N? skal vi som sagt endelig finne ut om vi er noe til nytte for Frodo og Sam, og om vi blir sparket ut av kontoret eller ikke! Men, en siste liten bit med teori f?rst for ? forklare litt om hvordan vi bruker statistikken.
Kommer vi endelig fram til noe rimelig...
Vi skal bruke noe som kalles for minste kvadraters metode for ? approksimere hvilken vinkel raketten peker i. Jeg skal ikke un?dvendig utlede denne metoden for deg n?, men ideen bak den er ? finne det estimatet som er n?rmest den riktige verdien.
Vi skal n? finne en metode for ? sammenligne et bilde med alle v?re referansebilder fra forrige innlegg, for ? se hvordan vinkel som mest sannsynlig er den riktige. Da skal vi se p? hver enkelt RGB verdi i hver enkelt piksel i et referansebilde, og se p? summen av kvadratet til alle avvikene mellom disse verdiene og verdiene til bildet vi vil unders?ke vinkelen til. Vi gj?r dette for alle referansebildene. Navnet p? metoden (minste kvadraters metode) kommer fra at vi tar kvadratet av avvikene, og vi vil finne for hvilken verdi som gir det minste avviket. Vi velger ? se p? gjennomsnittet til avvikene for hver piksel for ? se hvilken vinkel som er mest sannsynlig for bildet vi unders?ker. Da f?r vi et uttrykk som ser slik ut:
\(\overline{SSE} = \dfrac{\sum\limits_{j}^X \sum\limits_{k}^Y \sum\limits_{i}^3 (x_i - x_{ref,i})^2_{jk} }{X \cdot Y}\)
Her er \(\overline{SSE}\) (Sum of Squares of the Errors) gjennomsnittet av avviket for hver piksel. Videre er \(X\) og \(Y\) henholdsvis antall piksler i bredden og i h?yden, s? i telleren summerer vi kvadratavviket for hver RGB verdi i hver piksel, og i nevneren finner vi det totale antallet piksler. \(x\) er RGB verdi for bildet vi unders?ker, og \(x_{ref}\) er RGB verdi for referansebildet v?rt.
Vi bruker s? denne metoden for alle referansebildene v?re, og finner hvilket referansebilde som ga det minste avviket. Vinkelen som dette referansebildet er tatt i, vil da v?re den approksimerte vinkelen til bildet vi unders?ker.
Fungerer metoden?
Vi har n? arbeidet lenge for ? finne metoden for ? finne retningen raketten peker, men vi vil ogs? gjerne teste denne. Vi vil jo aller helst ikke flaue oss ut foran Frodo og Sam med en metode som ikke fungerer. La oss teste denne metoden da!
Vi bruker metoden v?r p? bildet som satellitten tok av nattehimmelen for \(\phi = 0 ^{\circ}\), som vi brukte i forrige innlegg. Metoden v?r gir oss da at vinkelen som dette bildet er tatt i er \(0 ^{\circ}\), som er korrekt! Vi jubler av glede! Fremdeles vil vi gjerne se hvordan avvikene s? ut for alle referansebildene, s? vi lagde et plott av dette.
Du kan se i figur 1 at det minste avviket vil v?re for \(0 ^{\circ}\), som er riktig. Men du ser kanskje ogs? at dette avviket er forskjellig fra 0. Er ikke dette litt rart da? Hvis bildene er tatt fra n?yaktig samme vinkel, s? b?r vel avviket v?re lik 0, eller? Dette er ikke sant, siden m?leinstrumentene v?re ikke er helt n?yaktige og vi vil da oppleve st?y i m?lingene v?re, og dermed f?r vi avvik forskjellig fra 0.
Vi vil gjerne teste metoden v?r for enda en vinkel, s? vi lager et bilde med metoden fra forrige innlegg for en ny vinkel som ikke er heltallig. Vi velger da vinkelen \(245.7 ^{\circ}\), og vi tester metoden v?r for dette bildet. Vi f?r da at bildet er tatt med \(\phi = 246 ^{\circ}\), som da er den n?rmeste heltallige vinkelen til det bildet vi n? unders?kte. Vi vil p? tilsvarende m?te plotte avvikene som for forrige bilde vi unders?kte.
I figur 2 kan du se avviket mellom bildet vi nettopp unders?kte og referansebildene v?re. Metoden v?r har alts? gitt oss rimelige svar og vi f?r atter en gang lov til ? beholde jobbene v?re litt lenger.
Videre skal vi pr?ve ? finne ut hastigheten raketten beveger seg med p? romferden sin. F?lg med i neste innlegg!