Slukt av et svart hull?

Situasjonen

V?r gode venn Joe er p? vei til ? utf?re en spennende oppdagelsesreise i kosmos, men rett etter launchen s? mister han all motorkraft, slik at han er i fritt fall. Vil de enorme kreftene fra det svarte hullet sluke han?

Det svarte hullet har masse \(M\) og radius \(r = 2M\), ogs? kjent som Schwarzschildradien. Joe launcher raketten sitt \(r = 20M\) fra sentrum av det svarte hullet.  Her kan du se for deg et skall rundt det svarte hullet med radius \(20M\). Joe launcher med en vinkel \(\theta = 167^\circ\) i forhold til retningsvektoren som peker radielt ut fra det svarte hullet og hastighetsvektoren. Hastigheten hans er \(v_\text{shell} = 0.993\), som er hastigheten en skallobservat?r p? skallet rundt det svarte hullet m?ler. Vi har laget en figur til deg s? du kan f? litt oversikt:

Naturligvis s? blir Joe megastressa og pr?ver ? finne ut om han klarer ? komme seg unna det svarte hullet, eller om skjebnen hans ligger i ? bli spaghettifisert (vi kommer inn p? dette i detalj senere). Her trenger vi en god del fysikk og rolige nerver.

Worst case scenario

Det er ulike scenarioer for hva som vil skje med Joe n?r han er i fritt fall mot et svart hull. Det er forskjellige kriterier som m? oppfylles for hvert av disse scenarioene. Worst case scenario er selvf?lgelig at Joe blir slukt av det svarte hullet, men han kan ogs? komme seg unna. Men hva er det som bestemmer om han kommer seg unna eller ikke? 

For at Joe skal kunne unnslippe det svarte hullet, s? m? han v?re utenfor en avstand \(r_\text{crit}\) fra det svarte hullet. det som bestemmer avstanden \(r\) har til det svarte hullet er energien hans! Som vi har snakket om tidligere, s? snakker vi ofte om energi per masse i relativitetsteori. Det er denne st?rrelsen som bestemmer om Joe vil falle ned i det svarte hullet eller ikke. Hvis raketten har \(\frac{E}{m} >\frac{E_\text{crit}}{m}\) s? vil den komme for n?rme det svarte hullet (\(r<r_\text{crit}\)) slik Joe blir slukt av det svarte hullet uansett hva. Men hva skjer med Joe i den andre tilfellene?

Her snakker vi potensiale (bokstavelig talt)

Som du kanskje kjenner til fra klassisk mekanikk, s? kan vi sette opp en potensialkurve for et system og se p? hvordan et objekt vil bevege seg. For ? forklare dette p? en enkel m?te s? kan vi se p? en kloss som sklir end et skr?plan uten friksjon. Denne klossen har energi \(\frac{E}{m}\). Energien til denne klossen vet vi er \(\frac{E}{m} = \frac{1}{2}v^2 +gh(x) = \frac{1}{2}v^2 + V(x)\) (hvor vi har delt p? massen). Hvis vi tegner opp potensialet \(V(x)\), s? kan vi se p? bevegelsen til klossen ut fra energien dens.

Vi ser her at n?r \(\frac{E}{m} >0\) s? vil klossen fortsette bortover i evigheten, men n?r \(\frac{E}{m} <0\) s? vil den bevege seg frem og tilbake i "gropen". En viktig presisering her er at vi ser p? legemer i fritt fall, det vil si at det ikke er noen eksterne krefter som virker. Det er akkurat det samme vi skal se p? n?, men vi skal tegne opp gravitasjonspotensialet for et svart hull. Det ser slik ut:

Vi ser fra Figur 3 at denne kurven ser veldig annerledes ut enn kurven i Figur 2. Blant annet s? ser vi at n?r \(r \rightarrow \infty\), s? er \(V_\text{eff}(r) = 1\), mens for klossen p? skr?planet s? er \(V_\text{eff} = 0\) n?r vi er uendelig langt borte. Dette kommer av at vi i klassisk mekanikk ikke tar hensyn til hvileenergien til objektet, nemlig \(E = mc^2\). Siden vi har naturlige enheter slik at \(c=1\), s? er \(\frac{E}{m}=1\) i det relativistiske tilfellet. Vi ser at det er forholdet \(\frac{E}{m}\) som bestemmer om vi blir slukt av det svarte hullet eller ikke, siden denne st?rrelsen bestemmer hvor p? kurven vi ender opp. 

