S??????, hva gj?r en planet beboelig egentlig? Hva er forutsetningen for at liv skal kunne eksistere? Vann, s? klart! S? la oss sette i gang og finne ut hvilke av planetene v?re det kan v?re flytende vann p?.
Vi lager oss en forenklet modell for dette, og gj?r en antagelse om at flytende vann kun kan eksistere i omr?der der temperaturen varierer mellom 260K og 390K, med et slingringsmonn p? ±15K. Forresten, kjenner du til K? Ikke hovedkarakteren "K" fra Kafkas "Prosessen", men K som i enheten? K som i Kelvin, et m?l p? temperatur? K som i den litt mer seri?se temperatur-m?lenheten enn sin fetter Celsius? Flott, det er bra du henger med! Da kan vi g? videre til ? unders?ke hvilke av planetene i solsystemet v?rt som har temperaturer innenfor denne grensa. Merk: N?r vi sier temperaturen til en planet, mener vi alltid overflatetemperaturen, og som regel en gjennomsnittlig verdi av den! Som du (sannsynligvis) har erfart i l?pet av ditt liv p? jorda, varierer overflatetemperaturen her avhengig av hvor n?rme omr?dene er sola. Det samme gjelder ogs? for v?re planeter! Derfor kommer vi til ? sjekke om forskjellen i temperatur er veldig stor, for ? bestemme om det er greit av oss ? anta at de er sorte legemer (forklaring kommer!). Hvis vi kan tiln?rme dem som sorte legemer, kan vi utnytte at disse har stabile temperaturer. Dermed kan vi gj?re beregningene v?re kun ved hjelp av gjennomsnittstemperaturen til planetene.
Okayyy, let's go
Hvordan i all verden skal vi s? finne temperaturen til planetene? Vi blar febrilsk i papirene v?re. Alt som st?r i hodet p? oss er ? finne symbolet T. "REVEAL YOURSELF", roper vi i kor mens hundre ravner flakser avg?rde (Vi m? ha v?rt s? oppslukt i arbeidet at vi ikke la merke til at alle disse ravnene kom inn p? kontoret v?rt). S? plutselig brer en solstr?le seg inn gjennom vinduet. "Aha!", sier vi i kor og ser p? hverandre med de skjeveste smilene tenkes kan. "Ved ? ta utgangspunkt i fenomenet fluks kan vi utlede et uttrykk for temperaturen til planetene", sier kollegaen min.
Vi starter med ? anta at planetene v?re er sorte legemer, det vil si at de absorberer all str?ling som treffer dem (dette er ikke helt sant, det gjelder kun lys- og varmestr?ling), og dermed ikke reflekterer noe (dette er heller ikke helt sant, de reflekterer andre typer str?ling). De oppfattes derfor som sorte, derav navnet! Vi antar selvf?lgelig ogs? at stjerna v?r er et sort legeme. Denne tiln?rmingen gj?res ofte i astrofysikken. I tillegg vil de sorte legemene sende ut s?kalt Planck-str?ling. Dette er en type varmestr?ling, og de sorte legemene sender ut mer av denne jo varmere de er! Slik varierer denne str?lingen med temperaturen p? det sorte legemet:
Deretter antar vi at netto energi ut fra planeten er null, dvs. at like mye energi str?mmer ut og inn av den. Dette er veldig nyttig for oss! La oss finne et uttrykk for str?mningene.
S?, tilbake til fluks. Fluks er et litt rart ord, men det dukker opp mange steder i fysikken, s? det er lurt ? l?re seg det f?rst som sist. Fluks forklares ofte som et m?l p? str?mning, alts? for hvor mye av whatever som str?mmer gjennom whatever. For den typen vi snakker om, er fluksen F definert som \(F = \frac{dE}{dA dt}\), der dE er endring i energi, dA er endring i areal, og dt er en endring i tid. Det er akkurat dette vi trenger! Lovely, n? har vi byggeklossene vi trenger for ? bygge modellen v?r.
Dersom man befinner seg en avstand r unna stjerna v?r, vil fluksen man mottar (\(F_{p, ~inn}\)) kunne uttrykkes slik: \(F_{p, ~inn} = \frac{dE_*}{dAdt} = \frac{L_{*}}{A} \). Fluksen man mottar er alts? luminositeten (\(\frac{dE_*}{dt} \)= energiustr?ling per tid) til stjerna, delt p? det arealet dA str?lingen treffer. OBS: Dette arealet er overflatearealet til en tenkt kule som omslutter stjerna i en viss radius r unna den. Dette kan v?re litt forvirrende! I v?rt tilfelle vil r v?re avstanden fra stjerna til planeten. Se her:
S? \(F_{p, ~inn} = \frac{L_{*}}{4\pi r^2}\), der r som sagt er avstanden mellom stjerne og planet. N? vet vi alts? fluksen som kommer inn mot planeten. Da kan vi samtidig finne et uttrykk for endringen i energi dette gir. Flytter vi litt rundt p? definisjonen av fluks kan vi f? et uttrykk for energiendring: \(\frac{dE}{dt} = F\cdot dA\). I v?rt tilfelle blir det :
\(\frac{dE_{p, ~inn}}{dt} = F_{p,~inn}\cdot dA_p = \frac{L_{*}}{4\pi r^2} \cdot dA_p\)
Phew! Hvis du synes dette er litt kjedelig ? lese, s? kan vi forsikre deg om at det snart skal bli morsomt igjen. ? bygge opp teorien vi trenger for ? gj?re ting i praksis, er omtrent som ? bygge et hus. Hvis vi slurver mens vi bygger fundamentet, risikerer vi at hele huset raser. S?, la oss fortsette litt til!
