En modell av atmosf?ren

Hva sa du n??

h?rer vi deg si. Hva hadde du gjort om du skulle lande p? en ny og ukjent planet? Jo, det er kanskje greit ? vite hva atmosf?ren best?r av slik at vi vet hva vi har i vente.

N?r vi sier at vi skal modellere atmosf?ren, s? mener vi at vi skal bestemme planetens tetthetsprofil og temperaturprofil. Med "profil" s? mener vi egentlig bare en funksjon som tar inn h?yden over overflaten som en parameter, og s? spytter profilen ut hva tettheten og temperaturen er ved denne h?yden. Du kan tenke p? disse profilene som kontinuerlige funksjoner som f?lger oss h?yere og h?yere opp i atmosf?ren, og som viser hva temperaturen og tettheten er. 

Atmosf?ren er enkel:

Eller, vi bestemmer at den er det. Vi skal basere modellen v?r p? en lang liste med forenklinger og antagelser:

• atmosf?ren er uniform, som vil si at alle gasser er likt fordelt overalt. Vi antar ogs? at det er like mye av alle gassene overalt ogs?. Alts? har vi for eksempel 25% oksygen ved bakkeniv? og 10 km over bakken. 
• vi ser p? atmosf?ren som en kule med sf?risk symmetri, det vil si at tettheten er kun avhengig av avstanden fra planetens sentrum (radien), \(\rho = \rho (r)\). Med andre ord s? betyr dette at atmosf?ren kun varierer med h?yden over overflaten. I praksis s? betyr dette at vi ser bort fra v?r og vind.
• atmosf?ren er i hydrostatisk likevekt, som betyr at den er konstant. Det er to krefter som virker p? gassmolekylene i atmosf?ren: tyngdekraft og trykkraft, og disse er like store og balanserer hverandre ut. Tyngdekraften trekker molekylene nedover. Trykket er st?rst ved bakkeniv? fordi luften over oss presses nedover (og lengre nede har vi "mer luft" over oss enn lengre oppe). 
• vi antar at atmosf?ren er en ideell gass. En ideell gass er som det h?res ut - den er "perfekt". Alle molekylene i gassen oppf?rer seg likt. Da ser vi p? gassmolekylene som punktpartikler (uten volum) som ikke p?virker hverandre med krefter. N?r partiklene kr?sjer, s? er st?ten elastiske i en ideell gass, som betyr at all energi er bevart og at partiklene ikke henger sammen etter st?tet. Bedre enn dette blir det alts? ikke. 
• vi antar at atmosf?ren er adiabatisk opp til en bestemt h?yde over overflaten, og isoterm etter dette punktet. At atmosf?ren er adiabatisk betyr at det ikke er noe varmeutveksling mellom lufta og omgivelsene. Med andre ord s? kan gassen endre temperatur uten ? miste eller f? energi. Gassen endrer temperatur ved ? bevege seg opp eller ned i atmosf?ren, og temperaturendringene skjer da p? grunn av endringer i trykk og volum. Atmosf?ren er adiabatisk opp til h?yden hvor overflatetemperaturen halveres: \(T = \frac{T_0}{2}\), hvor \(T_0 = 275 \ \text K\)  (dette har vi regnet ut tidligere) er overflatetemperaturen og at den er adiabatisk med adiabatisk eksponent \(\gamma = 1.4\). At atmosf?ren er isoterm betyr at temperaturen er konstant uansett h?yden over overflaten ("iso" = "lik"). Det betyr at n?r vi n?r punktet hvor overflatetemperatuen halveres, s? er temperaturen den samme overalt i atmosf?ren etter denne h?yden. Da beveger gassmolekylene seg med konstant hastighet
• til slutt antar vi at tyngdeakselerasjonen er konstant. Dette er en forenkling, siden vi vet jo at tyngdeakselerasjonen egentlig avtar med avstanden til overflaten. Vi kan anta dette fordi tykkelsen av atmosf?ren er mye mindre enn radiusen til Casjoh. 

