Vi g?r n? i en lav bane rundt Narnia, og vi ?nsker ? unders?ke planeten litt. Men n? m? vi huske p? at Narnia roterer rundt b?de sola og z-aksen. Da vil alts? ikke et eventuelt landingssted vi finner holde seg p? samme plass! Vi m? n? finne ut hvordan vi skal ta hensyn til dette.
Hvor befinner et potensielt landingssted seg over tid?
Vi skal n? finne ut hvordan posisjonen til et eventuelt landingssted endrer seg over tid. Vi starter med ? finne vinkelfarten \(w\) til planeten. P? forh?nd vet vi rotasjonsperioden \(P_N\) til planeten, som er lik 1.56 dager. Narnia bruker alts? litt lenger tid p? ? rotere rundt seg selv enn jorda! Ved bruk av dette kan vi finne vinkelfarten ved f?lgende formel:
\(w= \dfrac{2\pi}{P_N} \approx 4.66\cdot 10^{-5}rad/s\)
V?r obs p? at her er enheten radianer per sekund. Dette resultatet skal straks komme til nytte. Vi fortsetter videre!
N? som vi skal finne hvordan posisjonen til et landingssted endrer seg over tid er det nyttig for oss ? bruke sf?riske koordinater, siden dette vil v?re mye enklere for oss enn ? bruke de vanlige kartesiske. Hvis du trenger en liten oppfriskning p? sf?riske koordinater, s? kan du finne dette her, hvor vi diskuterte stereografisk projeksjon. Vi vil ha f?lgende posisjonsvektor til et potensielt landingssted, som er bestemt av f?lgende grenser p? koordinatene v?re:
\(\vec{r} = (r,\theta,\phi) \\ 0 \le r \le \infty \\ 0 \le \theta \le \pi \\ 0 \le \phi \le 2\pi\)
Vi vil bare se p? potensielle landingssteder langs ekvator siden dette vil gj?re utregningene v?re lettere, og da f?r vi at \(\theta\) vil konstant v?re lik \(\dfrac{\pi}{2}\). Her vil vi bruke forenklingen at alle landingssteder har avstand fra planetens sentrum lik radien til planeten, s? vi vil alts? ikke ta hensyn til daler eller fjell. Da f?r vi at det eneste koordinatet som endrer seg over tid vil v?re \(\phi\).
Med instrumentene som vi har ombord p? raketten, s? kan vi m?le rakettens posisjon i forhold til planeten i kartesiske koordinater. Overgangen til sf?riske koordinater ser slik ut:
\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta = arccos \left( \dfrac{z}{r} \right) \\ \phi = arctan \left( \dfrac{y}{x} \right)\)
Vi vil da unders?ke landingssteder som er rett under raketten, og som vil ha samme verdi for \(\theta\) og \(\phi\) som raketten. Vi finner n? et uttrykk for hvordan posisjonen til et landingssted vil endre seg over tid. Vi har per n? f?lgende uttrykk, siden vi vet at to av koordinatene er konstante:
\(\vec{r}(t) = (R_N, \dfrac{\pi}{2},\phi(t))\)
Her er \(R_N\) radiusen til Narnia. Vi vil n? finne et uttrykk for \(\phi(t)\), og da kan vi bruke vinkelfarten som vi fant tidligere. I tillegg f?r vi initialverdien \(\phi_0\) fra m?lingene v?re p? raketten. Dermed f?r vi f?lgende uttrykk:
\(\phi(t) = \phi_0 + w\cdot t\)
Hvor \(t\) er tiden etter vi tok m?lingen, og som vi vil finne tilh?rende posisjon for landingssted. Vi setter dette inn i uttrykket v?rt for posisjonen til et potensielt landingssted, og f?r f?lgende resultat:
\(\vec{r}(t) = (R_N, \dfrac{\pi}{2}, \phi_0 + w\cdot t)\)
N? vet vi alts? hvordan posisjonen til et potensielt landingssted vil endre seg over tid!
Hvor vil vi lande?
N? er det p? tide ? unders?ke overflaten til Narnia litt, og se om vi finner et bra sted ? lande! Vi vil da g? en runde rundt planeten og ta en rekke bilder samtidig som vi loggf?rer posisjonen til raketten ved tiden vi tok bildet. Hvis da et av bildene viser et potensielt bra landingssted, s? kan vi bruke metoden v?r for ? finne ut hvordan posisjonen til dette stedet endrer seg over tid, for ? finne dette stedet igjen.
Aller f?rst har vi tatt en video av planeten fra raketten, for ? f? et kjapt overblikk av hvordan den ser ut! Hastigheten p? videoen reflekterer ikke hvor raskt raketten g?r rundt planeten. Her kan dere se Narnia sett fra raketten:
N? er det p? tide ? se litt n?yere p? planeten. Vi tar da bilder mens vi g?r er runde rundt planeten, og vi loggf?rer posisjonen til raketten ved tiden hvert bilde ble tatt. Vi sparer s? p? de bildene som er tatt p? dagsiden av planeten, siden vi ikke klarer ? se s?rlig der det er fullstendig m?rkt! Vi st?r igjen med 20 bilder som vi n? skal unders?ke for ? finne den beste landingsplassen.
Bildene av Narnia kan du finne her! Vi vil aller helst finne et landingssted som er flatest mulig, men som dere nok ser s? har planeten v?r en god del daler og fjell. Likevel, s? pr?ver vi v?rt beste! Vi har i bakhodet at vi skal lande p? ekvator, s? vi fokuserer ?ynene v?re der. I tillegg s? husker vi at posisjonen vi loggf?rer er raketten sin, alts? direkte over midtpunktet av bildet. I noen av bildene s? er det derimot litt vanskelig ? se helt tydelig hva som er i midtpunktet p? grunn av skyer. Basert p? disse kriteriene og forholdene har vi valgt f?lgende plass ? lande p?:
\(\vec{r} = (R_N, \dfrac{\pi}{2},1.22 \, rad)\)
Landingsstedet hadde denne posisjonen 175927 sekunder etter vi kom i bane rundt planeten. For ? finne dette landingsstedet igjen senere, s? kan vi da bruke metoden vi fant tidligere i dette innlegget. Landingsstedet vi har valgt tilsvarer bildet som er i figur 1. Vi valgte dette som landingssted siden dette var bildet som hadde tilsynelatende flatest omr?de rundt midtpunktet. Dermed vil vi forh?pentligvis f? en lettere landing.
N? er vi ett skritt n?rmere ? lande p? Narnia! F?lg med i neste del hvor Narnia forh?pentligvis endelig f?r bes?k av Frodo og Sam!