Det er noe dere trenger ? vite om oppskytningen

For ? skyte opp en rakett er det heelt sentralt ? vite hvilken retning du skyter opp i. N?r man f?rst er oppe i verdensrommet er det ikke akkurat kjempelett ? endre kurs som det passer seg! Det l?nner seg ? utnytte planetenes posisjoner i forhold til hverandre for ? finne det perfekte tidspunktet for oppskytning. Se tegningene under! (Beklager de d?rlige st?rrelsesforholdene, Davy G. ?kke s? god til ? tegne!)

Da vi tok av fra Thestral m?tte vi alts? ta h?yde for planetenes relative posisjon i forhold til hverandre! S? vi m? rett og slett meddele at vi allerede hadde bestemt oss for ? dra til Armando f?r vi forlot Thestral... Vi lot som vi ikke visste det for ? bygge opp litt spenning! Arrester oss!! Tidspunktet for oppskytning var n?ye beregnet og planlagt, slik at planetene var gunstig posisjonert i forhold til hverandre som i figur 2.

Den neste tingen vi m?tte tenke p? f?r oppskytning, var hvor p? Thestral vi skulle skyte opp fra. Raketten vil jo akselerere radielt ut fra Thestral (alts? rett opp fra bakken), s? da er det viktig at denne retningen faktisk er i retning Armando! (Merk: I illustrasjonene i dette innlegget ser vi solsystemet ovenfra. Vi tar alts? ikke hensyn til bevegelse ut eller inn mot skjermen.) 

Vi trenger ? vite planetens posisjon \(\vec R_{planet}\)ved tidspunktet for oppskytning og rakettens posisjon relativt til planeten \(\vec{R}_{relativ}\). Vi ser da at hvis vi plusser sammen de to posisjonsvektorene, f?r vi posisjonen til raketten sett fra solsystemets referansesystem:

\(\vec{R}_{rakett}=\vec{R}_{planet}+\vec{R}_{relativ}\)

Som vi sa er ikke matten s? verst! Vi finner \(\vec R_{planet}\) n?r vi simulerer banen til planeten. Dette har vi snakket mye om i tidligere innlegg. Se her for eksempel!

Vi definerer s? \(\vec R_{relativ}=(R\cos(\theta), R\sin(\theta))\). Her er \(R\) radiusen til planeten og \(\theta\) er vinkelen mellom \(\vec R_{relativ}\) og x-aksen (se figur 4). Her har vi brukt en omgj?ring fra kartesiske koordinater \((x,y)\) til polarkoordinater \((R\cos(\theta),R\sin(\theta))\):

• \(x=R\cos(\theta)\)
• \(y=R\cos(\theta)\)

Omgj?ringen er veldig enkel! Vi har bare brukt definisjonen av sinus og cosinus

• \(\sin(\theta)=\frac{motst?ende\_katet}{hypotenus}\)
• \(\cos(\theta)=\frac{hosliggende\_katet}{hypotenus}\)

Da f?r vi at \(\sin(\theta)=\frac{y}{R}\to y=R\sin(\theta) \) og at \(\cos(\theta)=\frac{x}{R}\to x=R\cos(\theta)\).

Det er enda en ting vi m? ta h?yde for, og det er farten til planeten. Dere vet jo godt at planetene har en fart, i tillegg til at de har en tendens til ? rotere om sin egen akse. Dette er faktorer som p?virker farten til raketten v?r under oppskyting! Sett fra solsystemets referansesystem har dermed ikke raketten startfart null...

Vi finner \(\vec{v}_{rakett}\) ved ? legge sammen fartsvektoren til planeten og fartsvektoren til rotasjonen: \(\vec{v}_{rakett}=\vec{v}_{planet}+\vec{v}_{rotasjon}\). Farten til planeten finner vi ved ? simulere planetbanene. Da vet vi hvilken fart den har p? ulike tidspunkter, og henter ut farten ved det tidspunktet som passer best for oppskyting.

For rotasjonsfarten er det bittelitt mer komplisert, men ikke veldig alts?! For det f?rste vet vi at denne farten er konstant gjennom et oml?p. Det eneste som har noe ? si for hvordan denne p?virker rakettens startfart, er rakettens posisjon p? planeten.

Her trenger vi ? introdusere noen nyttige formler! For det f?rste trenger vi ? vite hva vinkelfarten \({\omega}\) til planeten er. Denne er definert som 

\(\vec{\omega} = \frac{2\pi}{P}\hat{\omega}\)

hvor \(P\) er periodetiden og \(\hat{\omega}\) er enhetsvektoren til vinkelfarten. Denne indikerer hvilken retning vinkelfarten peker! Periodetiden er tiden et punkt p? planeten bruker p? ? rotere en hel runde, og \(2\pi\) er vinkelen dette punktet har rotert p? den tiden. \(2\pi\) er 360 grader i radianer!

