Antakelser
For ? lage en modell av atmosf?ren til Narnia, er vi simpelthen n?dt til ? gj?re noen forenklinger. Ellers blir dette alt for vanskelig for de sm? hjernene v?re. Derfor gj?r vi disse antakelsene:
- For det f?rste antar vi at atmosf?ren er uniform. Med dette mener vi ikke at atmosf?ren er helt lik overalt, men at den f?lger et m?nster. F.eks tenker vi at andelen forskjellige typer molekyler i atmosf?ren, ogs? er like stor i hvert enkelt punkt. S? hvis atmosf?ren best?r av 20% oksygen, antar vi at uansett hvor raketten er i atmosf?ren, s? vil det v?re 20% oksygen der.
- Vi antar at atmosf?ren er kule-symmetrisk. Vi har valgt at atmosf?ren kun varierer med hvor h?yt over overflaten man er. Derfor er kule-symmetri perfekt, da kan vi anta at trykk og temperatur er den samme n?r vi beveger oss f.eks 10 km radielt ut fra planeten, uansett hvor p? overflaten vi startet.
- Vi antar ogs? at atmosf?ren til Narnia er i hydrostatisk likevekt. Hva i all verden betyr dette? Jo, det betyr rett og slett bare at den er konstant. Atmosf?ren verken utvider eller krymper seg. Det presser like mye utover som innover, og dermed er den i balanse. Ikke la deg forvirre av "hydro" i tittelen, for selv om det er det greske ordet for vann, er det ikke bare v?sker som kan v?re i hydrostatisk likevekt. Ogs? fluider kan v?re det. Og en atmosf?re er jo bare et lag av gasser omkring planeten. Og gasser er fluider! Dermed kan vi med trygghet si at en atmosf?re kan v?re i hydrostatisk likevekt (om det er realistisk, er en annen sak).
- Vi antar at atmosf?ren er en ideell gass. En ideell gass er en samling av punktmasser (partikler uten utstrekning) som flyter rundt uten ? vekselvirke med hverandre. De vil alts? ikke virke p? hverandre med noen krefter, og hver gang partiklene treffer hverandre, anser man st?tet for ? v?re fullstendig elastisk. Det betyr at partiklene ikke ’henger fast’ i hverandre p? noe tidspunkt under kollisjonen. Det kan man basically omformulere til at de ikke krasjer inn i hverandre i det hele tatt.
- I tillegg antar vi at atmosf?ren er adiabatisk opp til en viss h?yde over overflaten, og isoterm etter det. At atmosf?ren er adiabatisk betyr at gassen kan endre temperatur uten ? miste eller f? varmeenergi av omgivelsene. Vi antar at den er adiabatisk med adiabateksponenten \(\gamma = 1.4\) opp til h?yden der \(T = \frac{T_0}{2}\). Her er T temperaturen ved en gitt h?yde i atmosf?ren, mens \(T_0\) er overflatetemperaturen til planeten. At den er isoterm derimot, betyr at temperaturen er den samme overalt i denne delen av atmosf?ren. Hvis du vil l?re mer om disse prosessene er det supert, men du kommer ikke til ? l?re det av oss, for her stopper v?r kunnskap!
- Vi antar til slutt at tyngdeakselerasjonen er konstant i hele atmosf?ren. Egentlig vet vi at denne vil variere litt med hvor langt ut i atmosf?ren man er. Men dersom vi sammenligner tyngdeakselerasjonen ved overflaten av planeten og ved ytterkanten av atmosf?ren, ser vi at de ikke er s? ulike. P? overflaten av Narnia er tyngdeakselerasjonen \(g = 6.86~ m/s^2\). 100 km over overflaten er \(g = 6.51~ m/s^2\).
Modell for isoterm del av atmosf?ren
Vi starter med ? lage en modell for den ytterste delen av atmosf?ren, der den er isoterm. Her er det som sagt konstant temperatur, noe som gj?r regningen myyyye, mye enklere. Vi tar utgangspunkt i to fantastiske formler:
- Siden vi har antatt at det er hydrostatisk likevekt i atmosf?ren, gjelder: \(\frac{dP}{dr}=-\rho(r)g(r)\) (1). Her er \(dP\) endring i trykk, \(dr\) endring i radius, \(\rho(r)\) tettheten ved radius r og \(g(r) \) er tyngdeakselerasjonen ved radius r. Denne har vi utledet her. Siden vi har antatt at tyngdeakselerasjonen er konstant i atmosf?ren, kommer vi fra n? av til ? skrive\(g(r) = g\), der \(g\) er tyngdeakselerasjonen ved overflaten av planeten.
- Siden vi antok at atmosf?ren oppf?rer seg som en ideel gass, gjelder ideell gasslov: \(P = nkT\) (utledning s. 2-3). Her er P trykk, n er antall gasspartikler per volum, k er Boltzmannkonstanten og T er temperaturen i gassen. Dette kan vi skrive om til \(P = \frac{\rho kT}{\mu m_H}\) (2), der \(\mu\) er gjennomsnittsmassen til et molekyl i gassen, og \(m_H\) er massen til hydrogenatomet.
