Situasjonen
Ellen har bestemt seg for ? v?re den modige observat?ren og setter seg i et romskip som er i fritt fall radielt mot et svart hull med masse \(\text M = 1.52756 \cdot 10^7 \ \text M_\odot\). Ellen titter ut av romskipet og ser bort p? meg, Erica, som sitter inne i en satellitt utenfor en planet. Satellitten er stasjon?r, og beveger seg derfor ikke i forhold til planeten. Denne planeten er en avstand \(1 \ \text{AU}\) fra det sorte hullet og g?r i bane rundt det. Vi har to referansesystemer:
- Referansesystemet til planeten: her sitter jeg i en satellitt utenfor planeten, \(1 \ \text{AU}\) unna eventhorisonten. Dette er en skallobservat?r, og jeg sender r?de lyssignal (sett fra planeten) med et konstant tidsintervall p? \(60.3394 \ \text s\) mellom hvert signal.
- Referansesystemet til det fallende romskipet: her sitter Ellen og er p? vei radielt mot det svarte hullet. Romskipet har en hastighet \(v_\text{shell} = 0.152c\) n?r det passerer meg i satellitten ved \(1 \ \text{AU}\). Hun sender ut bl? lyssignaler (sett fra det frittfallende referansesystemet) med et konstant tidsintervall p? \(32.7669 \ \text s\) mellom hvert signal.
Her kommer vi til ? gj?re en betydelig forenkling. Vi antar at lyssignalene blir registrert med en gang de sendes ut, slik at lyset har uendelig h?y hastighet. Vi ser alts? bort fra tiden det tar for lyset ? n? frem til oss (for n? hvertfall).
De ulike observat?rene
Vi har ulike geometrier alt etter hvor vi befinner oss i forhold til det svarte hullet. Som vi n? vet, s? vil det svarte hullet krumme tidrommet. For noen som st?r langt unna, s? vil rommet v?re veldig krummet, men for noen som er n?rme det svarte hullet, s? vil det se mer flatt ut. For ? visualisere dett kan du tenke p? jorda: fra verdensrommet ser orda tydelig sf?risk ut, men p? jordoverflaten ser den "flat" ut! I generelle relativitetsteori bruker vi tre ulike observat?rer:
Langt vekk observat?ren:
Denne observat?ren er langt unna og merker ikke det sterke gravitasjonsfeltet fra det svarte hullet. Denne observat?ren bruker Schwarzschild geometri med koordinater \((r,t)\), hvor \(r\) er avstanden til det svarte hullet langt vekk observat?ren observerer, og \(t\) er tiden langt vekk observat?ren m?ler med sin klokke.
Frittfallende observat?r:
Denne observat?ren er i fritt fall n?r det svarte hullet. Hun har med seg en klokke og registrerer posisjon og tid for eventer basert p? sin egentid (tiden armb?ndsuret hennes viser). Denne observat?ren befinner seg i et lokalt inertialsystem med flatt tidrom og kan derfor bruke Lorentzgeometri for eventer som skjer med korte tidsintervaller mellom dem, slik som lyssignalene vi ser p? her. I v?rt tilfelle er dette Ellen som sitter i romskipet som er p? vei mot det svarte hullet.
Skallobservat?ren:
Skallobservat?ren lever p? et skall med konstant radius rundt det svarte hullet og merker gravitasjonsfeltet godt. Denne observat?ren bruker lokal "skalltid" \(t_\text{shell}\), som er tiden armb?ndsuret til skallobservat?ren viser. Dette er meg som sitter i satellitten som er stasjon?r i forhold til planeten. Jeg g?r rundt det svarte hullet med en avstand \(1 \ \text{AU}\) til sentrum av det svarte hullet. Men n?r jeg som skallobservat?r skal m?le distansen \(r_\text{shell}\), s? m?ter jeg p? problemer. P? grunn av det sterke gravitasjonsfeltet til det svarte hullet, s? vil denne avstanden bli uendelig stor, fordi tid og rom krummer seg n?rme et svart hull. Derfor m?ler jeg heller omkretsen til skallet og deler p? \(2\pi\) for ? finne Schwarzschild koordinatet \(r\) (siden omkretsen \(= 2\pi r\)). Skallobservat?ren m?ler ulike lengder \(\Delta r_\text{shell}\) mellom forskjellige skall. Det er viktig ? merke seg at skallobservat?rens koordinater er lokale koordinater, som betyr at de ikke er de samme som m?les av f.eks langt vekk observat?ren.