Neste nyttige formel er sammenhengen mellom vinkelfart og banefart. ?n ting er hvor mange grader et punkt flytter p? seg i l?pet av en strekning, men vi vil jo gjerne vite hva dette er i vanlig enhet for fart (m/s for eksempel)! Da bruker vi v?r gamle kjenning, \(fart=\frac{strekning}{tid}\). Da har vi at banefarten for en rakett p? en planet som roterer med vinkelfart \({\omega}\), blir

\(v_{rotasjon}=\frac{2\pi R}{P}=\omega R\)

Hvor vi har brukt at omkretsen til planeten er \(2\pi R\). P? vektorform blir det rett og slett

\(\vec{v}_{rotasjon}=\vec\omega R\)

Vi trenger alts? ? vite hvordan \(\vec\omega\) ser ut. Denne vil v?re avhengig av vinkelen \(\theta\) mellom \(\vec R_{relativ}\) og x-aksen (se figur 5). Dersom \(\theta=0\) f?r vi at hele bidraget fra vinkelfarten blir i y-retning. Dersom \(\theta=90^{\circ}\) blir bidraget kun i x-retning. Vi trenger med andre ord en sammenheng mellom sinus og cosinus!

Det m? bli noe p? formen \(\vec\omega=\omega(-\sin(\theta), \cos(\theta)) \). Vi sjekker om dette gir mening:

• \(\theta=0\):  , , \(\vec\omega=\omega(-\sin(0), \cos(0))=(0,\omega)\)
• \(\theta=90^{\circ}\), \(\vec\omega=\omega(-\sin(90), \cos(90))=(-\omega,0)\)

Grunnen til at det blir minus foran sinusen i x-komponenten er at bidraget blir i negativ x-retning, hvis vi har definert positiv x-retning mot h?yre (se figur 7!).

Vi setter sammen alt vi har funnet ut, og f?r at startfarten til raketten f?r oppskytning er:

\(\vec v_{rakett}=\vec{v}_{planet}+\vec{v}_{rotasjon}= \vec{v}_{planet}+ \vec{\omega} {R}\)

Med denne informasjonen hadde vi alt vi trengte for ? skyte opp raketten v?r med riktig kurs mot Armando.

Som nevnt i de f?rste innleggene simulerte vi rakettoppskytningen f?r vi faktisk dro opp i rommet (noe annet hadde v?rt sinnssykt). Metoden vi brukte for ? beregne rakettens posisjon gjennom oppskytingen er akkurat som vi har forklart her. Kort oppsummert bruker vi euler-metoden for ? beregne fart og posisjon:

\(\vec{v}_{ny\_rakett}=\vec{v}_{gammel\_rakett}+ \vec{a}_{rakett}\cdot dt\)

\(\vec{R}_{ny\_relativ}=\vec{R}_{gammel\_relativ}+ \vec{v}_{rakett}\cdot dt\)

\(\vec R_{ny\_rakett}=\vec R_{gammel\_rakett}+\vec{v}_{rakett}\cdot dt\)

Her m? vi b?de oppdatere posisjonen relativt til planeten \(\vec R_{relativ}\) og posisjonen relativt til stjerna \(\vec{R}_{rakett}\).

Vi finner \(\vec{a}_{rakett}\) med Newtons andre lov:

\(\Sigma \vec{F}=\vec F_{motor}-\vec F_{G}=m\vec{a}_{rakett}\)

Hvor \(\Sigma \vec{F}\)er summen av kreftene p? raketten, \(\vec F_{motor}\) er kraften fra motoren, \(\vec F_{G}\) er kraften fra gravitasjonen, \(m\) er massen til raketten og \(\vec a_{rakett}\) er akselerasjonen til raketten. Akselerasjonen skal v?re rettet radielt rett ut fra planetens overflate, og dette s?rger vi for ved ? bruke enhetsvektoren til \(\vec R_{relativ}\). Vi f?r da at

\(\vec F_{motor}=F_{motor} \hat{R}_{relativ}=F_{motor}\frac{\vec R_{relativ}}{R_{relativ}}\)

Hvor \(R_{relativ}=|\vec{R}_{relativ}|\) er avstanden mellom planeten og raketten.

Det samme gjelder for tyngdekraften \(\vec{F}_G=F_G\hat{R}_{relativ}\). Vi ganger med enhetsvektoren til vektoren som g?r fra planetens sentrum til raketten.

P? denne m?ten kunne vi simulere og gjennomf?re en oppskytning ved generelle tidspunkter og posisjoner p? planeten! Dere har n? f?tt vite alt dere trenger ? vite om oppskytningen (vi skjuler ikke noe mer, lover!!). I skrivende stund er vi i verdensrommet, et sted mellom Thestral og Armando. Davy G. sitter og ser ut vinduet:

Davy G. - "Hvordan er det egentlig med gravitasjonskraften?? Vi begynner jo ? n?rme oss Armando, men sola er jo stor og trekker sikkert en del p? raketten... ?h, tenk om vi ikke har nok fart for ? n? Armando! Tenk om sola trekker oss i feil retning!!"

Prof. Elmi - "Ta det heeelt med ro Davy, jeg har regna litt p? det skj?nner du. Du har ingenting ? stresse over!!"

Hva mente Prof. Elmi her? F?lg med videre!!