N? m? vi kombinere disse p? en smart m?te! Det vi ?nsker ? ende opp med er tre uttrykk for hvordan temperatur, trykk og tetthet varierer i den isoterme delen av atmosf?ren. Senere skal vi finne tre tilsvarende (tja, du vil oppdage at de blir mye styggere) uttrykk for den adiabatiske delen av atmosf?ren. Til sammen vil disse seks uttrykkene utgj?re det vi kaller en modell av atmosf?ren til Narnia. La oss komme i gang! Vi starter balletten med ? derivere (2):
\(\begin{align} P(r) &= \frac{\rho(r) kT}{\mu m_H} \\ \frac{dP(r)}{dr} &= \frac{d\rho(r)}{dr} \cdot \frac{kT}{\mu m_H} \\ \end{align}\)
Som du ser, deriverer vi ikke T. Den var jo konstant i den isoterme delen! Og den er konstant \(T = T_0/2\). Deretter kombinerer vi uttrykket over med (1) og f?r:
\(\begin{align} -\rho(r)g &= \frac{d\rho(r)}{dr}\cdot \frac{kT}{\mu m_H} \\ -\rho(r) &= \frac{d\rho(r)}{dr}\cdot \frac{kT}{\mu m_Hg} \end{align}\)
For estetikkens skyld skriver vi \(C = \frac{kT}{\mu m_Hg} \), og flytter litt rundt p? ting i uttrykket over, og f?r da:
\(\rho(r) + C\frac{d\rho(r)}{dr} = 0\)
Jippi! Dette er en differensiallikning, og slike vet vi hvordan man l?ser. Check it out:
\(\begin{align} \rho(r)dr &= -Cd\rho(r) \\ \frac{1}{\rho(r)}d\rho(r) &= -\frac{1}{C}dr \\ \int\frac{1}{\rho(r)}d\rho(r) &= -\int\frac{1}{C}dr \\ ln~\rho(r) &= -\frac{1}{C}r + K \\ e^{ln~\rho(r) } &= e^{-\frac{r}{C} + K} \\ \rho(r) &= Ke^{-\frac{r}{C}} \end{align} \)
Beautiful! Easy! Vi kan jo sette inn igjen \(C = \frac{kT}{\mu m_Hg} \) i uttrykket over:
\(\rho(r) = Ke^{-\frac{r\mu m_Hg}{kT}}\)
Vi vet hva overflatetettheten p? planeten er, s? vi kan sette
\(\rho_0 = \rho(r=0) = Ke^{-\frac{r\mu m_Hg}{kT}} = Ke^0 = K\)
Da blir tetthetsfunksjonen \(\rho(r) = \rho_0e^{-\frac{r\mu m_Hg}{kT}}\). S?nn! Da har vi funnet en modell for hvordan tettheten varierer! N? vil vi finne et uttrykk for trykket! Da bruker vi (2) og setter inn for uttrykket vi fant for \(\rho(r)\), og da f?r vi:
- \(P(r) = \rho_0e^{-\frac{r\mu m_Hg}{kT}} \cdot \frac{kT}{\mu m_H}\)
Dette gikk fort og g?li, da kan det vel ikke v?re s? vanskelig ? lage en modell for den adiabatiske delen heller! Eller...
Modell for adiabatisk del av atmosf?ren
For ? lage denne delen av modellen, bruker vi uttrykkene (1) og (2) fra tidligere, kombinert med den adiabatiske loven \(P^{1-\gamma}T^{\gamma} = konstant\) (3). Ved ? kombinere disse tre uttrykkene finner vi til slutt:
- \(T(r) = A^{\frac{1}{\gamma}} \cdot \left(\frac{-\mu m_H gr}{kA^{\frac{1}{\gamma}}}+C\right)\cdot \left(\frac{\gamma}{\gamma - 1}\right)\)
- \(\rho(r) = \frac{\mu m_H}{kA^{\frac{1}{\gamma}}} \cdot \left[ \left(\frac{-\mu m_H gr}{kA^{\frac{1}{\gamma}}}+C\right)\cdot \left(\frac{\gamma}{\gamma - 1}\right) \right] ^{\frac{1}{\gamma - 1}}\)
- \(P(r) = \left[ \left(\frac{-\mu m_H gr}{kA^{\frac{1}{\gamma}}}+C\right)\cdot \left(\frac{\gamma}{\gamma - 1}\right) \right]^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}\)
Tre forferdelig stygge uttrykk. Utregningene bak disse resultatene skal du f? slippe ? tenke p?, dersom du ikke har lyst. Hvis nysgjerrigheten tar overh?nd kan du ta en kikk her. Som du ser i uttrykkene over, drasser vi rundt p? to konstanter A og C. Hva er egentlig disse? Vi ser at dersom vi putter inn r=0 i uttrykket for T f?r vi:
\(T_0 = T(r=0) = \frac{A^{\frac{1}{\gamma}}C\gamma}{\gamma-1} \implies C = \frac{T_0(\gamma-1)}{A^{\frac{1}{\gamma}}\gamma}\)
Vi vet hva tettheten p? overflaten av planeten er, alts? er \(\rho(r=0)\) kjent (der r er regnet som avstand radielt ut fra planet-overflaten). Dette gir oss uttrykket:
\(\rho_0 = \rho(0) = \frac{\mu m_H}{kA^{1/\gamma}} \cdot \left[\frac{C\gamma}{\gamma - 1}\right]^{\frac{1}{\gamma - 1}}\)
