Vi skal som sagt bruke dopplereffekten for ? finne hastigheten til raketten v?r. Her skal vi da bruke to referansestjerner som er veldig langt unna, og bruke b?lgelengdeforskyvningen (kommer en forklaring p? dette snart, no worries) til stjernene observert fra stjernen og raketten v?r for ? finne rakettens hastighet. For ? kunne gj?re dette trenger vi ogs? ? skifte litt mellom koordinatsystemer, som jeg skal illustrere for deg litt senere, s? vent i spenning! Videre, i tilfelle dopplereffekten ikke er s? ferskt i minne for deg s? skal jeg f?rst ha en kjapp liten gjennomgang.
Dopplereffekten... hva var det igjen?
Som du kanskje husker, s? er dopplereffekten relatert til hastighet. Du kan nemlig observere en forskjellig b?lgelengde mellom legemer som st?r i ro enn hvis de beveger seg relativt til deg. Denne endringen i b?lgelengden er hva vi kaller b?lgelengdeforskyvning. Hvis legemet beveger seg bort fra deg vil den observerte b?lgelengden ha en lavere frekvens, dette kalles en r?dforskyvning. Motsatt vil den observerte b?lgelengden til et legeme som beveger seg mot deg ha en h?yere frekvens, og dette kalles bl?forskyvning.
Et allment eksempel p? dopplereffekten er en forbipasserende ambulanse, som illustrert i figur 1. N?r ambulansen er p? vei mot oss vil sirenen ha en h?y tone (frekvens), men n?r den har passert oss og beveger seg vekk fra oss vil den ha en lavere tone (frekvens). I dette eksempelet s? vi alts? p? dopplereffekten i forhold til lyd og b?lgelengdeforskyvningen til lydb?lgene.
Videre har vi et uttrykk som relaterer b?lgelengdeforskyvningen til den radielle hastigheten til et legeme. Du husker kanskje at vi har brukt radiell hastighet tidligere n?r vi s? p? hastigheten til ekstrasolare stjerner, og dette er alts? hastighetskomponenten som peker langs synslinjen til en observat?r. N?r vi skal bruke radiell hastighet her, s? skal vi studere den radielle hastigheten til to fjerne stjerner observert fra v?r stjerne og fra raketten v?r. Uttrykket vi har som relaterer disse st?rrelsene er f?lgende:
\(\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v_r}{c}\)
Hvor \(\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0\) er endringen i b?lgelengde, og \(\lambda\) er den observerte b?lgelengden, mens \(\lambda_0\) er b?lgelengden til legemet n?r det st?r i ro. Videre er \(v_r\) den radielle hastigheten til det observerte legemet, og \(c\) er lyshastigheten.
Dette var en kort gjennomgang, men forh?pentligvis lang nok til ? trigge hukommelsen din slik at vi n? kan g? videre til litt mer teori!
Koordinattransformasjon - hvordan fungerer dette da?
For det f?rste - hvorfor m? vi bytte mellom koordinatsystemer? Dette gj?r vi fordi vi skal observere de radielle hastighetene til to fjerne stjerner. Disse hastighetene vil som sagt peke langs synslinjen til observat?ren, og vi skal studere de radielle hastighetene sett fra v?r stjerne som er i origo i xy-koordinatsystemet. Henholdsvis har vi vinklene \(\phi_1\) og \(\phi_2\) som er vinkelen mellom de fjerne stjernene og x-aksen. N?r vi ser p? hastighetsvektorene til stjernene bare ved bruk av de radielle hastighetene, ser vi p? hastigheter i et koordinatsystem definert av \(\phi_1\) og \(\phi_2\). Dette nye koordinatsystemet vil v?re "vridd" i forhold til v?rt vanlige xy-system. Dette var kanskje litt vanskelig ? forst?? Kanskje det er p? tide ? tegne litt?
I figur 1 kan du se hvordan koordinataksene vil bli "vridd" med vinklene \(\phi_1\) og \(\phi_2\). Ved hjelp av enhetssirkelen kan vi videre se at enhetsvektorene til de nye aksene vil v?re definert som:
\(\hat{u}_1 = \begin{pmatrix} cos\phi_1 \\ sin\phi_1 \end{pmatrix}\) og \(\hat{u}_2 = \begin{pmatrix} cos\phi_2 \\ sin\phi_2 \end{pmatrix}\)
(Hvis du er ukjent med enhetsvektorer, s? er dette en vektor med lengde 1 som peker langs den tilh?rende vektoren/aksen.)
N? kommer litt matematikk som ligger p? kanten og forbi videreg?ende pensum. Beklager for dette, men vi skal pr?ve ? forklare p? en grei og forst?elig m?te. S? for deg som er litt mer interessert i det matematiske, kommer noen godbiter for deg! Hvis du derimot ikke er s? interessert i det matematiske, s? kan du hoppe litt lenger ned i innlegget til der vi anvender matematikken.