Relativistisk energi i krumt tidrom
Tidligere, i den spesielle relativitetsteorien s? har vi snakket om relativistisk energi. Men da snakket vi om flatt tidrom. N? jobber vi innenfor den generelle relativitetsteorien og mer spesifikt med et ikke-roterende svart hull, s? vi har en sterk krumning av tidrommet. Vi trenger derfor et uttrykk for energi med Schwarzschildgeometri. I Schwarzschildgeometri s? har vi dette uttrykket for relativistisk energi per masse i et gravitasjonfelt:
\(\frac{E}{m} = \left( 1- \frac{2M}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \text{konstant}\) \((1)\)
Hvor \(\frac{E}{m}\) er energi per masse for det frittfallende romskipet, \(M\) er massen til det svarte hullet og \(2M\) er Schwarzschildradien (eventhorisonten), \(r\) er avstanden fra romskipet til det svarte hullet m?lt av langt vekk observat?ren, \(dt\) er et infinitesimal tidsintervall for langt vekk observat?ren og \(d\tau\) er et infinitesimal tidsintervall av egentiden til romskipet (frittfallende observat?r).
Siden vi har en frittfallende observat?r (Ellen) og en skallobservat?r (meg) i v?rt tilfelle, s? vil vi uttrykke \((1)\) ved hjelp av tiden til skallobservat?ren istedet for langt vekk observat?ren. Da kan vi bruke tidsromsavstanden i Schwarzschildkoordinater mellom to eventer som skjer p? samme sted i \(r\)- og \(\phi\)-retning. Da finner vi denne sammenhengen for tiden til langt vekk observat?ren og skallobservat?ren. Vi minner om Schwarzschildmetrikken (linjelementet):
\(d\tau^2 = dt_\text{shell}^2= \left( 1 - \frac{2M}{r} \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{2M}{r}} - r^2 d\phi^2 \) \((2)\)
Her er \(dr = 0\) og \(d\phi = 0\) siden vi ikke endrer retning eller posisjon. Da f?r vi:
\(dt = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} dt_\text{shell} \) \((3)\)
hvor \(dt\) er tiden en langt vekk observat?r m?ler og \(dt_\text{shell}\) er tiden skallobservat?ren m?ler.
Nice! Da har vi en sammenheng. Vi setter dette inn i uttrykket for energien \((1)\):
\(\frac{E}{m} = \left( 1- \frac{2M}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \left( 1- \frac{2M}{r} \right) \frac{dt_\text{shell}}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}d\tau} = \sqrt{1-\frac{2M}{r}} \frac{dt_\text{shell}}{d\tau} = \text{konstant}\) \((4)\)
Da har vi endelig f?tt uttrykket energi per masse for romskipet som faller mot det svarte hullet med tiden jeg i satellitten observerer (\(dt_\text{shell}\)) og egentiden til romskipet (\(d\tau\)). \(r\) er fortsatt avstanden fra det frittfallende romskipet til det svarte hullet (posisjonen til romskipet) m?lt av en langt vekk observat?r. Siden energi per masse er konstant, s? har vi n? et forhold som beskriver hvordan tiden min i satellitten (skallobservat?r) vil g? i forhold til romskipets egentid (frittfallende observat?r). Dette forholder varierer med avstanden \(r\) til det svarte hullet.
Spesiell relativitet kommer snikende tilbake
Vi kan gj?re uttrykket for energi per masse for romskipet enda enklere ved ? anta at vi har et lokalt inertialsystem i det ?yeblikket det frittfallende romskipet passeres oss i satellitten. Et lokalt inertialsystem er et referansesystem hvor vi kan bruke spesiell relativitetsteori (som vil si at vi har flatt tidrom).
For eksempel er et romskip som g?r i bane rundt jorda og andre gjenstander i fritt fall, eksempler p? lokale inertialsystemer. Men det er en hake her. Dette er gyldig bare i en liten, lokal del av tidrommet. Grunnen til at vi kan bruke dette her, er fordi n?r noe skjer n?rme oss i tidrommet og over et kort tidsintervall, s? kan vi se bort fra krumningen av tidrommet. Se for deg at n?r vi g?r i bane rundt en planet, s? har vi jo en krummet bane og g?r i sirkel. Men hvis vi ser p? et lite tidsintervall, s? merker vi ikke noe til krumningen av banen. For oss inne i romskipet s? ser det ut som vi bare beveger oss rett framover. Vi opplever da et flatt tidrom og kan bruke Lorentzgeometri siden vi er i et lokalt inertialsystem. Da kan vi vende tilbake til den gode gamle spesielle relativitetsteorien.
