Selv om noen vil si den makroskopiske verdenen er deterministisk er alle enige at den oppf?rer seg ganske tilfeldig. Alt fra et terningkast til v?ret i himmelen kan beskrives som tilfeldige hendelser. For ? forutsi verden har vi bygget opp en robust matematisk struktur rundt sannsynlighet. Dette er viktig i all vitenskap og vi kommer til ? bruke det mye p? reisen gjennom solsystemet v?rt.
Hva er egentlig sannsynlighet? Det er andelen av ?nsket resultat som forekommer n?r vi gj?r et tilfeldig eksperiment utrolig mange ganger. Ta terningkast, sannsynligheten for 6 er \(\frac16 \), alts? hvis jeg kaster en terning 600 ganger vil jeg f? ca.100 6'ere. Terningkast har hva man kaller en diskre fordeling, resultatene kan v?re 1 eller 2 men aldri 1.5, men slik er det ikke alltid. Ta sannsynligheten for n?r bussen kommer, den kan komme akkurat n?, eller om et minutt, eller kanskje en gang innimellom. En slik situasjon er kontinuerlig, at mellom hvert punkt finnes det uendelige forskjellige punkter (For matematikerne blant dere er dette helt likt som forskjellen mellom \(\mathbb{Z} \:og \:\mathbb{R}\)) Dette gj?r ogs? at sannysnligheten for et helt n?yaktig ?yeblikk er null fordi det er s? mange muligheter.
For ? kunne finne sannsynligheter til kontinuerlige variabler trenger vi det man kaller en sannsynlighetsfordeling. Dette er en matematisk funksjon som viser fordelingen av sannsynligheten. Variablene funksjonen tar inn er det man kaller en stokastisk (tilfeldig) variabel, tenk tid det tar for bussen ? komme. N? funksjonsverdien (\(P(x) \)) i et punkt sier ikke mye alene, men hvis vi ganger den med
deltax.png)
en liten endring i variabelen (\(\Delta x \)) f?r vi sannsynligheten for at hendelsen (bussen kommer) er i intervallet \([x,x+\Delta x] \) (for bussen: x = tid). Her kommer ett viktig triks i fysikk, hvis vi lar denne endringen bli uendelig lite, alts? lar den n?re seg null, ogs? summerer vi over alle verdiene til x f?r vi ett integral p? formen: \(\int_a^b P(x) dx\) som gir oss sannsynligheten av intervallet [a,b].
Alle sannsynlighetsfordelinger har det man kallen en forventningsverdi \(\langle x\rangle\). Dette er slags gjennomsnitt av alle mulige resultater, men istedenfor ? v?re jevnt fordelt slik snittet er, tar man hensyn til sannsynligheten for resultatene. For ? finne forventningsverdien til en kontinuerlig stokastisk variabel trenger vi sannsynligheten for hver verdi. Dette kan vi finne ved ? funksjonsverdien med \(\Delta x \) som gir sannsynligheten for ett lite intervall. S? vekter vi resultatene ved ? gange sannsynligheten med verdien vi f?r ut av intervallet, \(x\cdot P(x) \Delta x\). N?r vi n? lar \(\Delta x \) g? til null og summerer alle intervallene sammen (akkurat som vi gjorde over) f?r vi \(\int x P(x) dx\) som da er summen av alle resultater vektet for sannsynlighet, alts? \(\langle x\rangle =\int x P(x) dx\). Det interessante med dette er man kan ogs? utrykke forventningsverdier for utrykk som inneholder den tilfeldige verdien:\(\langle f(x)\rangle = \int f(x) P(x) dx\).
N? kommer vi endelig til hvorfor dette er viktig for oss. En av de viktigste stedene vi bruker dette er i motoren v?r. Rakettmotoren er full av en varm ideell gass hvor farten til hver partikkel er tilfeldig. (For mer om selve motoren og ideell gas se neste inlegg).
Maxwell og Boltzmann fant ut at i en ideell gass f?lger farten og fartskomponentene spesifikke fordelinger. Fartskomponentene, alts? den delen av farten som er rettet langs x,y,z aksene, er fordelt med gausfordelingen(normalfordelingen). Gausfordelingen er den sannsynlighetstettheten som dukker opp oftest i naturen. Den sprer seg jevnt rundt en forventningsverdi (\(\mu\)) og hvor stor spredning den har avhenger av standardavviket (\(\sigma\)). I figur 2 ser du flere slike fordelinger med forskjellige parametere. Det er ganske lett ? forholde seg til gausiske fordelinger siden man har en tommefinger regel p? at 68% er innafor en σ, 95% innafor 2σ, og 99.7% innafor 3σ. N?r jeg sier innafor x mener jeg at den m?lte verdien fyller dette kravet: |\(\mu\) - m?lt verdi| < x.
For ? se sannsynlighetsfordelingen til hele farten og skj?nne hvordan dette fungerer i motoren bare les videre i neste artikkel ...