Lynkurs i atmosf?reteori 

N? som vi har premissene i boks og vet hva vi skal forholde oss til, s? kan vi endelig modellere atmosf?ren rundt Casjoh. Siden vi har delt atmosf?ren inn i to soner: adiabatisk sone og isoterm sone, s? skal vi lage en modell for hver av disse sonene.

Men, som de fleste vet, s? m? man lese bruksanvisningen f?r man bygger lego (her m? vi i hvertfall det). Vi m? derfor gjennom litt teori f?r vi kan lage modellene v?re. La oss f?rst sammenfatte det vi vet ut fra antagelsene:

Konstant tyngdeakselerasjon:

Vi har antatt at tyngdeakselerasjonen er den samme overalt og at vi har atmosf?ren er sf?risk symmetrisk. Derfor kan vi skrive at 

\(g(r) = \text g \ \ (\text{konstant})\)     \((2)\)

 Ved overflaten p? Casjoh s? har vi en tyngdeakselerasjon p? \(4.938\ \text m /\text s^2\) og 100 km over overflaten har vi en tyngdeakselerasjon p? \(4.681 \ \text m / \text s^2\) (denne er betraktelig mindre enn jordas, men vi m? huske p? at Casjoh har en radius p? 3689 km og jorda har en radius p? 6478 km). Derfor er dette en rimelig antagelse.

Hydrostatisk likevekt:

Videre s? har vi hydrostatisk likevekt i atmosf?ren. Hvis vi tenker oss at vi har en sylinderformet pakke med luft, s? er det to krefter som virker p? denne pakken: kraft fra trykkforskjellen og gravitasjonskraften. Siden trykket varierer med h?yden, s? er trykket p? toppen og bunnen av pakken ulikt. Hvis vi sier at trykket p? bunn er \(P\) og trykket p? toppen er \(P + dP\), s? er kraften fra trykket gitt ved \(F = P\cdot A\):

\(F_P = P\cdot A - (P +dP)\cdot A = -A\cdot dP\)

hvor \(dP\) er en liten endring i trykket p? grunn av h?ydeforskjellen, \(A\) er tverrsnittarealet og minustegnet kommer fra at trykket p? hver side av pakken virker i motsatt retning. 

Flott! Da mangler vi gravitasjonskraften. Massen til sylinderen er gitt ved 

\(m = \rho (r) \cdot A \cdot dr\)

hvor \(\rho (r)\) er massetettheten, \(A\) er tverrsnittarealet og \(dr\) er h?yden i sylinderen. Gravitasjonskraften virker nedover (positiv retning er definert nedover):
\(F_g = m\cdot g = \rho (r) \cdot A \cdot dr \cdot g\)

Siden vi har hydrostatisk likevekt, s? er \(F_P + F_g = 0\). Etter litt omrokkering s? f?r vi denne sammenhengen:

\(\frac{dP}{dr} = -\rho(r)g\)    \((3)\)

Ideell gasslov:

Videre s? har vi ogs? antatt at atmosf?ren er en ideell gass. Denne har vi bablet om tidligere, s? derfor minner vi deg bare p? at trykket kan uttrykkes slik:

\(P = nkT\)

hvor \(k\) er Boltzmanns konstant, \(n\) er antall partikler per volum og \(T\) er temperatur i Kelvin. Vi skal modifisere denne til ? inkludere den midlere molekylmassen (som vi fant i forrige innlegg):

\(P = \frac{\rho k T}{\mu m_\text H}\)     \((4)\)

hvor \(\rho\) er tettheten, \(\mu\) er den midlere molekylvekten og \(m_\text H\) er massen til hydrogenatomet. 

Adiabatiske og isoterme gasser:

For adiabatiske gasser, s? vet vi at den kan endre temperatur uten ? miste eller f? energi fra omgivelsene. Derfor har vi denne sammenhengen:

\(p^{1-\gamma}T^\gamma = konstant\)      \((5)\)

For den isoterme sonen av atmosf?ren er temperaturen konstant lik \(T = \frac{T_0}{2}\), hvor \(T_0\) er overflatetemperaturen. 