Et typisk eksempel i den spesielle relativitetsteorien er et tog som kj?rer p? jorda. En observat?r st?r inni toget, mens den andre st?r p? perrongen. N?r de passerer hverandre, s? kan vi tiln?rme at de befinner seg i flatt tidrom, slik at vi se bort fra denne krumningen og bruke Lorentzgeometri. Men i det store bildet, s? vet vi at jorda krummer tidrommet, og at toget kj?rer i en krummet bane,
La oss pr?ve ? forenkle energiuttrykket \((4)\) med denne tiln?rmingen. I spesiell relativitetsteori kan vi skrive sammenhengen mellom egentid og tiden tid en observat?r som:
\(\Delta t_\text{shell} = \gamma_\text{shell} \Delta \tau\)
hvor \(\gamma_\text{shell} = \frac{1}{\sqrt{1-v_\text{shell}^2}}\) og \(v_\text{shell}\) er hastigheten skallobservat?ren observerer at romskipet har i det vi passerer hverandre. Her er \(\Delta t_\text{shell}\) tiden skallobservat?ren (meg i satellitten) og \(\Delta \tau\) tiden Ellen i det frittfallende romskipet opplever.
Vi kan snu om p? ligningen, og gj?re tidsintervallene infinitesimal sm?, slik at vi f?r:
\(\frac{dt_\text{shell}}{d\tau} = \gamma_\text{shell}\)
Dette er akkurat det vi trenger i formel \((4)\) for energi! Her er det nye uttrykket:
\(\frac{E}{m} = \sqrt{1-\frac{2M}{r}} \gamma_\text{shell}\) \((5)\)
Siden \(\frac{E}{m}\) er konstant og m? v?re den samme for alle posisjoner \(r\) det frittfallende romskipet har, s? kan vi regne den ut n?. Vi regner den ut i tidspunktet romskipet passerer satellitten, fordi da vet vi at \(r = 1 \ \text{AU}\). Vi kjenner massen til det svarte hullet \(\text M = 1.52756 \cdot 10^7 \ \text M_\odot\) og hastigheten romskipet har ved 1 AU, \(v_\text{shell} = 0.152c\). Ved ? bruke naturlige enheter (? konvertere alt til meter), s? f?r vi at \(\frac{E}{m} \approx 0.823\) som tilsvarer \(7.408 \cdot 10^{16} \frac{J}{kg}\) m?lt SI-enheter.
Hvor n?rme er Ellen det svarte hullet?
Ellen vil falle direkte mot det svarte hullet, fordi hun har ingen motorkraft. Tidsintervallene mellom lyssignalene er ganske korte (i forhold til de store avstandene), s? vi vil gj?re en forenkling og si at avstanden \(r\) Ellen har i forhold til det svarte hullet er konstant i dette tidsintervallet. Vi kan dermed bruke forholdet mellom energi og masse (som er konstant) til ? regne ut avstanden \(r\) med ligning \((1)\)!
Vi finner avstanden ved ? snu ligningen, slik at avstanden er gitt ved:
\(r = \frac{2M}{1 -\left( \frac{\Delta \tau}{\Delta t_\text{shell}} \cdot \frac{E}{m} \right)^2}\) \((6)\)
Egentidsintervallet \(\Delta \tau = 32.7669 \ \text s\) mellom lyssignalene Ellen sender ut, er konstant, og forholdet \(\frac{E}{m} = 0.823 \) er konstant. Det eneste vi trenger ? gj?re for ? finne ut hvor langt unna Ellen er fra det svarte hullet, er ? m?le tiden mellom lyssignalene hun sender ut. Hun sender totalt 31 lyssignal, og vi velger ? m?le tiden mellom de to f?rste og de to siste. Vi slenger resultatene inn i en s?t liten tabell:
| Tid mellom lyssignal \(\Delta t\) | Avstand \(\textbf r\) mellom Ellen og svart hull | ||
|---|---|---|---|
| to f?rste signal | \(\Delta t_{1,2} = 33.3564 \ \text s\) | \(r = 0.870 \ \text{AU}\) | \(r = 2.89 \cdot 2\text M\) |
| to siste signal | \(\Delta t_{30,31} = 320.22 \ \text s\) | \(r = 0.303 \ \text{AU}\) | \(r = 1.01 \cdot 2\text M\) |
Jeg er en avstand \(1 \ \text{AU}\) fra det svarte hullet. Vi ser at mellom f?rste og andre lyssignal s? er Ellen en avstand \(0.870 \ \text{AU}\) fra det svarte hullet og det tok \(\Delta t_{1,2} = 33.3564 \ \text s\) mellom de to lyssignalene. Dette er omtrent 1 sekund lengre enn egentidsintervallet \(\Delta \tau\) Ellen m?ler. Vi ser at ved de to siste lyssignalene s? har hun kommet en avstand \(0.303 \ \text{AU}\) eller \(1.01 \cdot 2\text M\) fra det svarte hullet!
