Situasjonen
Med ?rene s? svikter hukommelsen, og det respekterer vi. Vi tar derfor en kjapp rewind p? situasjonen:
Jeg er en skallobservat?r som sitter i en satellitt utenfor en planet som g?r i bane rundt et svart hull. Ellen, min modige kompanjong har ofret seg for fysikken og sitter i et romskip som er i fritt fall mot det svarte hullet. Siden vi er utsatt for et veldig sterkt gravitasjonsfelt, s? f?r noen kule relativistiske effekter som dere allerede kjenner til fra del 1. Vi sender lyssignal til hverandre og observerer hvordan fargene og tidsintervallene endres ettersom Ellen kommer n?rmere og n?rmere det svarte hullet. Det er en megaviktig presisjon her: til n? s? har vi antatt at lyshastigheten er uendelig, slik at vi har sett bort fra tiden lyset bruker p? ? reise fra Ellen til meg og motsatt. Tror du lyshastigheten vil p?virke observasjonene v?re? Ta noen minutter for ? gruble f?r vi fyker videre.
En liten p?minnelse:
Jeg (skallobservat?ren) befinner meg planetens referansesystem, og er \(1 \ \text{AU}\) unna det svarte hullet. Jeg sender ut r?de lyssignaler, sett fra planeten, med \(60.3394 \ \text s\) mellom hvert signal. Ellen er i romskipets referansesystem og har en hastighet \(v_\text{shell}=0.152c\) n?r hun passerer meg. Sett fra romskipet s? sender hun ut bl? lyssignaler med \(32.7669 \ \text s\) mellom hvert signal.
Omsider, la oss ?pne sceneteppet
Er ikke lysfarten invariant?
Vi har lenge presisert hvordan lysfarten er den samme i forskjellige referansesystemer. Men, i generell relativitet s? er ikke dette tilfellet! Som fysikere s? liker vi ligninger bedre enn lange setninger, s? la oss forklare dette med en ligning. Vi kjenner n? til Schwarzschild-geometrien og kan uttrykke bevegelsen til et foton ved denne ligningen:
\(\Delta r= \pm \left(1-\frac{2M}{r} \right) \sqrt{1- \left( 1-\frac{2M}{r} \right) \frac{(L/E)^2}{r^2}} \Delta t\) \((1)\)
hvor \((r,t)\) er posisjonen og tiden til fotonet m?lt av langt vekk observat?ren, \(M\) er massen til det svarte hullet, \(L\) er spinnet og \(E\) er relativistisk energi. Vi g?r ikke detalj i hvor denne ligningen kommer fra, men vi skal bruke den til ? finne et uttrykk for den radielle hastigheten \(v_r\) til et foton. Jeg og Ellen sender lyssignalene v?re radielt mot/fra det svarte hulet, slik at vi har ingen tangentiell bevegelse. Det vil si at \(\Delta \phi = 0\) og dermed har vi ingen spinn, \(L = 0\). Hvis vi tidsderiverer ligning \((1)\) f?r vi dette vakre uttrykket for den radielle farten til fotonet:
\(v_r = \frac{dr}{dt} = -\left(1 - \frac{2M}{r} \right)\) \((2)\)
hvor vi fortsatt har at \((r,t)\) er str?rrelsene langt vekk observat?ren m?ler og \(M\) er massen til det svarte hullet.
Ser du sammenhengen her? Lyshastigheten er ikke konstant, men avhenger av \(r\)! Dette er avstanden fotonet har til det svarte hullet, m?lt av langt vekk observat?ren. N?r \(r \rightarrow \infty\), s? vil \(\frac{2M}{r} \rightarrow 0\) og \(v_r \rightarrow 1\), som betyr at lyset beveger seg med lysfarten vi kjenner til (husk at \(c=1\) i naturlige enheter) n?r lyset er langt unna det svarte hullet. Men hva skjer n?r lyset n?rmer seg eventhorisonten? N?r \(r \rightarrow 2M\) s? ser vi at \(v_r \rightarrow 0\). Men hva betyr dette? Lysfarten langt vekk observat?ren observerer vil bli lavere n?r lyset n?rmer seg eventhorisonten, og v?re 0 p? eventhorisonten.
Du har sikkert h?rt hvordan lys ikke kan slippe ut av et svart hull p? grunn av det sterke gravitasjonsfeltet. Her har vi ligningen som forteller oss at n?r lyset er ved eventhorisonten, s? vil hastigheten til lyset v?re 0 m?lt av langt vekk observat?ren, slik at lyset aldri n?r frem til han. Klarer du ? forestille deg dette?