Et muligens nytt konsept for deg, som vi skal bruke til v?r koordinattransformasjon, er line?rkombinasjoner og matriser. Vektorer er nok ganske kjent for deg, og en line?rkombinasjon er nemlig en m?te ? skrive en vektor p?. Da skriver man en vektor som en sammensetning av andre vektorer. For eksempel kan enhver todimensjonal vektor \(\vec{d}\) skrives som en line?rkombinasjon av enhetsvektorene \(\hat{x}\) og \(\hat{y}\) slik:
\(\vec{d} = \begin{pmatrix} d_x \\ d_y\end{pmatrix} = d_x\hat{x} + d_y\hat{y} = (\vec{d} \cdot \hat{x})\hat{x} + (\vec{d} \cdot \hat{y})\hat{y}\)
Hvor \(d_x\) og \(d_y\) henholdsvis er x- og y-verdien til vektoren \(\vec{d}\). Vi kan p? tilsvarende m?te skrive enhver todimensjonal vektor som en line?rkombinasjon av enhetsvektorene til v?rt "vridde" koordinatsystem slik:
\(\vec{d} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = d_1\hat{u}_1 + d_2\hat{u}_2 = (\vec{d} \cdot \hat{u}_1)\hat{u}_1 + (\vec{d} \cdot \hat{u}_2)\hat{u}_2\)
Hvor \(d_1\) og \(d_2\) henholdsvis er u1- og u2-verdien til vektoren \(\vec{d}\). Jeg tenker det er p? tide med enda en tegning s? dette forh?pentligvis blir lettere ? se for seg!
I figur 2 kan du se en vektor \(\vec{d}\) som ligger i b?de v?rt vanlige og "vridde" koordinatsystem. Vektoren kan alts? skrives som en line?rkombinasjon av enhetsvektorene til hvert av koordinatsystemene, som beskrevet tidligere. Hvordan kan vi n? bruke dette for ? bytte mellom koordinatsystemer? Vi kombinerer v?re beskrivelser av \(\vec{d}\) for ? finne \(d_1\) og \(d_2\), og vi f?r f?lgende sammenheng:
\(d_1 = d_xcos\phi_1 + d_ysin\phi_1\)
\(d_2 = d_xcos\phi_2 +d_ysin\phi_2\)
F?r vi g?r videre, skal jeg gi en kort forklaring p? det muligens ukjente konseptet med matriser. Matriser er nemlig en firkantet tabell med tall eller symboler ordnet i rader og kolonner. N?r vi multipliserer en matrise med en vektor, s? kan vi "vri" og/eller "strekke" vektoren. Hvis du er interessert i en mer utdypende forklaring av matriser, kan du sjekke denne linken.
Vi kan skrive uttrykkene vi fant for \(d_1\) og \(d_2\) over p? matriseform p? f?lgende m?te:
\(\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\phi_1 & sin\phi_1 \\ cos\phi_2 & sin\phi_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_x \\ d_y \end{pmatrix}\)
Dette uttrykket transformerer vektoren \(\vec{d}\) fra xy-koordinatsystemet til u1u2-koordinatsystemet. Slik kan vi alts? utf?re en koordinattransformasjon. Men hvordan fungerer det hvis vi vil transformere motsatt vei? Da bruker vi noe som kalles invers matrise, og vi f?r f?lgende sammenheng:
\(\begin{pmatrix} d_x \\ d_y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{sin(\phi_2 -\phi_1)} \begin{pmatrix} sin\phi_2 & -sin\phi_1 \\ -cos\phi_2 & cos\phi_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} \)
N? har vi alts? funnet to uttrykk som lar oss bytte begge veier mellom koordinatsystemene. Da er vi klar til ? finne hastigheten til raketten v?r!
Endelig kan vi finne hastigheten!
N? har vi all teorien p? plass for ? kunne finne hastigheten til raketten v?r, s? skal nok Frodo og Sam snart (forh?pentligvis) bli storforn?yd med oss!
