En liten oppfriskning og 4-vektor-moro
F?r vi stuper med hodet f?rst, s? anbefaler vi deg ? lese deg opp p? 4-vektorer og momenergy hvis du ikke allerede har gjort det (og kanskje finn frem litt snacks, det trenger du nok).
Ikke alle h?rer p? oss, s? vi tar en liten oppfriskning i plenum uansett:
4-vektorer er firedimensjonale vektorer med en tidskomponent og en romlig komponent, og kan tenkes p? som en vektor som "peker" p? et event i tidrommet. Det som er spesielt med disse vektorene er at de transformerer under Lorentztransformasjonen, som gj?r at vi kan bruke de til ? oversette mellom referansesystemer.
Momenergy - momentum + energy
Momenergy var en av de nyttige 4-vektorene vi fant (energi + bevegelsesmengde = momenergy), \(P_\mu\). Denne hjalp oss blant annet med ? se at masse blir konvertert til energi n?r et n?ytron desintegreres! La oss kort oppsummere de viktigste 4-vektorene for deg:
\(V_\mu = \gamma(1, \vec v) \\ P_\mu = \gamma (m, \vec p) = (E_\text{relativistsik}, \vec p_\text{relativistisk})\)
hvor \(\gamma = \frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\), \(\vec v\) er den tradisjonelle tredimensjonale hastigheten og \(\vec p = m \vec v\) er den tradisjonelle tredimensjonale bevegelsesmengdevektoren.
Tid og avstand blir m?lt i naturlige enheter, alts? at b?de tid og avstand m?les enten i meter eller sekunder. Denne transformerer mellom enhetene ved hjelp av lysfarten:
\(t_\text{meter} = c\cdot t_\text{sekunder}\\ x_\text{sekunder} = \frac{1}{c} \cdot x_\text{meter}\)
Tidligere s? fant vi at den relativistiske hastigheten er dimensjonsl?s: Det er ogs? greit ? huske p? at n?r vi holder p? med relativistisk enheter s? skriver vi at \(c = \pm 1\).
Du husker kanskje ogs? at Lorentztransformasjonen skrives p? komponentform slik:
\(X_\mu' = C_{\mu \nu}X_\nu\)
Litt muffins med prikkprodukt
Dette gir ikke veldig mye mening n?, men i kontekst senere m? vi kunne dette. Som du vet s? er 4-vektorer litt spesielle vektorer og da har de vell ogs? spesielle regler n?r det gjelder regneoperasjoner?
N?r vi skal ta prikkprodukt med 4-vektorer s? kan vi ikke bruke den vanlige metoden. Et vanlig prikkprodukt har pluss mellom alle leddene, men n?r vi tar prikkproduktet av en 4-vektor (med seg selv) s? skal det v?re minus mellom tidsdimensjonen og den romlige dimensjonen. S? prikkproduktet for momenergy er \(P_\mu P^\mu = E^2-p^2\), ikke \(E^2+p^2\)! Et nyttig prikkprodukt det er lurt ? ha i tankene til senere er at:
\(V_\mu V^\mu = \gamma^2 -\gamma^2v^2 = \gamma^2(1-v^2) = \frac{1}{1-v^2}\cdot (1-v^2) = 1\)
Hvis vi tar roten av dette, s? finner vi at normen av hastighets 4-vektoren er 1 (alts? \(||V_\mu V^\mu || = \sqrt{1} = 1\)). Det betyr at vi alltid beveger oss med lysfart i tidrommet!
Let the fun commence!
Situasjonen
Hvor var vi. Jo! Et romskip og et antimaterie-romskip kolliderer utenfor Casjoh. Disse romskipene er identiske, slik at det ene romskipet et antimaterie-versjonen av det andre. N?r de kolliderer blir all massen omgjort til energi i form av fotoner - dette kalles annihilasjon. Her vil vi anta at all massen blir konvertert til fotoner med samme b?lgelengde. Vi lar det venstre romskipet v?re romskip A og det h?yre v?re romskip B.
Her har vi to referansesystemer:
- Referansesystemet til planeten med umerkede koordinater \((x,t)\). Her sitter vi og observerer de to romskipene som kolliderer.
- Referansesystemet til observat?ren i et r?dt romskip som f?lger etter romskip A (se Figur 1) med samme hastighet som romskip A. Dette referansesystemet har merkede koordinater \((x',t')\).