Isoterm modell

N? kan vi endelig begynne ? modellere! Men hvordan i huleste skal gi gj?re det? Jo, det vi vil f? til n? er ? finne uttrykk for temperatur, tetthet og trykk i de to sonene av atmosf?ren. Vi starter med det letteste f?rst: den isoterme modellen. Siden temperaturen er konstant her, s? blir regningen mye mindre grisete. 

Vi har allerede et uttrykk for temperaturen i den isoterme sonen. Denne er bare konstant lik \(\frac{T_0}{2}\). Dermed har vi at :

\(T_\text{isoterm} = \frac{T_0}{2}\)   \((6)\)

Vi ser fra ligning \((4)\) at trykket avhenger av tettheten. Derfor finner vi tettheten f?rst fra ligning \((3)\). Det f?rste vi gj?r er ? sette ligningen for trykket inn i (ligning \((4)\)) inn i ligningen for tettheten (ligning \((3)\)). Da m? vi f?rst derivere uttrykket for trykket:

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P(r) = \rho (r)\frac{kT}{\mu m_\text H} \\ \implies \frac{dP(r)}{dr} = \frac{d\rho (r)}{dr} \cdot \frac{kT}{\mu m_\text H}\)

Trykket avhenger kun av avstanden \(r\), s? det er denne vi deriverer med hensyn p?. Temperaturen er som vi har sagt konstant i isoterme gasser. Vi kjenner igjen venstresiden  i den siste ligningen som ligning \((3)\). Vi setter inn dette og f?r:
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ -\rho(r) g = \frac{d\rho (r)}{dr}\cdot \frac{kT}{\mu m_\text H} \\ \implies -\rho (r) = \frac{d\rho (r)}{dr} \cdot \frac{kT}{\mu m_\text H g}\)

For ? slippe ? holde kontroll p? s? mange konstanter, s? skriver definerer vi \(K = \frac{kT}{\mu m_\text H}\) og snur litt om p? ligningen. Da f?r vi dette nydelige uttrykket:

\(\rho (r) = -K \frac{d\rho (r)}{dr}\)

Dette er en enkel diffligning som vi kan l?se med enkle kalkuluskunnskaper:

\(K \frac{d\rho (r)}{dr} = -\rho (r) \\ \frac{d\rho (r)}{\rho (r)} = -\frac{dr}{K}\\ \int \frac{d\rho (r)}{\rho ( r)} = -\int \frac{dr}{K} \\ \ln (\rho(r)) = -\frac{r}{K} + C_1 \\ e^{\ln(\rho(r))} = e^{-\frac{r}{K}}e^{C_1}\\ \rho(r) = C_0e^{-\frac{r}{K}}\)

hvor \(C_0 = e^{C_1}\) er integrasjonskonstanten. Vi kan sette inn \(K = \frac{kT}{\mu m_\text H}\) og finne uttrykket for tettheten:

\(\rho_\text{isoterm} (r) = C_0e^{-\frac{r\mu m_\text H}{kT}}\)    \((7)\)

Vi klarer ikke ? bestemme verdien til \(C_0\) enda, fordi vi ikke har tilstrekkelig med informasjon. Vi vet ikke hva tettheten er ved h?yden hvor den isoterme modellen tar over (men ta det rolig, vi kommer tilbake til den!).

Da kan vi komme frem til uttrykket for trykket i isoterme gasser. Ta det rolig, her har vi alt vi trenger. Vi m? bare sette uttrykket for tettheten \((6)\) inn i uttrykket vi allerede har for trykket \((4)\). Da f?r vi noe s?nt:

\(P_\text{isoterm} =\frac{\rho_\text{isoterm} k T}{\mu m_\text H} = C_0e^{-\frac{r\mu m_\text H g}{kT}} \cdot \frac{kT}{\mu m_\text H}\)    \((8)\)

Halleluja! N? har vi en modell som beskriver temperatur, tetthet og trykk i den isoterme delen av atmosf?ren. N? som vi har f?tt en smakebit, s? g?r vi over til den store utfordringen - ? finne den adiabatiske modellen.