Hva kan skje med Joe?

Vi ser at ved \(r = r_\text{crit}\) s? har vi et toppunkt, og etter dette punktet s? g?r kurven bratt nedover mot \(r=0\) (til venstre for toppen). Hvis objektet har \(\frac{E}{m} > \frac{E_\text{crit}}{m}\), s? ser vi at det objektet vil bli slukt av det svarte hullet! Vi ser ogs? at objekter som har \(\frac{E}{m} > 1\) kan bli slukt ogs? hvis de har nok energi til ? komme seg over toppunktet. Hvis Joe har energi som er st?rre enn den kritiske energien, s? vil han komme for n?rme det svarte hullet, slik at \(r<r_\text{crit}\) og da er det ingen vei tilbake. Fra kurven s? ser vi at han vil falle bratt nedover helt til han har 0 potensiell energi. 

P? den andre siden, hvis \(\frac{E}{m} <1\), s? vil vi oscillere frem og tilbake i "gropen" av kurven. I praksis s? betyr dette at vi har en bunden bane rundt det svarte hullet, eller mer spesifikt en ellipsebane. Husk at dette gjelder for objekter i fritt fall, slik som Joe i raketten (han har ingen motorkraft). Det vil si at hvis han har \(\frac{E}{m}<1\), s? vil han g? i en ellipsebane rundt det svarte hullet frem til han f?r fikset motoren sin og komt seg p? trygg avstand. Hvis \(1<\frac{E}{m}<\frac{E_\text{crit}}{m}\), s? ser vi at objektet har nok energi til ? ikke bli fanget i bane rundt det svarte hullet, men ikke nok energi til ? bli slukt heller. Dette h?res ut som det beste alternativet, sp?r du oss. Vi vil definitiv ikke at Joe skal bli slukt, men det er ikke s? bra om han blir stuck i bane rundt det svarte hullet heller hvis han ikke f?r fiksa motoren sin. Det ideelle hadde v?rt om han hadde akkurat nok energi til ? komme seg uendelig langt unna.

Men, hva i alle dager skjer om Joe har \(\frac{E}{m} = \frac{E_\text{crit}}{m}\)? Jo, da vil han f?rst ta noen f? runder rundt det svarte hullet med \(r = r_\text{crit}\). I dette tilfellet s? vi sm? tilfeldigheter f?re til at han enten blir slukt av det svarte hullet, eller kommer seg vekk. For ? koble dette sammen med Figur 3, s? ser vi at hvis \(\frac{E}{m} = \frac{E_\text{crit}}{m}\), s? er vi ved \(r = r_\text{crit}\), slik at vi er p? toppunktet av grafen. Dette er et ustabilt likevektspunkt, og objektet kan enten falle ned i det svarte hullet (til venstre for toppunktet) eller forsvinne ut i uendeligheten (til h?yre for toppunktet). 

Dette ble mye p? en gang, s? vi slenger det viktigste inn i en s?t tabell:

For ? finne ut om Joe klarer ? unnslippe det svarte hullet, s? m? vi alts? finne ut hva Joe sin energien per masse er! Og det kvikt! 

