For ? oppdage planeter i andre solsystemer, s? kan man blant annet studere hastigheten til stjernen i systemet. Ettersom planeter vil trekke p? stjernen som de g?r i bane rundt, og vil dermed gi stjernen en hastighet. N? f?r vi bruk for tolegemeproblemet som vi simulerte nylig!
Vi vil i resten av denne bloggposten anta at stjernen g?r i en sirkul?r bane rundt massesenteret, siden dette vil gj?re beregningene v?re ganske mye enklere. Men dette er heller ikke en helt urimelig antakelse for v?rt tolegemeproblem. Som du kanskje husker, s? var v?r stjernes bane rundt massesenteret omtrentlig sirkul?r i v?r tidligere simulering!
N? skal vi lage en radiell hastighetskurve for stjernen. Men hva betyr dette? Den radielle hastigheten vi snakker om her er hastighetskomponenten til stjernen langs synslinjen til en observat?r. Vi tar med en illustrasjon slik at dette kanskje blir lettere ? forst?!
I figur 1 kan vi se illustrasjon av hva den radielle hastigheten \(\vec{v_r}\) er. Denne vil v?re p?virket av inklinasjonen i. Hvis inklinasjonen i er lik 0 grader, vil observat?ren ikke kunne se noen radiell hastighet, siden \(\vec{v_r}\) vil da st? normalt p? \(\vec{v}\). Hvis i derimot er lik 90 grader, s? blir dette systemet mye enklere siden observat?ren vil da se rett p? banen. N? kommer enda en illustrasjon, for ? forklare systemet n?r i er lik 90 grader.
Som du kan se i figur 2, s? vil den radielle hastigheten v?re lik den faktiske hastigheten til stjernen i punkt B, som alts? er toppunktet for den radielle hastighetskurven, n?r i er lik 90 grader. Dette skal vi n? bruke videre!
N? skal vi lage en radiell hastighetskurve for v?r stjerne, og vi skal da bruke verdier for hastighet og posisjon fra v?r simulering av tolegemeproblemet. Vi velger at banen til stjernen har en inklinasjon p? 90 grader i forhold til observat?ren, og at observat?ren st?r veldig langt unna. Da er vi klar for ? lage kurven, og se hva ekstrasolare vesener kan se ved ? studere hastigheten til stjernen v?r.
I figur 3 kan du se den radielle hastighetskurven til stjernen v?r. Du lurer kanskje p? hvorfor kurven er forskj?vet langs y-aksen. Dette er nemlig fordi hastigheten til massesenteret, egenhastigheten, er en del av kurven, og dette tilsvarer gjennomsnittsverdien til kurven. Den radielle hastigheten vil v?re kurven minus egenhastigheten. Og den faktiske hastigheten til stjernen vil v?re toppunktet minus egenhastigheten, siden den radielle hastigheten er lik den faktiske hastigheten i punkt B fra figur 2, hvis inklinasjonen er 90 grader. Du lurer kanskje ogs? p? hvorfor kurven er s? uklar. Dette er fordi m?leinstrumenter vi bruker for ? m?le slike hastigheter ikke er fullstendig n?yaktige, og medf?rer st?y i kurven. Enda et sp?rsm?l du kanskje lurer p? er hvorfor beveger kurven seg mellom s? lave verdier for hastighet? Kurven beveger seg jo bare mellom -0.05m/s og 0.2m/s. Er ikke dette litt rart? Nei, faktisk ikke! Som nevnt tidligere, s? er hjemplaneten v?r veldig lett i forhold til solen, og vil derfor ikke gi den en veldig stor hastighet ved hjelp av gravitasjonskrefter. N? gir kurven forh?pentligvis litt mer mening.