Adiabatisk modell

N? har vi snart alt klart! Men her blir det mer grisete... I den adiabatiske modellen er alle tre faktorene vi er interessert i (temperatur, trykk og tetthet) avhengige av \(r\)! Derfor har vi gjort dere en tjeneste og gjort utledningene av uttrykkene bak kulissene. Vi ramser dem opp for dere:

\(P_\text{adiabatisk} (r) =\left[\left(\frac{\mu m_\text H gr}{k A^{\frac{1}{\gamma}}} + C \right) \frac{1 - \gamma}{\gamma}\right]^{\frac{\gamma}{\gamma -1} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)\\ T_\text{adiabtaisk}(r) = A^{\frac{1}{\gamma}} \left[ \left( \frac{\mu m_\text H gr}{k A^{\frac{1}{\gamma}}} + C \right) \frac{1 - \gamma}{\gamma} \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\\ \rho_\text{adiabatisk}(r) =A^{-\frac{1}{\gamma}}\left[ \left( \frac{\mu m_\text H gr}{k A^{\frac{1}{\gamma}}} + C \right) \frac{1- \gamma}{\gamma} \right]^{\frac{1}{\gamma -1}} \cdot \frac{\mu m_\text H}{k} \ \ \ \ (11)\)

hvor de to konstantene \(A\) og \(C\) er gitt ved:

\( C = \left( \frac{kT_0 \rho_0 }{\mu m_\text H} \right) ^{\frac{\gamma -1}{\gamma}} \left(\frac{\gamma}{1-\gamma}\right) \\ A = T_0 \left( \frac{\rho_0 k}{\mu m_\text H} \right)^{1-\gamma} \)

hvor \(\gamma = 1.4\)

Hvis du er veldig interessert, s? kan du se alle utledningene vi gjorde for ? komme frem til uttrykkene her. 

N? har vi ogs? funnet konstanten \(C_0\) for den isoterme modellen. Denne fant vi ved ? sette tetthetene til de to modellene lik hverandre i den h?yden hvor vi bytter modell. Detaljene ligger i pdf dokumentet. Uansett, her er \(C_0\):

\(C_0 = \rho_\text{adiabatisk}(h) e^{\frac{hg}{K}}\)

Vi har skrevet alle disse ligningene inn i Python og modellert atmosf?ren. N?r kommer den spennende biten, resultatene!

Atmosf?ren i sin enkleste form

Vi har visualisert atmosf?ren ved hjelp av modellene vi har preiket om over, og her er atmosf?ren rundt Casjoh modellert opp til 100 km over overflaten:

Dette ser fornuftig ut! Her ser vi hvordan tetthet, trykk og temperatur endrer seg med h?yden over overflaten. Vi har jo en adiabatisk modell opp til en h?yde p? \(26357.4944 \ \text m\), eller omtrent \(26 \ \text{km}\) over bakken. Etter det s? har vi en isoterm modell. 

Vi ser tydelig at tettheten minker kraftig med h?yden. Grunnen til dette er fordi at det blir f?rre og f?rre gassmolekyler dess lengre opp i h?yden vi kommer. Dette er grunnen til at fjellklatrere som bestiger h?ye fjell som Mount Everest m? ha med seg oksygen, fordi det blir "mindre luft" dess h?yere man kommer! Vi ser at endringene er st?rst i den adiabatiske modellen og s? g?r tettheten langsomt mot null i den isoterme modellen.

Det samme gjelder for trykket so avtar eksponentielt med h?yden i den adiabatiske modellen. Trykket er st?rst ved overflaten, s? avtar det kraftig med h?yden. Deretter g?r trykket sakte men sikkert mot null dess h?yere opp vi kommer. Dette er fordi ved overflaten s? vil "all luften" over oss trykke ned p? oss, men dess h?yere vi kommer, dess mindre lufta har vi over oss. 

Temperaturen i de to modellene oppf?rer seg ogs? som forventet. Denne synker ogs? kraftig med h?yden i den adiabatiske modellen, s? det blir kaldere dess h?yere opp man kommer. Dette er fordi lufta utvider seg og kj?les letter ned n?r vi er h?yt oppe og trykket avtar. Vi ser fra Figur 4 at temperaturen avtar omtrent line?rt i den adiabatiske modellen, s? g?r den over til ? v?re konstant lik \(\frac{T_0}{2}\) Kelvin i den isoterme modellen.

