruke verdier for temperatur innenfor intervallet \([150,450]\) m?lt i Kelvin, som vil bestemme grensene til \(\sigma\) for hver gass. For \(F_{min}\) vil vi bruke verdier innenfor intervallet \([0.7,0.9]\) m?lt i \(W/m^2\), siden ekte absorpsjonslinjer vil typisk befinne seg innenfor dette intervallet, og de vil v?re noks? brede. Tilsynelatende absorpsjonslinjer som har lavere verdi for \(F_{min}\) enn 0.7, vil h?yst sannsynlig v?re falske linjer skapt av st?y, og de vil v?re veldig tynne.

Vi velger ? teste for 30 uniformt fordelte verdier for b?de \(\sigma\) og \(F_{min}\) fordelt p? intervallene som vi har bestemt. Videre velger vi ? teste modellen v?r med verdier for \(\lambda_0\) sentrert rundt b?lgelengden for spektrallinjen til gassen vi unders?ker, og innenfor intervallet \([\lambda_{gass}-\Delta\lambda_{max}-2\sigma_{min},\lambda_{gass}+\Delta\lambda_{max}+2\sigma_{max}]\). Her er \(\lambda_{gass}\) b?lgelengden til gassen, \(\Delta\lambda_{max}\) er det maksimale dopplerskiftet som vi fant et uttrykk for tidligere, \(\sigma_{min}\) er standardavviket for temperatur lik 150K, og \(\sigma_{max}\) er standardavviket for temperatur lik 450K. Vi har valgt ? bruke \(2\sigma\) i dette intervallet, siden da hvis dopplerskiftet er stort og absorpsjonslinjen er sentrert p? enden av det vanlige intervallet, s? vil vi dekke mesteparten (95%) av absorpsjonslinjen i dette tilfellet.

N? som vi har alle verdiene vi skal teste for, s? kan vi starte med analysen. For hver b?lgelengde til hver gass s? lager vi en modell for fluks for alle mulige kombinasjoner av \(\sigma\), \(\lambda_0\) og \(F_{min}\). Deretter bruker vi kji-kvadrat-metoden for ? finne hvilken av disse modellene som er best for hver b?lgelengde for hver gass.

Vi har n? den beste modellen for hver av b?lgelengdene, men vi er enda ikke ferdig! N? skal vi unders?ke om disse modellene tilsier at det er en reell absorpsjonslinje tilstede!

Hvilke gasser er faktisk i atmosf?ren?

Vi skal straks unders?ke hvilke av modellene v?re som er faktiske absorpsjonslinjer for ? finne ut hvilke gasser som er tilstede, og da er det noen faktorer som vi m? ta hensyn til. Som nevnt tidligere, s? holder det at bare en av b?lgelengdene for en gass har en absorpsjonslinje for at vi kan si at gassen er en del av atmosf?ren. Videre n?r vi vurderer hvilke absorpsjonslinjer som er ekte, s? m? vi sjekke om de er konsistente med hverandre. Med dette mener jeg at vi vil m?le at vi har tiln?rmet lik hastighet for alle reelle absorpsjonslinjer, og dette finner vi ved dopplerskiftet. Hastighetene kan variere litt fra hverandre for de reelle absorpsjonslinjene p? grunn av st?y i m?lingene. Vi m? ogs? sjekke at for hver b?lgelengde tilh?rende samme gass, at temperaturen er tiln?rmet lik. Temperaturen kan derimot variere mellom de ulike gassene.

N? kan vi endelig starte ? vurdere resultatene v?re, og finne ut hvilke gasser som er i Narnias atmosf?re!

Tabell 2 viser resultatene v?re fra kji-kvadrat-metoden, og inneholder verdiene for den beste modellen for hver av b?lgelengdene til hver gass. Her er \(\lambda_0\) den forventede b?lgelengden, alts? b?lgelengden for spektrallinjen til hver gass. Videre er \(v\), \(T\) og \(F_{min}\) verdier vi fikk fra kji-kvadrat-metoden. \(F_{min}\) f?r vi simpelthen fra ? se p? hvilken kombinasjon av verdier som ga den beste modellen. Vi fant \(v\), som er rakettens hastighet i forhold til Narnia, ved ? se p? dopplerskiftet mellom den sentrale b?lgelengden i den beste modellen og \(\lambda_0\). Videre fant vi \(T\) ved ? bruke verdien for \(\sigma\) fra den beste modellen, og ved ? stokke litt om p? formelen vi fant tidligere for \(\sigma\).