Siden vi er nysgjerrige: hvilken lysfart vil skallobservat?ren observere?
Skallobservat?ren m?ler farten til fotonet n?r det reiser forbi skallet hans. Siden dette er et veldig kort tidsintervall, s? kan vi gj?re en tiln?rming og si at han befinner seg i et lokalt inertialsystem og kan bruke Lorentzgeometri.
Denne observat?ren er da en lokal observat?r og vil m?le at lysfarten er \(c=1\), siden vi har flatt tidrom (Lorentzgeometri) som er det vi kjenner igjen fra den spesielle relativitetsteorien.
Vi grubler - hva vi tror vil skje?
N? som vi har ryddet opp i lysfart-kaoset, s? kan vi begynne ? gruble p? hva lysfarten vil ha ? si for observasjonene v?re i Del 1 av eksperimentet. Vi er ikke synske, men skal bruke teorien til ? resonnere oss frem til hva vi tror vil endre seg. Fra tidligere s? fant vi ut at jeg som skallobservat?r vil oppleve at det tar lengre og lengre tid mellom hvert lyssignal jeg mottar. For Ellen i det frittfallende romskipet skjer det motsatte - hun oppleve ta det tar mindre og mindre tid mellom hvert lyssignal jeg sender ut.
Hva vil skje med tidsintervallene Ellen m?ler?
Vi vet n? fra ligning \((2)\) at lyset vil bevege seg saktere og saktere n?r det n?rmer seg det svarte hullet, sett fra en langt vekk observat?r. I praksis s? vil dette bety at lyset bruker lengre og lengre tid p? ? n? frem til Ellen. I tillegg blir avstanden mellom oss st?rre og st?rre, slik at hver lyssignal m? reise en lengre strekning enn det forrige. Romskipet vil ogs? akselerere mot det svarte hullet, slik at romskipet reiser vekk fra lyset. Lyset m? alts? reise over en lengre og lengre strekning og i tillegg ta igjen romskipet som beveger seg fortere og fortere. Vi ser ogs? fra ligning \((2)\) at n?r romskipet n?rmer seg det svarte hullet, dess mindre blir lysfarten, slik at det bruker enda lengre tid. Siden Ellen observerte at tiden mellom hvert signal minket tidligere, s? tror vi n? at vi f?r en effekt som motvirker dette, slik at tidsintervallene ikke blir kortere og kortere, men enten forblir konstante eller st?rre.
Hva vil skje med tidsintervallene jeg i satellitten observerer?
Vi har de samme betingelsene for lyssignalet som skallobservat?ren mottar. Avstanden mellom meg og Ellen vokser, s? lyset m? reise en lengre strekning for ? n? frem til meg samtidig som Ellen beveger seg fortere og fortere vekk fra meg. Vi vet at med uendelig lysfart, s? vil tidsintervallene skallobservat?ren m?ler vokse. N?, s? vet vi at lysfarten blir mindre n?rmere det svarte hullet, slik at det bruker lengre tid. Vi tror derfor at tidsintervallene denne observat?ren m?ler vil bli enda st?rre for hvert signal n?r vi tar hensyn til lysfarten.
Eksperiment 2.0
N? er det nok synsing og grubling, vi kj?rer eksperimentet igjen!
F?rst analyserer vi planet-systemet:
Vi ser f?rst p? situasjonen fra satellitten i planetens referansesystem. Her sitter jeg med en varm kopp kakao i h?nden og noterer ned tidspunktene jeg observerer lyssignal fra Ellen som forsvinner inn i det ukjente. Akkurat som vi antok, s? ser jeg at tidsintervallene er st?rre n? som vi tar hensyn til lysfarta. En annen forskjell er at n? mottar jeg bare 28 lyssignaler istedet for 31. I eksperimentet uten lysfart, s? mottok jeg det siste (nr. 31) signalet ved \(t = 1584.43 \ \text s\), mens n?r mottar jeg det siste (nr. 29) signalet ved \(t = 1734.53 \ \text s\). Dett er fordi lyset bruker lengre og lengre tid fordi avstanden blir st?rre, i tillegg til at lysfarta minker, slik at jeg mottar f?rre lyssignaler over samme tidsperiode. Fargene p? lysene er de samme som f?r ut fra det jeg klarte ? se.
Siden jeg har notert ned alle tidspunktene for hvert lyssignal, s? kan jeg regne ut tidsintervallene mellom hvert signal. Her har jeg laget et plott som viser hvordan tidsintervallet mellom hvert lyssignal endrer seg over tid med uendelig lysfart og med den faktiske lysfarta.