Romskipene flyr mot hverandre langs \(x\)-aksen med en hastighet n?r lysets hastighet. Romskip A har en hastighet \(v_A\) i forhold til planetens referansesystem, og romskip B har en hastighet \(v_B = -v_A\) i forhold til planetens referansesystem. S? hastighetene er alts? like store, men motsatt rettet, slik at de er p? kollisjonskurs sett fra planeten.
Vent litt, hvorfor bryr vi oss om dette?
N? tenker du sikkert noe s?nn: "okei, et romskip og et antimaterie-romskip kolliderer og vi ser et lysglimt. Hvorfor regne p? det?"
Grunnen til at vi vil regne p? det er p? grunn av Dopplereffekten! Men her snakker vi ikke bare om vanlig dopplerskift som du kan fra f?r, vi skal bruke momenergy 4-vektorer til ? komme frem til et uttrykk for relativistisk dopplerskift. Vi kan ikke bruke det "vanlige" dopplerskiftet i denne situasjonen, fordi vi har veldig h?ye hastigheter. Forskjellen er at vi n? m? ta hensyn til relativistiske fenomener som tidsdilatasjon. Vi m? finne et uttrykk for den relativistiske dopplereffekten, som tar hensyn til hvordan b?lgelengdene p?virkes av at tiden g?r saktere ved h?ye hastigheter og lengdekontraksjon.
Som vi har snakket om mange ganger tidligere, s? gj?r dopplereffekten at vi f?r en r?dforskyvning eller bl?forskyvning av lys alt ettersom vi beveger oss bort fra eller mot lyskilden. Men siden vi har to forskjellige referansesystemer hvor det ene har en fart i forhold til det andre, f?r vi jo et dopplerskift. Tror du lysglimtet har samme farge i de to referansesystemene da?
For ? finne ut av dette m? vi f?rst finne momenergy 4-vektorene i de to referansesystemene. Da bretter vi opp ermene og begynner ? regne!
Momenergy til fotonet
Det som skjer n?r materie og antimaterie annihilerer, er at det dannes fotoner som reiser i alle mulige retninger. For ? gj?re ting litt lettere for oss selv, s? antar vi at annihilasjonen resulterer i at all massen blir konvertert til to fotoner som beveger seg i hver sin \(x\)-retning; den ene i positiv \(x\)-retning og den andre i negativ. Vi st?r p? planeten v?r og observerer annihilasjonen og er interessert i momenergy 4-vektoren til de to fotonene, \(P_\mu ^\gamma\). For et foton som kun beveger seg i \(x\)-retning, s? har det en bevegelsesmengde \(\vec p = (p_x, 0, 0)\). N? husker du sikkert hvordan momenergy 4-vektoren ser ut (h?per vi), s? da er du vell enig i momenergy 4-vektoren til et foton er:
\(P_\mu ^\gamma = \gamma (m, \vec p) = (E_\text{relativistisk}, \vec p_\text{relativistisk}) = (E, p_x,0,0)\)
hvor \(E\) er energien til fotonet (her mener vi den relativistiske energien) og \(\vec p\) er bevegelsesmengden til fotonet (som kun er i \(x\)-retning).
Men vi ?nsker oss et enklere uttrykk enn dette som ikke avhenger av \(p_x\). Vi kan bruke egenskapen til 4-vektorer til ? f? disse ligningene:
\(P_\mu P^\mu = m^2 V_\mu V^\mu = m^2\) \((1)\)
\(P_\mu P^\mu = (E, \vec p)\cdot (E, \vec p) = E^2 - p^2\) \((2)\)
Her har vi tatt prikkproduktet av momenergyvektoren med seg selv. Disse to m? jo v?re like! Vi setter de lik hverandre og ser hva vi f?r:
\(E^2 - p^2 = m^2 \implies E = \sqrt{m^2 + p^2}\)
Men fotoner er massel?se! Dette gir oss denne sammenhengen:
\(E = \sqrt{p^2} = p\) \((3)\)
V?rt foton beveger seg kun i \(x\)-retning, s? da er \(p = p_x\). N? har vi funnet en elegant momenergy 4-vektor for fotonet som beveger seg i positiv \(x\)-retning:
\(P_\mu ^\gamma = (E, \vec p) = (E,E,0,0)\)
hvor \(E\) er energien til fotonet.