I v?rt tilfelle vil arealet som treffes (\(dA_p\)), v?re den siden av planeten som er vendt mot stjerna. Alts? vil ikke dette arealet v?re hele overflatearealet av planeten, men av sirkelskiva vendt mot stjerna! Da blir \(dA_p = \pi r_p^2\), der \(r_p\) er radien til planeten. Ganske intuitivt egentlig, ikke sant? Vi har illustrert det her:
Okay! Henger du med? N? som vi vet hva arealet som treffes er, m? vi finne luminositeten til stjerna. Vi gj?r dette enkelt, og bruker definisjonen av fluks igjen! Denne gangen finner vi derimot fluksen ut av stjerna: \(F_{*, ~ ut} = \frac{L_*}{A_*} \). Fluksen fra stjerna g?r radielt ut i alle retninger, s? arealet (\(A_*\)) vi ser p? n? m? v?re arealet til hele stjernekula, alts? \(A_* = 4\pi r_{*}^2\), der \(r_*\) er radien til stjerna. Vi kombinerer dette med Stefan-Boltzmanns lov, som sier at fluksen F som sendes ut av et sort legeme er gitt ved \(F = \sigma T^4\) (Dette utledes p? side 5-6 her). For stjerna blir da fluksen som sendes ut gitt ved \(F_{*,~ut} = \sigma T_{*}^4\), der \(\sigma\) er Boltzmanns konstant, og \(T_*\) er temperaturen til stjerna. Satt sammen gir det oss:
\( \frac{L_*}{A_*} = \sigma T_{*}^4 \implies L_* = \sigma T_{*}^4 \cdot A_* = \sigma T_{*}^4 \cdot 4\pi r_{*}^2\)
Yay! N? har vi et pent uttrykk for luminositeten til stjerna som vi kan sette inn i uttrykket v?rt for energien inn p? planeten:
\(\begin{align} \frac{dE_{p, ~inn}}{dt} &= F_{p,~inn}\cdot dA_p \\ &= \frac{\sigma T_{*}^4 \cdot ~4\pi r_{*}^2}{4\pi r^2} \cdot \pi r_p^2 \\ &= \sigma T_{*}^4 \cdot (\frac{r_*}{r})^2 \cdot \pi r_p^2 \end{align}\)
Hvis du forst?r disse overgangene er du flink! N? har vi alts? f?tt et uttrykk for energien som mottas av planeten, men vi trenger ogs? et uttrykk for energien som sendes ut. Vi skulle jo bruke at den netto energien ut av planeten er null! ? finne et uttrykk for energien som sendes ut av planeten (\(dE_{ut}\)) er heldigvis en god del enklere. Vi bruker rett og slett bare definisjonen av fluks igjen, i kombinasjon med Stefan-Boltzmanns lov for fluks utsendt av sorte legemer. Da finner vi at
\(\frac{dE_{ut}}{dt} = \sigma T_{p}^4 \cdot 4\pi r_{p}^2\)
der \(T_p\) er temperaturen p? planeten og \(r_p\) fremdeles er radien til planeten.
And the temperature is...
N? har vi alt vi trenger for ? finne temperaturen til planeten! Vi husker at energien mottatt og sendt ut skulle v?re den samme, s? vi setter uttrykkene for dette lik hverandre og finner et uttrykk for temperaturen p? planeten:
\(\begin{align} \frac{dE_{p, ~inn}}{dt} &= \frac{dE_{p, ~ut}}{dt}\\ ??\sigma T_{*}^4 \cdot (\frac{r_*}{r})^2 \cdot \pi r_p^2 &= \sigma T_{p}^4 \cdot 4\pi r_{p}^2 \\ T_p &= \sqrt[4]{\frac{T_*^4 r_*^2}{4r^2}} \end{align}\)
Dette ser lovende ut! Vi omfavner hverandre hjertelig mens fyrverkeri lyser opp himmelen utenfor kontorvinduet. N? starter moroa. F?lg med i neste post dersom du vil vite hva temperaturen er p? planetene i solsystemet v?rt!