Vi avdekker Joes skjebne

N? har vi lagt en slagplan: Vi m? finne ut hvordan potensialkurven til Joe og raketten ser ut og s? m? vi finne ut hva energien hans per masse er. Vi har regnet p? energi per masse f?r, s? vi vet heldigvis hva vi skal gj?re. Vi vet at denne st?rrelsen er konstant, s? det er nok ? regne den ut ¨¦n gang. Vi kjenner til hastigheten \(v_\text{shell}\) til raketten m?lt av skallobservat?ren. Derfor kan vi regne ut \(\frac{E}{m}\) i det ?yeblikket Joe passerer skallet, siden vi da kjenner til farten. Vi har gjort litt regninger bak kulissene, og kommet frem til dette uttrykket for energi per masse for raketten, uttrykt med farten skallobservat?ren m?ler:

\(\frac{E}{m} = \sqrt{1-\frac{2M}{R}} \gamma_\text{shell}\)     \((1)\)

hvor \(m\) er massen til raketten, \(M\) er massen til det svarte hullet, \(R = 20 M\) er radien til skallet raketten launcher fra og \(\gamma_\text{shell} = \frac{1}{\sqrt{1- v_\text{shell}^2}}\), hvor \(v_\text{shell} = 0.993\). Vi kjenner ikke massen til det svarte hullet, men heldigvis s? blir den str?ket. Vi regner ut:

\(\frac{E}{m} = \sqrt{1-\frac{2M}{20M}} \frac{1}{\sqrt{1-0.993^2}} \approx 8.03\)

(For spesielt interesserte, s? kan dere finne detaljerte utregninger og utledninger av formler her).

Vi haster videre og finner potensialkurven til raketten

Potensialkurven til Joe og raketten

N? som vi kjenner \(\frac{E}{m}\), s? kan vi finne et uttrykk for potensialkurven til raketten. Denne ligningen kjenner vi til, men jeg skal ikke utlede den her (bare stol p? oss at dette stemmer). Det effektive potensialet for raketten er gitt ved

\(V_\text{eff} ( r) = \sqrt{\left( 1- \frac{2M}{r} \right) \left[ 1 + \frac{(L/m)^2}{r^2} \right]}\)     \((2)\)

hvor \(r\) er avstanden til det svarte hullet. Vent en halv! Her dukket det opp en ny st?rrelse, nemlig spinn per masse! Som vi vet s? har raketten en radiell og en tangentiell hastighetskomponent, og dermed har vi spinn. F?r vi kan bestemme potensialet, s? m? vi derfor regne ut \(\frac{L}{m}\). Hvis du lurer p? hvordan vi kommer frem til dette, s? kan du lese dette dokumentet. Uansett, her er formelen:

\(\frac{L}{m} = R\gamma_\text{shell} v_\text{shell} \sin \theta\)     \((3)\)

hvor \(R = 20 M\) er radien til skallet rundt det svarte hullet og \(v_\text{shell}\) er farten skallobservat?ren m?ler at raketten har n?r Joe passerer skallet. Siden vi ikke kjenner massen \(M\) til det svarte hullet, s? regner vi ut alle st?rrelser med ? dele p? \(M\).

\(\frac{L}{m} = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-0.993^2}} \cdot 0.993 \cdot \sin 167^\circ \approx 37.824\)

Da har vi alle st?rrelsene vi trenger for ? finne rakettens potensial. Vi lager et plott slik at vi kan se hvordan det ser ut:

Det store sp?rsm?let: hva vil skje med Joe?

Vi ser at denne potensialkurven ogs? har en markant topp, slik som kurven i Figur 3. Vi ser fra den stiplede linjen og den r?de prikken at rakettens energi er \(\frac{E}{m} > \frac{E_\text{crit}}{m}\). Oh no! Det betyr at Joe kommer til ? bli slukt av det svarte hullet! Vi kjenner igjen dette tilfellet fra Figur 4. Det er alts? ingenting vi kan gj?re for ? hjelpe Joe. Meeeen, vi er nysgjerrige. Hva vil skje med han n?r han passerer eventhorisonten?

Singulariteten - hvor fysikken ikke strekker til

Hva er egentlig innenfor eventhorisonten? Hva skjer n?r man faller inn i et svart hull?