Dette er rett og slett vakkert! (syns i hvertfall vi)
Fotoner og tvangsekteskap
Vi vet n? hva momenergy 4-vektoren til et foton som beveger seg i positiv \(x\)-retning er. Som mye annet i universet, s? er momenergy bevart i hendelsen, slik at momenergy til romskip A og romskip B m? v?re lik momenergy til de to fotonene etter annihilasjonen sett fra planeten. Men hva forteller det oss? La oss se p? momenergy f?r og etter annihilasjonen. F?r kollisjonen s? har vi dette:
\(P_\mu (A)\) - momenergy til romskip A som beveger seg i positiv \(x\)-retning
\(P_\mu(B)\) - momenergy til romskip B som beveger seg i negativ \(x\)-retning
Etter annihilasjonen har vi:
\(P_\mu ^\gamma (A)\) - momenergy til fotonet som beveger seg i positiv \(x\)-retning
\(P_\mu ^\gamma (B)\) - momenergy til fotonet som beveger seg i negativ \(x\)-retning
Siden momenergy er bevart, f?r vi da:
\(P_\mu (A) + P_\mu (B) = P_\mu ^\gamma (A) + P_\mu ^\gamma (B)\)
som er det samme som
\((E_A, \vec p_A) + (E_B, \vec p_B) = (E_A^\gamma, \vec p_A^\gamma) + (E_B^\gamma, \vec p_A^\gamma) \)
\((E_A + E_B, \vec p_A + \vec p_B) = (E_A^\gamma + E_B^\gamma, \vec p_A^\gamma + \vec p_B^\gamma)\)
(hvor vi her mener den relativistiske bevegelsesmengden og energien, men skriver det ikke)
Her vil summen av bevegelsesmengdene for romskipene v?re null, siden de har samme hastighet men i motsatt retning. Siden komponentene m? v?re like for at dette skal stemme, s? m? derfor summen av bevegelsesmengden til fotonene ogs? v?re 0:
\(\vec p_A^\gamma + \vec p_B^\gamma = 0 \implies \vec p_A^\gamma = -\vec p_B^\gamma\)
Som vi fant i \((3)\) s? har vi at \(E = p\). Dette betyr det samme som at energien til et foton er \(E^\gamma = ||\vec p^\gamma ||\). Hvor de doble strekene bare betyr at vi tar normen av en 4-vektor. Ser du ikke dette? La meg vise deg kjapt. Vi hadde fra \((1)\) og \((2)\) at:
\(P^\mu P_\mu = E^2 -p^2 = m^2 \implies E = \sqrt{p^2-m^2} = ||P^\mu P_\mu || = p\)
Great. S? da m? vell dette v?re sant:
\(E_A^\gamma = ||\vec p_A^\gamma|| = ||-\vec p_B^\gamma|| = ||\vec p_B^\gamma || = E_B^\gamma\) \((4)\)
hvor vi har fjernet minustegnet fordi n?r vi tar lengden s? blir alt kvadrert.
Energien til de to fotonene m? alts? v?re helt lik! Det er kanskje ikke s? rart, siden de begge har samme hastighet, bare i stikk motsatte retninger.
Men gjelder dette hvis fotonene ikke reiser langs \(x\)-aksen, men med en vinkel \(\theta\) i forhold til \(x\)-aksen?
Ja, heldigvis gj?r det det! Hvis det ene fotonet er emittert med en vinkel \(\theta\) i forhold til \(x\)-aksen, s? m? det andre fotonet bli emittert med en vinkel \(\theta + \pi\) i forhold til \(x\)-aksen. Energien til to fotoner er kun lik hvis de reiser i stikk motsatt retning, uansett hvilken vinkel de har i forhold til en akse. Som vi har nevnt, s? har vi antatt at alle fotonene som emitteres etter annihilasjonen har samme b?lgelengde og dermed samme energi. Dette m? jo da bety at for hvert foton som emitteres, s? m? det emitteres et annet foton i stikk motsatt retning, siden alle fotonene skal ha samme energi og vi viste i \((4)\) at dette gjelder for to fotoner med like stor og motsatt rettet bevegelsesmengde.
Hva med fotoner som emitteres i alle retninger?
I en reell annihilajson i naturen, slik som n?r et elektron og et positron kolliderer, s? blir det slengt ut fotoner i alle mulige retninger. Det samme vil skje med romksipet og antimaterie-romskipet utenfor Casjoh ogs?. Uansett hvilken retning et foton sendes ut fra, s? vil det v?re et foton som sendes ut i stikk motsatt retning, fordi momenergy m? v?re bevart. Fotoner emitteres alts? i par for at momenergy skal v?re bevart! Fotoner er derfor offer for tvangsekteskap og er aldri single and ready to mingle...