Vi ser fra Figur 2 at den tidsintervallene hvor vi har tatt hensyn til lysfarta, er mye st?rre enn tidsintervallene som ble m?lt n?r vi ikke tok hensyn til tiden lyset bruker p? ? n? frem. Dette stemmer med at vi m? ta hensyn til tiden det tar for lyset ? n? frem i tillegg til tidsdilatasjonen vi p?pekte i del 1. I begynnelsen s? ?ker tiden mellom hvert lyssignal noks? likt, men n?r Ellen kommer n?rmere og n?rmere eventhorisonten s? blir lysfarta mindre og tidsintervallene vokser raskere og raskere. Kurven med faktisk lysfart er mye brattere mot slutten enn kurven med uendelig h?y lysfart. Dette plottet viser veldig godt hvor mye tiden lyset bruker p? ? n? frem, har ? si, og stemmer veldig godt overens med det vi forventet.
Vi kiker p? romskip-systemet:
Jeg har mottatt en beskjed fra Ellen hvor hun forteller hvordan hun opplever tidsintervallene mellom hvert lyssignal hun mottar. Uten lysfarta s? husker vi at tiden mellom hvert lyssignal Ellen mottok fra meg ble kortere og kortere, men n? forteller hun at det er totalt motsatt! Tidsintervallene blir s? store at hun bare registrerer 11 lyssignal, ikke 29 som hun gjorde n?r vi s? bort fra lysfarta, over det samme tidsintervallet! Dette er fordi lyset beveger seg saktere n?rme et svart hull og vi m? tenke p? tiden det tar for lyset ? komme frem. Vi foruts? at tidsintervallene blir omtrent konstante eller kanskje lengre, men vi ser her at tidsintervallene blir veldig mye lengre enn vi antok.
I Figur 3 s? ser vi tydelig forskjellen! Den rosa linja (uten lysfart) minker mens den lilla (med lysfart) ?ker! Dette er en samlet effekt som kommer av at vi tar med tiden det tar for lyset ? n? frem, den ?kende avstanden mellom observat?rene og tidsdilatasjonen fra del 1. Resultatet er dermed at tiden mellom hvert lyssignal Ellen observerer blir lengre og lengre, i stedet for kortere og kortere.
What's the moral of the story?
N? har vi sett p? hva som skjer med tiden og lyset n?rme et svart hull. Vi har brukt teori og sammenhenger fra den generelle relativitetsteorien til ? finne et uttrykk for lysfarten til et foton som sendes radielt mot et svart hull, m?lt av en langt vekk observat?r. Det er p? grunn av Schwarzschild-geometrien, alts? krumt tidrom, at vi f?r slike fascinerende relativistiske effekter. Til mange sin overraskelse s? har vi n? (forh?pentligvis) klart ? overtale deg og at lysfarten kun er invariant for observat?rer som befinner seg i lokale inertialsystemer.
Vi har visualisert denne effekten ved ? se p? lyssignaler som sendes mellom et romskip i fritt fall mot et svart hull, og en satellitt som g?r i bane rundt det svarte hullet. Vi har analysert tidsintervallene mellom lyssignalene som sendes ut fra skallobservat?ren og den frittfallende observat?ren. I del 1 av eksperimentet s? antok vi at lyshastigheten er uendelig, slik at vi ser bort fra lysfarten. Men siden dette er et h?yst urealistisk (og bryter med fysikkens lover), s? har vi sett p? hvordan resultatene endres n?r vi tar hensyn til lysfarten. Ikke bare m? vi tenke p? tiden lyset bruker p? ? n? frem til oss, men ogs? at lysfarten endres n?rme det svarte hullet. I retrospekt s? har vi n? l?rt at lys som beveger seg ut av et sterkt gravitasjonsfelt blir r?dforskyvd, mens lys som beveger seg inn i gravitasjonsfeltet blir bl?forskyvd. Vi har ogs? snakket om hvordan en observat?r langt vekk ser at romskipet faller saktere og saktere mot det svarte hullet og stopper ved eventhorisonten, fordi sett utenfra s? g?r tiden uendelig sakte ved eventhorisonten.
Hvordan ser det ut ? falle ned i et svart hull?
Hvis du er like interessert i svarte hull som oss, ta en titt p? denne videoen NASA har laget ved hjelp av en supercomputer:
Hentet fra NASA Goddard.
Her ser vi en simulasjon av hvordan det kan se ut ? falle ned i et svart hull. Kult, ikke sant?