Ellipsebaner

For ? finne ut hvordan solsystemet BABLA virkelig ser ut, har ingen andre enn selveste Davy G tatt et millit?rstup rett inn i programmeringsverdenen. Han skal ta dere med igjennom de vakre simuleringene som illustrer BLABLA.

Vi starter med ? angripe problemet analytisk. Vi har lyst til ? simulere banene til planetene i BLABLA. Men deree.... hva er det vi fysikere elsker ? gj?re? Vi liker ? l?se likninger p? "ulovlige" metoder istedenfor ? angripe dem som matematikerne mener en likning skal l?ses. En annen ting vi elsker ? gj?re? Gj?re forenklinger! S? la oss gj?re noen forenklinger. Vi starter med ? se bort ifra gravitasjonskraften som virker p? sola fra planetene i BLABLA. Vi ser ogs? bare p? gravitasjonskraften fra solen p? planetene, og ser bort fra gravitasjonskraften planetene imellom. Ellers s? m? David G ta millit?rstup fra 20 meteren, og det skjer ikke. Det eneste vi ser p? er planetene og solen. I tilegg ser vi ikke p? z-aksen, og sier at alle banene ligger i samme xy-plan. OK, det var nok forenklinger (h?per vi). Vi gj?r i hvert fall et fors?k p? ? tegne de teoretiske banene!

Er dere klare for ? se resulatet? Vi teller ned sammen 3,2,1...men vent n? litt. Vi m? jo skj?nne litt sammen hvordan selveste Davy G har klart ? l?se dette problemet. Dere har jo ikke l?rt Keplers lover forgjeves. Dere husker vel Keplers f?rste lov? Om dere har klart ? glemme den akkurat som prof.Elmi, s? var det den loven som sa at planeter g?r i en ellipse med solen i et av brennpunktene. Vi m? derfor ta utgangspunkt i likningen som beskriver en ellipsebane :

\(r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{f}}\)

Her er \(r\) avstanden mellom planeten og sola og  \(f\) er vinkelen mellom x-aksen og linja fra stjerna til planeten \(e\) er eksentrisiteten, og ikke eulers tall som mange forbinder \(e \) med. Eksentrisiteten er definert ved formelen \(e=\sqrt{1-(\frac{b}{a})^2}\) . Her er \(b\) lille halvakse, og  \(a\) er det samme som f?r og er store halvakse. Eksentrisitet regner vi med er noe helt nytt for dere som leser dette. Men det er mye enklere enn det man skulle trodd. Det eneste eksentrisiteten gj?r er at den forteller oss hvor lik ellipsebanen er en sirkel. Hva menes med dette? Jo, la oss se p? formelen v?r. Hvis eksentrisiteten er 0, betyr det at \(\frac{b}{a}=1\). Det vil si at store og lille halvakse er like store, som er et spesialtilfelle av en ellipse - en sirkel! Radiusen til sirkelen blir \(r=a=b\). Hmmm¡­ men det m? jo bety at desto st?rre eksentrisiteten er desto flatere blir sirkelen! Tenk p? det som at vi har en myk ball som skvises mer og mer jo st?rre eksentrisiteten blir! N? h?per vi at du som leser har f?tt en bedre forst?else p? hva eksentrisitet er for noe. Okei, som dere kan se p? figur 1 som vi faktisk denne gangen fikk Edvard Munch til ? tegne, s? ser dere at \(r\) beskriver avstanden fra solen til planeten. Formelen for \(r\) er alts? akkurat det vi trenger for ? tegne de teoretiske banene til planetene i solsystemet v?rt!. N? skal dere f? se den teoretiske simuleringen av BLABLA sine planetbaner:

YESSSSS SIRRR, Davy G heter ikke Davy G uten grunn!! For en G.

Men hva er det vi ser p? her? Jo, vi har brukt formelen for ellipsebaner til ? tegne de teoretiske planetbanene. Dette er alts? slik vi forventer at banene skal se ut. Her ser vi Thestral for f?rste gang utenfra: Thestral er den nest innerste av planetene, den som er farget bl?tt!