Stopp en hal! Viktig beskjed fra Gandalf i hovedkvarteret p? Middle-earth! Vi er kommet i kontakt med ekstrasolare vesener som har oppdaget hjemplaneten v?r! De har tolket stjernen v?res radielle hastighet, og sp?r om ? f? vite massen til stjernen v?r s?nn at de kan finne massen til v?r planet. Vi videresender denne verdien til v?re ekstrasolare kamerater via Gandalf. De skal n? beregne planetmassen v?r ved ? bruke f?lgende formel:
\(m_psin(i) = \dfrac{m_*^{2/3}v_{*r}P^{1/3}}{(2\pi G)^{1/3}}\)
Hvor \(m_p\) er massen til planeten, i er inklinasjonen, \(m_*\) er massen til stjernen, \(v_{*r}\) er hastigheten til stjernen i punkt B fra figur 2, P er periodetiden og G er gravitasjonskonstanten. Det er ikke mulig ? finne inklinasjonen i til en ekstrasolar planet, bortsett fra hvis i er lik 90 grader, siden da kan man observere at planeten vil form?rke lyset fra stjernen. Denne formelen kan derfor bare gi en nedre grense for planetmassen hvis i er ukjent.
N? har v?re ekstrasolare kamerater beregnet planetmassen v?r ved hjelp av den radielle hastighetskurven. De fikk da at hjemplaneten v?r har en masse p? \(4.32\cdot 10^{-6}\)solmasser. V?r faktiske planetmasse er derimot p? \(3.94\cdot 10^{-6}\) solmasser, alts? de hadde et avvik p? omtrent 11%. Dette avviket kan ha oppst?tt p? grunn av st?yet i kurven gj?r at det er vanskelig ? lese av n?yaktige verdier.
Dette var g?y! Vi har ogs? lyst ? tolke kurver! N? som vi har oppn?dd kontakt med ekstrasolare vesener s? vil vi pr?ve ? finne deres planetmasse. Vi f?r da tilsendt stjernemassen og en radiell hastighetskurve fra v?r kj?re Gandalf, og vi er n? klar for ? regne!
I figur 4 kan du se at vi n? har f?tt radiell hastighetskurve av stjernen til v?re ekstrasolare kamerater. Vi leser av denne kurven ved den r?de linjen og f?r at hastigheten i toppunktet er omtrent 2.000004 AU/?r. Den gr?nne linjen er v?r avlesning av egenhastigheten som er p? omtrent 2 AU/?r. Ved hjelp av disse verdiene kan vi finne den radielle hastigheten i punkt B fra figur 2, som er lik den faktiske hastigheten til stjernen hvis inklinasjonen er lik 90 grader. Vi f?r da at \(v_{*r}= 4\cdot 10^{-6}AU/?r\). Ved hjelp av de lilla linjene kan vi lese av periodetiden, hvor t1 er omtrent 10.9 ?r og t0 er omtrent 2.2 ?r. Da f?r vi periodetiden \(P = t_1 - t_0 = 8.7 ?r\). Vi fikk ogs? vite fra Gandalf at deres stjernemasse er 3.66 solmasser. N? er vi klare for ? beregne deres planetmasse!
Siden vi ikke vet inklinasjonen til deres stjernes bane f?r vi bare en nedre grense for planetmassen, som nevnt tidligere. Vi bruker samme formel som v?re ekstrasolare kamerater og f?r at deres planetmasse er \(3.11\cdot 10^{-6}\) solmasser. Vi tar kontakt med dem via Gandalf for ? h?re om svaret v?rt er riktig, og vi f?r vite at deres faktiske planetmasse er \(3.29\cdot 10^{-6}\) solmasser. Vi fikk alts? et avvik p? omtrent 6%! Dette avviket kan komme fra at inklinasjonen til banen deres var forskjellig fra 90 grader. Det kan ogs? komme fra at vi har v?rt un?yaktig i avlesningen av deres radielle hastighetskurve. Fremdeles er vi forn?yd med v?re resultater!
Fins det flere ting man kan oppdage om planeter i andre solsystemer? F?lg med videre!