Til slutt kan vi bruke (2) igjen, og sette inn de to uttrykkene over for \(T_0\) og \(\rho_0\):
\(\begin{align} P_0 &= \frac{\rho_0 kT_0}{\mu m_H} \\ \end{align}\)
Og dette uttrykket for \(P_0\) kan vi sette inn i (3):
\(\begin{align} P_0^{1-\gamma}T_0^{\gamma} &= A \\ \left( \frac{\rho_0 kT_0}{\mu m_H} \right)^{1-\gamma} \cdot T_0^\gamma &= A \\ A &= \left( \frac{\rho_0 k}{\mu m_H} \right)^{1-\gamma} \cdot T_0 \end{align}\)
Og da blir
\(\begin{align} C = \frac{T_0(\gamma-1)}{A^{\frac{1}{\gamma}}\gamma} = \frac{T_0(\gamma-1)}{\left[\left( \frac{\rho_0 k}{\mu m_H} \right)^{1-\gamma} \cdot T_0\right]^{\frac{1}{\gamma}}\gamma} \end{align}\)
Resultater
Et kjapt googles?k forteller oss at atmosf?ren til jorda er mellom 100 og 10 000 km tykk, litt avhengig av hvor man definerer at slutten p? atmosf?ren er. Siden vi inntil videre ikke har peiling p? hvor tykk atmosf?ren til Narnia er, plotter vi modellene v?re med en antakelse om at atmosf?ren er p? jordas tykkelse. Vi pr?ver med 100km:
Vi m? adressere elefanten i rommet, diskontinuiteten i plottene! Modellene for hver del av atmosf?ren skulle jo treffe hverandre perfekt. Denne feilen kan skyldes flere ting. Det er mulig det er noe feil med modellen. Det kunne ogs? hende at vi plottet for f? f? punkter, eller gjorde noe annet feil i plottingen. Om vi markerer overgangsradien der vi skifter modell, ser vi at den adiabatiske delen stopper p? den radien, og den isoterme starter der. Slik de skal. S? problemet ligger nok i modellen.
Hva forteller modellen oss?
Dersom vi i et ?yeblikk ser bort ifra at det kan v?re noe galt med modellen, kan vi pr?ve ? tolke resultatene litt. If?lge modellen v?r blir atmosf?ren kaldere og lettere jo lenger ut vi kommer. Endringen i disse tingene er veldig store i starten (i den adiabatiske delen), f?r de slakker ganske kraftig ned der den isoterme delen starter. Vi ser at temperaturmodellen er litt spesiell, den synker line?rt, f?r den ender opp helt konstant. Vi kan jo filosofere litt rundt hvor realistisk denne modellen er. Du har sikkert l?rt litt om de ulike lagene i atmosf?ren til jorda. Som du husker er det flere enn to! Man regner med at jordas atmosf?re faktisk har fem hoved-lag, og en rekke underlag her igjen. Narnia er nok ikke noe mindre komplisert enn andre planeter. Men for ? klare ? lage en modell, m?tte vi jo gj?re noen forenklinger.
Vi antok jo blant annet at tyngdeakselerasjonen g var konstant. Men s? fant vi jo ut at avviket mellom g p? overflaten, og 100km ut i atmosf?ren, var p? 5.39%. Forskjellen er for s? vidt liten, men det er jo ikke et fullstendig neglisjerbart avvik. Vi antok ogs? at gassene i atmosf?ren oppf?rte seg som en ideell gass. Dette er faktisk ikke s? urealistisk som det kan h?re ut som. At en gass s? ? si er en ideell gass er faktisk en antakelse man kan gj?re for de fleste gasser, s? lenge de ikke har ekstremt h?ye eller lave temperaturer. S? det mener vi er en gyldig antakelse for atmosf?ren til Narnia. Vi antok ogs? at atmosf?ren var uniform. Vi tror ikke det er helt virkelighetsn?rt at konsentrasjonen av ulike gasser er den samme alle steder i atmosf?ren. Om vi skulle tatt hensyn til dette, ville modellen blitt bedre, men MYE(!!!) mer komplisert. I tillegg kan atmosf?re-analysen vi har gjort tidligere ha gitt oss gale tall, som vi har brukt her! Vi har nemlig brukt analysen av gassenes spektrallinjer for ? beregne gjennomsnittlig molekylvekt, og vi har estimert overflatetemperaturen p? Narnia. S? dette er nok langt ifra en perfekt modell. Men vi f?r akseptere den som den er, for n? m? vi komme oss videre! Vi skal nemlig finne et fint sted p? Narnia ? lande. Heng med!