Hvilken farge er lyset vi ser?
Vi har filmet en video av hendelsen sett fra der vi sitter p? planeten. Men f?r vi ser p? den, s? skal vi se om vi kan regne oss frem til hvilken farge "foton-eksplosjonen" burde v?re! For ? finne b?lgelengden til ett foton, s? m? vi f?rst kunne si noe om energien. Som du har l?rt i fysikk 2, s? er energien til ett foton gitt ved:
\(E = hf = \frac{hc}{\lambda} \ \ \ \ \ \ \ ,f= \frac{c}{\lambda}\) \((5)\)
hvor \(c\) er lysfarten i m/s , \(\lambda\) er b?lgelengden i meter og \(h = 6.626 \cdot 10^{-34} \ \text{Js}\) er Plancks konstant. Her er \(f\) frekvensen til fotonet m?lt i Hz.
Siden vi har antatt at alle fotonene har samme b?lgelengde, s? m? de ogs? ha samme energi. Vi har m?lt med v?re instrumenter at vi har \(N = 6.04552 \cdot 10^{41}\) fotoner. Da er energien til ett foton gitt ved:
\(E^\gamma = \frac{E_\text{tot}}{N}\)
Vi setter inn dette i \((5)\) og finner b?lgelengden:
\(\lambda = \frac{hcN}{E_\text{tot}}\) \((6)\)
Da mangler vi den totale energien. Denne finner vi fra den f?rste komponenten i momenergy 4-vektoren for et foton, som er \(P_0 = \gamma m\). Uten ? g? for mye i detalj, s? kan vi rekkeutvikle dette uttrykket for \(v <<1\) (hastigheter mye lavere enn lysfart) og f? dette resultatet:
\(P_0 = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2\)
hvor det f?rste leddet \(mc^2\) er hvileenergien og det andre leddet et den kinetiske energien. Siden vi vet at energien er den samme f?r og etter annihilasjonen, s? kan vi regne ut totalenergien til romskip A og B f?r annihilasjonen. Massen til hver av romskipene er \(m = 10^6\) kg og hastigheten er \(v = 0.276761c\) for romskip A. Dermed er:
\(E_\text{tot} = 2\cdot (10^6 \ \text{kg} \cdot c^2 + \frac{1}{2} \cdot 10^6 \ \text{kg} \cdot(0.276761c)^2) \approx 1.8689 \cdot 10^{23} \ \text J\)
hvor \(c = 3\cdot 10^8 \ \text{m/s}\)
Da kan vi sette alt sammen og finne b?lgelengden:
\(\lambda = \frac{hcN}{E_\text{tot}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \ \text{Js} \ \cdot 3\cdot 10^8 \text{m/s} \ \cdot \ 6.04552 \cdot 10^{41}}{1.8689 \cdot 10^{23} \ \text J} \approx 6.430\cdot 10^{-7} \ \text{m} = 643 \ \text{nm}\)
Dette er en b?lgelengde som er i det synlige spekteret og tilsvarer r?dt lys! La oss se om dette stemmer:
Good job guys! Her ser vi en tydelig r?dfarge. Men hvilken farge ser den r?de observat?ren som f?lger etter romskip A?
Hvordan ser dette ut fra romskipsystemet?
Vi som sitter p? Casjoh og observerer ser alts? et r?dt lys fra annihilasjonen. Men vi sitter i ro i forhold til romskipene. Hvilket lys vil observat?ren som f?lger romskip A se? Spoiler alert: vil han se en annen farge?
For ? avklare, s? ser vi n? fortsatt kun p? fotoner som beveger seg i \(x\)-retning, og vi ser for oss at det kun emitteres to fotoner etter annihilasjonen. Disse m? da ha samme hastighet, men i stikk motsatte retninger. Vi minner ogs? om at fotonene har samme energi.