N? er det p? tide ? finne ut hvilke av disse modellene som tilsier en ekte absorpsjonslinje! Det er nok litt vanskelig ? finne ut av dette bare ved ? se p? tabell 2, s? vi skal ogs? se litt p? grafer, hvor vi sammenligner den gaussiske funksjonen for den beste modellen med m?lingene v?re for fluks. Da vil vi se om modellen v?r tilsvarer en faktisk absorpsjonslinje, ved ? se om m?lingene v?re har et tydelig dypp ved dyppet i modellen. Vi vil ogs? se om dette dyppet skiller seg noks? tydelig fra resten av m?lingene. Vi har s? mange som 12 modeller ? unders?ke, s? jeg skal ikke g? i detalj p? absolutt alle, men jeg skal vise tankegangen v?r for hvordan vi bestemmer mellom ekte og falske linjer.

I figur 2 kan du se modellen v?r for absorpsjonslinjen for spektrallinjen med b?lgelengde 632nm for oksygen. Her ser vi at m?lingene ved modellen v?r har et tydelig dypp som skiller seg fra m?lingene like ved. Dette kan tilsi at vi har en faktisk absorpsjonslinje for oksygen med 632nm. Likevel ser vi at det er et annet "dypp" i m?lingene med en viss bredde omtrent ved 632.00nm med \(F_{min} \approx 0.85\). S? det vil v?re mulig for st?y ? lage tilsynelatende absorpsjonslinjer. Det er mulig at v?r modell tilpasser seg en falsk absorpsjonslinje, selv om den ser ekte ut. Derfor forsetter vi videre og sier for n? at dette kan v?re en ekte absorpsjonslinje, med forbehold at vi kanskje m? forkaste den senere.

For de resterende spektrallinjene for oksygen f?r vi lignende resultater, hvor modellene ser ut til ? tilpasse tilsynelatende absorpsjonslinjer (grafene for disse linjene kan du finne her). Likevel, ved ? se i tabell 2 ser vi at de tre modellene for oksygen har ganske forskjellig verdi for \(v\), og dermed kan bare en av linjene for oksygen potensielt tilsvare en ekte absorpsjonslinje. Vi pr?ver ? se etter absorpsjonslinjer for de andre gassene for ? finne ut hvilken hastighet vi b?r se p?. Vi husker p? at vi bare trenger at en av linjene til en gass er en ekte absorpsjonslinje for ? kunne si at gassen er en del av atmosf?ren.

I figur 3 kan du se modellen v?r for absorpsjonslinjen for spektrallinjen med b?lgelengde 720nm for vanndamp. Her ser vi at modellen v?r har ganske h?y \(F_{min}\) p? 0.9, og at modellen v?r ikke skiller seg s?rlig fra m?lingene som ligger omkring. Dermed vil jeg si at dette er en falsk absorpsjonslinje og vi forkaster denne.

Vi bruker samme tankegang p? de resterende modellene v?re, og ser om modellen v?r har et tydelig dypp som skiller seg fra m?lingene omkring. Ved tilsvarende tankegang som for vanndamp med b?lgelengde 720nm, forkaster vi ogs? vanndamp med b?lgelengde 820nm, begge linjene for karbondioksid, og linjen for lystgass. Grafene for disse modellene finner du her.

I figur 3 kan du se modellen v?r for absorpsjonslinjen for spektrallinjen med b?lgelengde 1660nm for metan. Her ser vi at m?lingene har et tydelig dypp ved modellen v?r. Dette dyppet har en betydelig bredde som skiller seg fra m?lingene rundt. Jeg vil derfor si at denne modellen tilsier en ekte absorpsjonslinje.

Den andre linjen for metan har ogs? et tydelig dypp med en viss bredde, men m?lingene omkring ser mer "st?yete" ut (du kan finne bilde for denne her). Vi ser i tabell 2 at linjene for metan har omtrent 80K forskjell i temperatur, og vi vet at linjer for samme gass b?r ha tiln?rmet lik temperatur. Derfor forkaster vi linjen for metan med b?lgelengde 2200nm. Likevel husker vi at vi bare trenger en ekte linje for en gass for ? kunne si at gassen er tilstede i atmosf?ren.

Vi har n? en linje som vi har bestemt at er en ekte absorpsjonslinje, alts? metan med b?lgelengde 1660nm. Vi ser da p? de resterende linjene som vi ikke har forkastet, om de har tiln?rmet lik verdi for \(v\). 