Som dere ser p? figur 3 virker det som at Thestrals bane er veldig ellipseformet. Hva tror dere eksentrisiteten er her? Er den n?rmere 0 eller 1? Ut fra dette bildet kan det se ut som at eksentrisiteten er n?rmere 1 enn null fordi banen er "skvist" i en ellipseform. Men OBS OBS! Se n?ye p? aksene. Virker det ikke som at store og lille halvakse er ganske like? Hva skjer om vi gj?r aksene like?

Oi! Det var andre boller! Hva tror dere at eksentrisiteten til banen til Thestral er n?? Ja, n?rmere null! Ved ? sjekke databasen v?r har vi faktisk funnet ut at banen til Thestral har en eksenstrisitet p? omtrent 0.013! Det betyr at store halvakse (a) og lille halvakse (b) er nesten identiske (se figur 5)! Det vi kan l?re fra dette er at det alltid er viktig ? vurdere grundig de resultatene man f?r, og ikke ta alt for god fisk! Det er fort gjort ? manipulere et resultat ved ? endre aksene. S? hva er store halvakse til Thestral? Den er p? 5.1 AU. Satt i perspektiv er avstanden mellom deres planet, jorda, og sola p? 1 AU. Banen til Thestral er alts? ganske mye st?rre! Men det m? jo bety at et ?r p? Thestral er ganske mye lengre ogs?? Ja, det stemmer. ?ret p? Thestral tilsvarer 7.2 ?r p? jorda! P? Thestral er de eldste folka helt oppi 30-?rene! ?h, hvor fantastisk hadde det ikke v?rt ? bli 30...

Her er det imidlertid en ting vi m? meddele. Vi har ikke tatt hensyn til tiden! Det analytiske uttrykket for ellipsebaner gir oss bare formen til banene, vi vil jo ogs? finne planetenes posisjon som funksjon av tiden. Det er nettopp dette vi skal unders?ke n?. Vi gj?r noen grundige observasjoner av planetene i solsystemet v?rt, og finner startposisjonen og starthastigheten deres. Vi kjenner til planetes radius fra v?r, og har dermed den kunnskapen vi trenger for ? simulere banene deres! 

Slik ser alts? de teoretiske banene ut i forhold til de simulerte banene. Her er de teoretiske banene i stiplede linjer og de simulerte banene i heltrukne linjer. Presisjonen er faktisk s?pass h?y at vi nesten ikke ser noen forskjell mellom de to banene fra dette perspektivet. Tar vi forst?rrelsesglasset og observerer dem i mer detalj, finner vi likevel noen avvik. Hva kan det komme av? Mens vi tenker litt p? det, zommer vi inn for ? se p? v?r kj?re Thestral:

Ogs? her er banene veldig like, men det er likevel litt avvik. Som dere sikkert allerede har skj?nt, vil simuleringen alltid kun v?re en tiln?rming av ekte fenomener: Den er et fors?k p? ? lage en modell av den virkelige verden som baserer seg p? tiln?rminger og antakelser. Her simulerer vi for eksempel posisjonene steg for steg, og ideelt sett skulle hvert steg v?rt uendelig lite! Det f?r vi dessverre ikke til her, s? vi f?r alltids noe avvik. Det gjelder derfor ? minimere avvikene s? mye som mulig! Det er flere m?ter ? gj?re det p?, og en god start er ? se p? hvilken intregrasjonsmetode man bruker. Husker dere da vi brukte Euler-metoden? Her gj?r vi nesten det samme, bare at vi bruker en litt mer avansert variant, med navn Leap-Frog. Vi g?r ikke i dybden p? hvordan denne ser ut, men den gir st?rre grad av n?yaktighet i svarene. Det finnes mange forskjellige integrasjonsmetoder med stor variasjon av n?yaktighet. Det gjelder ? finne den som passer deg best!

Har det ikke v?rt ganske kult ? se hvordan planetbanene ser ut? Det synes i hvert fall vi. N? vil vi pr?ve ? finne ut av hva mer det er som skjuler seg bak disse mystiske banene.