Tid endres i n?rheten av et svart hull!
Ellen er farlig n?rme Schwarzschildradien som er ved \(2\text M\) ved det 31. lyssignalet! Her ser vi en drastisk endring i tiden jeg m?ler mellom signalene, hele \(\Delta t_{30,31} = 320.22 \ \text s\), mens Ellen fortsatt m?ler det samme intervallet \(\Delta \tau\) som f?r! For meg g?r alts? tiden myyyye raskere enn for Ellen! Dette er p? grunn av det sterke gravitasjonsfeltet ved det svarte hullet. Ved ? snu om p? ligning \((4)\) s? kommer vi frem til at sammenhengen mellom egentiden \(d\tau\) til Ellen og min tid som skallobservat?r \(dt_\text{shell}\) er:
\(d\tau = \frac{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}{\frac{E}{m}} dt_\text{shell} \Leftrightarrow dt_\text{shell} =\frac{\frac{E}{m}}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}d\tau\) \((7)\)
Sett fra meg (skallobservat?ren) s? vil tiden g? uendelig sakte n?r Ellen n?rmer seg Schwarzschildradien \(r = 2\text M\)! Alts? ser vi at n?r \(r \rightarrow 2\text M\) s? vil \(dt_\text{shell} \rightarrow \infty\), som betyr at tiden mellom hvert lyssignal jeg observerer vil bli lengre og lengre.
Det motsatte vil skje for henne. N?r \(r \rightarrow 2\text M\) s? vil \(d\tau \rightarrow 0\). S? sett fra det frittfallende romskipet Ellen befinner seg i, s? det g? kortere og kortere tid mellom lyssignalene jeg sender henne, men jeg sender de ut med et fast tidsintervall hver gang! Alts? ser Ellen at tiden g?r raskere og raskere hos skallobservat?ren (meg) n?r hun kommer n?rmere og n?rmere det svarte hullet!
Hva skjer med hastigheten?
Vi kan ogs? utlede et nyttig resultat fra ligning \((5)\). Vi vet at \(\gamma_\text{shell} = \frac{1}{\sqrt{1-v_\text{shell}^2}}\), slik at vi kan rokkere litt om p? uttrykket til ? representere farten skallobservat?ren m?ler:
\(v_\text{shell} = \sqrt{1- \frac{1 - \frac{2M}{r}}{(E/m)^2}}\) \((8)\)
Denne ligningen forteller oss at n?r romskipet n?rmer seg det svarte huller (\(r \rightarrow 2M\)), s? vil \(v_\text{shell} \rightarrow 1\), som betyr at farten jeg observerer blir st?rre og st?rre n?r avstanden romskipet har til det svarte hullet minker. Jeg ser alts? at romskipet beveger seg med lysfart n?r det n?r eventhorisonten!
Fargen p? lyssignalene - en tydelig Dopplereffekt
Som vi har l?rt tidligere, s? skjer det noe rart med lyset som sendes inn i et gravitasjonsfelt og lys som sendes ut av et gravitasjonsfelt. Dette har vi snakket om i detalj tidligere, og dette kalte vi for et gravitasjonelt dopplerskift. Vi fant ut da at n?r lys beveger seg ut av et gravitasjonsfelt, s? blir lyset r?dforskyvd, og motsatt s? blir lyset bl?forskyvd n?r det beveger seg inn i et gravitasjonsfelt. Vi vet p? forh?nd at lyssignalene Ellen sender ut er fiolett mens de jeg sender ut fra satellitten er r?de.
Hva vil skje med fargen p? lyssignalene Ellen sender ut?