Vi hadde tre mulige linjer for oksygen, men bare en av disse kunne v?re riktig. N? kan vi se om noen av deres verdi for \(v\) samsvarer med metan med b?lgelengde 1660nm. Da ser vi i tabell 2 at oksygen med b?lgelengde 760nm har tiln?rmet lik verdi for hastighet som v?r bekreftede linje for metan. Da sier vi at denne linjen ogs? er en ekte absorpsjonslinje. 

N? har vi bare to resterende linjer som vi ikke enda har forkastet, som er linjen for karbonmonoksid og vanndamp med b?lgelengde 940nm. Vi ser i tabell 2 at begge disse linjene har tiln?rmet lik verdi for hastighet som v?re bekreftede linjer, og dermed kan disse ogs? potensielt v?re ekte absorpsjonslinjer. Da ser vi p? grafene deres (figur 5 og 6), og der ser vi at begge har tydelige dypp med en viss bredde som skiller seg fra m?lingene omkring. Dermed bestemmer vi at begge disse ogs? er ekte absorpsjonslinjer. 

Da har vi alts? kommet fram til at vi har 4 ekte absorpsjonslinjer, som tilsier at vi har oksygen, vanndamp, metan og karbonmonoksid i atmosf?ren til Narnia! N? er det p? tide ? bruke denne kunnskapen!

Hvor tett er egentlig atmosf?ren?

N? som vi vet hvilke gasser atmosf?ren best?r av, s? kan vi endelig finne ut hvor tett atmosf?ren er. Her vil vi gj?re en antakelse at alle gasser som vi fant at er tilstede, vil oppst? i lik mengde. Alts? siden atmosf?ren best?r av 4 ulike gasser, s? vil da atmosf?ren v?rt sammensatt av 25% av hver av gassene.

N? skal vi finne den midlere molekylvekten \(\mu\) til atmosf?ren, som er et m?l p? den gjennomsnittlige massen til en partikkel i atmosf?ren m?lt i hydrogenmasser. Denne finner vi ved f?lgende uttrykk:

\(\mu = \dfrac{1}{m_H} \sum_{i=1}^N P_i \cdot m_i = \dfrac{P}{m_H} \sum_{i=1}^N m_i\)

Her er \(m_H\) massen til et hydrogenmolekyl, \(N\) er antallet gasser atmosf?ren best?r av, \(P_i\) er prosentandelen en gass er av atmosf?ren, og \(m_i\) er massen til et molekyl av gassen. Siden det er lik prosentandel av hver gass i atmosf?ren kan vi flytte \(P_i\) ut av summetegnet, slik at \(P=0.25\) er utenfor summeringen.

Vi vil her bruke at \(m_H = m_p = m_n = 1.67\cdot10^{-27}kg\), hvor \(m_p\) og \(m_n\) henholdsvis er massen til et proton og et n?ytron. Da har vi at massen til et molekyl av en gass er gitt ved antallet protoner/n?ytroner ganget med massen til et proton. Dermed f?r vi at den midlere molekylvekten til atmosf?ren til Narnia er f?lgende:

\(\mu = \dfrac{P}{m_H} \cdot \left( m_{O_2} + m_{H_2O} + m_{CH_4} + m_{CO} \right) \approx 23.5\)

N? har vi endelig kommet fram til et resultat ved hjelp av spektralanalysen v?r. Men hva vil dette svaret si da? Det er kanskje ikke s? intuitivt ? forst? hva det vil si at den midlere molekylvekten til atmosf?ren er 23.5? Til sammenligning er den midlere molekylvekten til jordas atmosf?re lik 28.96. Atmosf?ren til Narnia er alts? litt lettere enn jorda sin!

Vi m? likevel huske ? ta dette resultatet med en klype salt! Ettersom den er beregnet basert p? resultatene v?re fra spektralanalysen, og som dere nok har skj?nt s? var ikke disse helt skuddsikre. Spektralanalysen besto jo nemlig av at vi bestemte hvilke gasser som var tilstede basert p? resultatene fra kji-kvadrat-metoden. Da bestemte vi gasser etter beste evne basert p? tallene og grafene vi fikk, men vi kan s? klart ha gjort litt feil her. I tillegg har vi jo ogs? gjort en forenkling n?r vi regnet den midlere molekylvekten, ved ? anta at alle gassene i atmosf?ren oppst?r i lik mengde. Dette vil s? klart ogs? p?virke resultatet v?rt. Likevel vil vi bruke dette resultatet videre, men vi har i bakhodet at den inneholder litt feilmarginer!

Vi skal straks bruke resultatet v?rt n?r vi skal modellere atmosf?ren i neste innlegg, f?lg med videre!