V?rt endelige m?l er ? simulere en hel rakettoppskytning (og vi vil komme dit, jeg lover), men vi m? begynne med noe litt simplere. I f?rsteomgang ?nsker vi ? simulere en liten del av motoren, der gasspartikler flyr rundt.
F?rst vil vi se p? denne delen av motoren som en liten boks med sidelengder \(10^{-6} \), uten noen utgang for partiklene. Utgangen kan vi legge til senere. Partiklene vil fly rundt og kollidere med veggene, slik at vi kan teste at simulasjonen v?r faktisk fungerer. Som nevnt tidligere trekker vi hastighetskomponentene til hver av partiklene fra en normalfordeling med forventningsverdi \(\mu = 0\) og standardavvik \(\sigma =\sqrt{\frac{kT}{m}}\), der T er temperaturen i gassen, m er massen til en enkelt partikkel, og k er boltzmann-konstanten.
I boksen sprer vi \(10^5\)\(H_2\) partikler, og setter temperaturen til 3000 K. Vi trekker hastighetskomponenter fra normalfordelingen, og setter igang simulasjonen. Underveis sjekker vi hele tiden om noen av partiklene kommer i kontakt med veggene, og for de som gj?r dette, endrer vi p? hastigheten deres slik at de holder seg i boksen.
Her viser vi en kollisjon langs x-aksen. Siden \(|p|\) (driv) er bevart (se tidligere innlegg, vil lengden p? hastigheten \(\vec{v}\) v?re bevart ogs?! Som vi ser p? illustrasjonen, p?f?res det kun en kraft langs x-aksen, og siden lengden p? \(\vec{v}\) skal v?re bevart, er den eneste muligheten at hastighetskomponenten langs x-aksen snur. Det samme skjer n?r partikkelen kolliderer langs y- og z-aksen.
Vi lar simulasjonen g? over en veldig kort tidsperiode \(t = 10^{-9}\) s, og ser p? partiklenes bevegelse:
Video 1) Video som viser partiklene i boksen
Ser man det! Partiklene spretter rundt mellom veggene, med forskjellige hastigheter. For ? sjekke at partiklene faktisk har de egenskapene vi ?nsker, kan vi teste imot de analytiske tallene vi kjenner fra f?r! Fra tidligere har vi analytiske utrykk for snitt-hastighet \(\langle v \rangle\), snitt-energi \(\langle E \rangle\), og trykket \(P\). Vi sammenlikner disse med tallene fra v?r simulasjon:
| Snitt-hastighet \(\langle v \rangle\) | Snitt-energi \(\langle E \rangle\) | Trykk \(P\) | |
|---|---|---|---|
| Numerisk beregning | \(5.620 \cdot 10^3\; m/s\) | \(6.223 \cdot 10^{-20}\; J\) | \(4.125 \cdot 10^3\; Pa\) |
| Analytisk beregning | \(5.613 \cdot 10^{3}\; m/s\) | \(6.213 \cdot 10^{-20}\; J\) | \(4.142 \cdot 10^3\; Pa\) |
| Relativ feil | \(0.001239\) | \(0.001546\) | \(0.004155\) |
Tabell 1) Relativ feil er gitt ved (Numerisk - Analytisk) / Analytisk. Merk ogs? at disse m?lingene er tatt fra en enkelt simulasjon, og vil variere litt med hensyn p? tilfeldigheter.
Her ser vi at den relative feilen er p? under 1% for alle verdiene, som er ganske bra! Med dette f?ler vi oss klare for ? stikke hull i boksen, som du kan lese om her.