Vi vet at \(H_\alpha\) spektrallinjen (hydrogenatomets spektrallinje) er lik \(656.3nm\) sett fra et system i ro, og dette er alts? \(\lambda_0\) til de fjerne stjernene vi observerer. Videre har vi f?tt vite fra v?r kj?re Gandalf p? hovedkvarteret b?de vinklene \(\phi_1\) og \(\phi_2\) mellom de fjerne stjernene og v?r stjerne, og dopplerskifte \(\Delta\lambda_{1*}\) og \(\Delta\lambda_{2*}\) fra de fjerne stjernene observert fra v?r stjerne. Disse verdiene kan du se i tabellen under:
| Vinkel \(\phi\) m?lt i grader | Dopplerskifte \(\Delta\lambda_*\) m?lt i nm | |
|---|---|---|
| Stjerne 1 | \(347.61\) | \(-0.014\) |
| Stjerne 2 | \(278.16\) | \(-0.019\) |
N? som vi har disse verdiene kan vi finne den radielle hastigheten til hver av de fjerne stjernene observert fra v?r stjerne. Da bruker vi formelen som vi nevnte tidligere som relaterer b?lgelengdeforskyvning og radiell hastighet, og vi f?r at de radielle hastighetene er:
\(v_{r,1*} = \dfrac{c \cdot \Delta\lambda_{1*}}{\lambda_0} = -6213 m/s = -1.31 AU/?r\)
\(v_{r,2*} = \dfrac{c \cdot \Delta\lambda_{2*}}{\lambda_0} = -8465 m/s = -1.79 AU/?r\)
Dette er alts? henholdsvis den radielle hastigheten til stjerne 1 og 2 observert fra v?r stjerne. Fortegnet til den radielle hastigheten forteller oss om stjernene beveger seg mot eller fra v?r stjerne. Negativt fortegn betyr at stjernen beveger seg mot v?r stjerne, og positivt fortegn betyr at stjernen beveger seg bort fra v?r stjerne. Vi kan bruke disse radielle hastighetene til ? finne hva hastigheten til v?r stjerne er med hensyn p? de fjerne stjernene, som vi gj?r simpelthen ved ? bytte fortegn. Da f?r vi at hastigheten til v?r stjerne observert fra de fjerne stjernene i u1u2-koordinatsystemet definert av \(\phi_1\) og \(\phi_2\) er:
\(\vec{v_{*\phi}} = (-v_{r,1*}, -v_{r,2*})\)
Videre har vi m?leapparater p? raketten v?r som kan m?le dopplerskiftet fra de fjerne stjernene. Vi skal n? finne hastigheten til raketten v?r ved hjelp av disse dopplerskiftene og ved uttrykket vi fant for hastigheten til stjernen v?r.
Vi kan finne de radielle hastighetene til de fjerne stjernene sett fra raketten p? samme m?te som vi gjorde sett fra stjernen v?r. Her vil vi p? lik m?te som i sted bytte fortegn for ? finne hastigheten til raketten v?r observert fra de fjerne stjernene i u1u2-koordinatsystemet. N? har vi alts? funnet en metode for ? finne hastigheten til raketten v?r i u1u2-koordinatsystemet. Men vi har jo helst lyst ? finne denne hastigheten i v?rt vanlige xy-koordinatsystem. Da bruker vi bare koordinattransformasjon fra u1u2- til xy-systemet slik som vist tidligere! Men her skal vi i tillegg trekke hastigheten \(\vec{v_{*xy}}\) fra hastigheten vi finner til raketten. Ettersom vi vil se p? hvordan rakettens hastighet er relativt til stjernen v?r, og \(\vec{v_{*xy}}\) vil v?re egenhastigheten til systemet.
N? som vi har funnet en metode for ? finne hastigheten til raketten v?r relativt til stjernen v?r i xy-koordinatsystemet, s? vil vi gjerne teste denne for ? se om den fungerer. Men hvordan kan vi gj?re dette da? Har vi noen dopplerskifter hvor vi vet den tilh?rende hastigheten til raketten v?r? Det har vi jammen, og vi vil teste for to av disse! Det f?rste settet med verdier er hvor dopplerskiftet \(\Delta\lambda_r\) til hver av stjernene observert fra raketten er lik null. Da vil raketten v?r ha lik hastighet relativt til stjernen v?r som de fjerne stjernene i u1u2-systemet, siden vi ikke opplever noen b?lgelengdeforskyvning. Vi tester om metoden v?r gir oss f?lgende hastighet for raketten:
\(\vec{v_{r\phi}} = (v_{r,1*}, v_{r,2*})\)
Vi f?r det forventede resultatet for hastigheten til raketten i v?rt "vridde" koordinatsystem! La oss n? teste for enda et tilfelle. N? skal vi se p? et litt urealistisk eksempel, hvor vi ser for oss at vi er p? stjernen v?r. Da vil vi m?le samme dopplerskifte som stjernen v?r for de fjerne stjernene, og da vil vi ha lik hastighet som stjernen v?r. Alts? vil hastigheten til raketten observert fra de fjerne stjernene i u1u2-koordinatsystemet v?re:
\(\vec{v_{r\phi}} = \vec{v_{*\phi}} = (-v_{r,1*}, -v_{r,2*})\)
Tilsvarende vil hastigheten til raketten i dette tilfellet v?re lik hastigheten til stjernen v?r i xy-systemet, alts? lik null. Vi tester metoden v?r med disse verdiene for dopplerskifte, og vi f?r de forventede resultatene. Metoden v?r fungerte alts? for to sett med kjente verdier. Frodo og Sam er s? forn?yd at vi f?r sjokolade p? kontoret i dag!
N? har vi alts? funnet en metode for ? finne hastigheten til raketten v?r i xy-koordinatsystemet ved ? m?le dopplerskiftet til to fjerne stjerner. Videre skal vi pr?ve ? finne en metode for ? finne posisjonen til raketten v?r. F?lg med videre i neste innlegg!