Vi vet at tiden til Ellen i romskipet vil g? saktere og saktere sett fra meg p? skallet n?r hun n?rmer seg det svarte hullet, s? tiden mellom hvert lyssignal vil ?ke sett fra meg. Det vil derfor g? lengre tid mellom hver b?lgetopp, som tilsvarer en lengre b?lgelengde og en r?dforskyvning av lyset jeg observerer. Siden lyssignalene hun sender ut har en fiolett farge, s? har lyset kort b?lgelengde og h?y frekvens. Vi vet at frekvensen til lys er gitt ved:
\(f = \frac{c}{\lambda}\)
hvor \(\lambda\) er b?lgelengden og \(c\) er lysfarta. Siden vi har en r?dforskyvning, s? vil frekvensen bli mindre og mindre n?r b?lgelengden ?ker.
Hva vil skje med fargen p? lyssignalene jeg sender ut?
Lyssignalene jeg sender ut er r?de sett fra meg, som betyr at de har lang b?lgelengde og liten frekvens. Dess n?rmere Ellen kommer det svarte hullet, dess kortere tid vil hun oppleve mellom hvert lyssignal jeg sender ut, fordi sett fra romskipet s? g?r tiden raskere og raskere hos meg p? skallet. Dermed f?r lyset hun observerer en kortere b?lgelengde og blir bl?forskyvd.
Vi sjekker om det stemmer:
Ellen hopper inn i romskipet og er p? vei mot det svarte hullet. N?r jeg sitter i satellitten og Ellen sender lyssignal mot meg mens hun beveger seg dypere inn i gravitasjonsfeltet til det svarte hullet, s? forventer vi at lyset blir r?dforskyvd, alts? observerer vi en st?rre b?lgelengde enn det lyset Ellen sender ut faktisk har. Jeg observerer at lyset Ellen sender mot meg er helt i den venstre enden av det synlige spekteret, alts? fiolett. Ettersom hun beveger seg n?rmere og n?rmere det svarte hullet, s? g?r fargen fra ? v?re bl?, gr?nn og til slutt blir den helt r?d. Dette stemmer overens med det vi foruts?!
Hva ser Ellen?
Jeg har f?tt kommunisert med Ellen f?r hun ble slukt av det svarte hullet for ? h?re med henne hvilken farge hun observerte at lyssignalene jeg sendte ut var. Ellen rapporterer:
"Dette er Ellen. Jeg er p? vei rett mot det svarte hullet. Lyssignalene du sender ut fra satellitten er r?de i starten, men etterhvert s? endrer de farge. Jeg s?g omtrent ett gult, gr?nt og bl?tt lys. Resten av lyssignalene var fiolett, og de kom s? fort etter hverandre at det var vanskelig ? f? med seg hvor mange du sendte ut."
Dette stemmer jo med det vi sa! Lyssignalene mine vil bl?sforskyves p? vei mot Ellen. Hun sa ogs? at tidsintervallet mellom hvert lyssignal blir kortere og kortere, men jeg sender de ut med et fast tidsintervall hver gang! Dette stemmer med det vi diskuterte tidligere, om at n?r hun n?rmer seg Schwarzschildradien, s? vil egentidsintervallet \(d\tau\) til Ellen g? mot 0. Alts? g?r tiden veldig raskt hos meg i satellitten sett fra henne.
What's the moral of the story?
Vi har en spennende situasjon hvor jeg sitter trygt i en satellitt som er stasjon?r i forhold til en planet utenfor et svart hull. Min modige venn Ellen ofret seg for vitenskapen og satte seg i et romskip som er i fritt fall rett mot det svarte hullet. Vi hadde lyst til ? finne ut hva som skjer med lys n?rme et svart hull. I tillegg fant vi ut at tiden ogs? oppf?rer seg rart i et s? sterkt gravitasjonsfelt. Vi begge sendte ut lyssignaler med faste mellomrom, men for Ellen s? blir tiden mellom hvert signal hun f?r fra meg kortere og kortere, og sett fra meg blir tiden mellom hvert lyssignal jeg mottar fra henne lengre og lengre! Vi kom frem til at lysene jeg ser i satellitten vil r?dforskyves, mens lysene Ellen ser i romskipet vil bl?forskyves.
Vent n? litt...
Vi har jo antatt at lysfarten er uendelig! Det stemmer jo ikke med virkeligheten. Hvordan vil svarene v?re endre seg om vi tar hensyn til tiden det tar for lyssignalene ? n? frem til oss? F?lg oss videre...