For ? rydde opp i alle disse sp?rsm?lene som henger i luften, s? m? vi regne litt og benytte oss av v?r gode gamle venn, Lorentzmatrisen. For ? finne ut hvilken farge det er p? lyset observat?ren bak A ser, s? m? vi vite energien til fotonene i dette referansesystemet. Siden vi vet hva \(E^\gamma\) er sett fra planeten, s? kan vi bruke Lorentztransformasjonen til ? finne energien sett fra den r?de observat?ren, \(E'^\gamma \):
\(\begin{pmatrix} E' \\ p_x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_\text{rel} & -\gamma_\text{rel} v_\text{rel} \\ -\gamma_\text{rel} v_\text{rel} & \gamma_\text{rel} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E \\ p_x \end{pmatrix} \) \((7)\)
(vi skriver bare \(E\) men mener energien til fotonet \(E^\gamma\))
Dette gir oss disse ligningene:
\(E' = \gamma_\text{rel} E - \gamma_\text{rel} v_\text{rel} p_x \\ p_x' = -\gamma_\text{rel} v_\text{rel} E + \gamma_\text{rel} p_x\)
Hvor den f?rste ligningen er den vi er ute etter. MEN! Her har vi antatt at positiv retning er langs den positive \(x\)-aksen. Derfor er ligningen for bevegelse i negativ \(x\)-retning:
\(E' = \gamma_\text{rel} E + \gamma_\text{rel} v_\text{rel} p_x\)
Vi kaller n? \(v_\text{rel}\) for \(v\) og \(\gamma_\text{rel}\) for \(\gamma\). Her setter vi ogs? inn resultatet fra \((3)\) om at \(E = p\). Da f?r vi for b?de negativ og positiv \(x\)-retning at energien til fotonet sett fra den r?de observat?ren er:
\(E' = \gamma E \pm \gamma v E = E\gamma (1 \pm v)\) \((8)\)
hvor + gjelder for fotoner med fart i negativ \(x\)-retning og - gjelder for fotonet med fart i positiv \(x\)-retning.
Relativistisk Dopplereffekt
N? er det p? tide ? utlede en formel for det relativistiske dopplerskiftet. Som du sikkert husker, s? er formelen for dopplerskift i klassisk fysikk gitt ved
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}\)
hvor \(\lambda\) er b?lgelengden sett fra planeten, \(\Delta \lambda = \lambda' -\lambda\) der \(\lambda '\) er b?lgelengden den r?de observat?ren m?ler, \(c\) er lysfarta og \(v\) er den relative hastigheten.
Men vi trenger en relativistisk formel for dopplerskiftet p? grunn av de h?ye hastighetene vi jobber med. Den vanlige formelen for dopplerskiftet tar ikke hensyn til relativistiske effekter som skjer i scenarioer med hastigheter opp mot lysfarten. Vi finner det relativistiske dopplerskiftet ved ? bruke uttrykket for den relativistiske energien til et foton (sett fra r?d observat?r) \(E'\). Vi har gjort beregningene bak kulissene, og du kan se p? dokumentet vi legger ved nederst i blogginnlegget hvis du er fryktelig interessert. Uansett, det relativistiske uttrykket for Dopplerskift er:
\(\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \left(\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}-1\right)\) \((9)\)
hvor st?rrelsene er de samme som i den vanlige formelen.
Denne formelen kan vi bruke til ? finne dopplerskiftet som b?lgelengden til fotonet er utsatt for n?r vi observerer fra romskipet som f?lger rett bak A. Den r?de observat?ren beveger seg mot lysstr?len, s? vi kan forvente at b?lgelengden blir kortere. Vi regner p? det:
\(\Delta \lambda = \lambda \left( \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}-1\right) = 643\cdot 10^{-9}\text{m} \cdot \left( \sqrt{\frac{1+0.276761c}{1-0.276761c}}-1\right) \approx 2.113\cdot 10^{-7} \ \text m \approx 211 \ \text {nm}\)
hvor \(c = 3\cdot 10^8 \ \text{m/s}\)
Dette vil si at b?lgelengden blir forskyvet med 211 nm sett fra r?d observat?r i forhold til b?lgelengden vi observerer fra planeten. B?lgelengden blir da:
\(\lambda ' = \lambda -\Delta \lambda = 643 \ \text{nm} - 211 \ \text{nm} = 429 \ \text{nm}\)
sett fra r?d observat?r. B?lgelengder fra 380 nm-450 nm er fiolett lys!
Vi vil alts? observere fotonene som r?dt lys fra her vi sitter p? planeten, mens observat?ren i det r?de romskipet som ligger rett bak A vil se fiolett lys!
S?nn ser det ut for r?d observat?r:
N? har vi lekt oss lenge med den spesielle relativitetsteorien, men er du klar for ? dykke ned i den generelle relativitetsteorien og blir enda mer mindblown? F?lg oss videre!
Detaljerte utregninger finner du her!