Du vet nok sikkert at gravitasjonen er s? sterk n?r vi passerer Schwarzschildradien (eventhorisonten), at ikke engang lys kan unnslippe det sterke gravitasjonsfeltet. I midten av et svart hull s? er det en singularitet. Dette er et punkt i sentrum av det svarte hullet hvor gravitasjonen s? sterk at all massen kollapser til ett lite punkt. Det vil alts? si at vi har uendelig mye masse og uendelig h?y massetetthet i dette punktet. Her kan ikke de fysiske lovene vi kjenner til beskrive hva som skjer. N?r du faller med f?ttene f?rst ned i et svart hull, s? vil f?ttene dine oppleve en sterkere gravitasjonskraft enn hodet ditt (vi kan ikke egentlig snakke om krefter i relativitetsteori, men det gj?r det lettere ? visualisere). Dette er p? grunn av den enorme krumningen av tidrommet inni et svart hull. Dette f?rer til at f?ttene dine faller raskere mot singulariteten enn hodet dit, og du blir spaghettifisert (jepp, det er faktisk det det heter). Denne effekten blir bare st?rre og st?rre dess n?rmere du kommer singulariteten, og er dessverre ikke til ? overleve. Men hvor lang tid tar denne prosessen?

I Figur 8 og Figur 9 s? han vi pr?vd ? illustrere hva som skjer med den n?r du faller ned i gravitasjonsbr?nnen til et svart hull. Kroppen din vil bli strekt ut, fordi det virker en sterkere gravitasjon p? f?ttene enn hodet ditt. Vi har illustrert dette her med krefter, selv om det ikke egentlig er krefter, men en krumning av tidrommet. Men, siden krumt tidrom ikke er s? lett ? tegne, s? gj?r disse tegningene susen.

En tid for refleksjon

Siden Joe vet hva som venter han, s? kan det v?re greit ? vite hvor lang tid han har p? ? reflektere over livets store ?yeblikker, f?r han n?r frem til singulariteten som en spaghetti. For ? finne ut hvor lang tid det tar ? n? frem til singulariteten, s? finner vi egentiden til Joe, \(\tau\). Igjen s? har vi spart dere for regningen, og vi bare slenger med resultatet. Vi har her antatt at massen til det svarte hullet er det samme som massen til det svarte hullet i sentrum av Melkeveien, alts? \(\text M \approx 4\cdot 10^6 \text M_\odot\). Da kom vi frem til at det tar \(\tau \approx 4.78 \) sekunder fra Joe passerer Schwarzschildradien ved \(r=2M\) og til han n?r frem til singulariteten i sentrum av det svarte hullet, m?lt av hans egen klokke. I l?pet av denne tiden vil han bli strukket og torturert, s? det har kanskje ikke s? mye ? si at han bare har 4 sekunder p? ? reflektere over livet sitt. 

What's the moral of the story?

I denne spennende (men ogs? triste) hendelsen s? skulle Joe p? en oppdagelsestur, men lykken snudde helt i det han mistet all motorkraft etter launch. Han befant seg da i fritt fall mot et svart hull, og vi gjorde alt vi kunne for ? hjelpe han ved ? regne ut om han kom til ? bli slukt av det svarte hullet eller ikke. Vi kom dessverre frem til at det var ingenting som kunne redde han, s? da brukte vi heller kreftene p? ? finne ut hva som skjer med han p? vei inn mot singulariteten i sentrum av det svarte hullet. Dette var ikke s? veldig gode nyheter for Joe, s? vi valgte ? pynte litt p? sannheten med ? si at han er en av de heldige f? som f?r oppleve hendelsene Interstellar med sine egne ?yne. F? strakser senere s? ble han spaghettifisert og svarte hull forblir dermed et like stort mysterium som f?r for oss heldige jordboere som ikke faller fritt rett ned i sluket av et svart hull.

En siste appell

N? er relativitetsmoroa over for denne gang, og vi tar en velfortjent juleferie. Vi h?per at du n? er rustet med nok kunnskap til ? vite hva du skal gj?re om du finner deg selv i fritt fall mot et svart hull, eller om tvillingen til skal p? en utenomjordisk reise. Uansett, s? h?per vi du er litt klokere og kan skryte av din kunnskap om svarte hull og rakketlandinger. God jul!