Overgangen mellom den adiabatiske og den isoterme modellen skal v?re kontinuerlig. Vi ser ve d? studere plottene at det ser kontinuerlig ut, men ved ? ta en n?rmere sjekk p? modellen s? ser vi at verdiene for temperatur og tetthet er veldig like. Verdiene for temperaturen var like i overgangen i de to modellene, og verdiene for tettheten var ogs? noks? lik. Den siste verdien for tetthet vi registrerte i den adiabatiske modellen var  \(1.6753319 \ \frac{\text{kg}}{\text m^3}\) og den f?rste verdien vi registrerte for tetthet i den isoterme modellen var \(1.6751124 \ \frac{\text{kg}}{\text m^3}\). Dette er bare en differanse p? \(\sim 2 \cdot 10^{-4} \ \frac{\text{kg}}{\text m^3}\), som vi kan godta og velger ? kalle en fysisk jevn overgang. Grunnen til at vi ville sjekke dette er fordi man ser p? plottet for tettheten at det ser ut som det er en liten "knekk" i grafen i det den skifter til den isoterme modellen.

Men, n?r vi tar en n?rmere sjekk p? trykket, s? ser vi noe som er litt mer mystisk. Den siste verdien vi fikk for trykk i den adiabatiske modellen var \(62304.1911053 \ \text{Pa}\) og den f?rste verdien for trykket i den isoterme modellen var \(62295.9182343 \ \text {Pa}\). Dette er en litt st?rre differanse p? \(8.272871 \ \text{Pa}\)! Dette er en relativt liten forskjell, men den er likevel st?rre enn for tettheten og temperaturen. Dette kan v?re av flere grunner, for eksempel numerisk avrundingsfeil og usikkerheter. Mange sm? feil kan akkumuleres og bli st?rre feil i det store bildet. Vi har mange sm? tall involvert, som gj?r at avrundingsfeil kan skape st?rre avvik. I tillegg s? har vi en veldig forenklet modell i kontrast til hvordan atmosf?ren ser ut i realiteten. Vi kunne pr?vd oss frem med ? regne for flere datapunkter og sett om det hadde gitt oss en mer kontinuerlig overgang. 

Vi vil ogs? p?peke at vi har modellert atmosf?ren opp til 100 km. For referanse s? er jordas atmosf?re omtrent 10 000 km "tykk". Siden Casjoh har ca halvparten s? stor radius som jorda, s? valgte vi ? modellere opp til 100 km. Vi testet ogs? modellen opp til 1000 km, men da fikk vi disse resultatene:

Dette er fortsatt gyldige resultater, men modellen for 100 km er noe mer informativ og gyldig for oss n?r vi skal lete etter et sted ? lande.

Kan vi stole p? atmosf?remodellen v?r?

Vi har jo gjort en rekke antagelser, som du leste i begynnelsen av dette lange blogginnlegget. S? dette er naturligvis en veldig forenklet modell av atmosf?ren. Vi har bestemt p? forh?nd at vi bytter fra en adiabatisk modell til en isoterm modell ved h?yden hvor overflatetemperaturen blir halvert. Vi ser tydelig fra plottet at atmosf?ren oppf?rer seg ganske ulikt i de to modellene. I den adiabatiske modellen s? tar vi hensyn til at trykk og temperatur p?virker hverandre, og dette er mer realistisk for lavere h?yder. 

Vi har jo antatt at gassammensetningen er den samme overalt i atmosf?ren, noe som ikke stemmer helt overens med virkeligheten. I realiteten vil vi ha en annen gassammensetning n?r vi kommer opp i h?yden enn vi har nede ved overflaten, siden noen av gassmolekylene er lettere enn andre. Vi antar ogs? at tyngdeakselerasjonen er den samme overalt, men det vet vi jo ogs? at ikke stemmer. I den virkelige atmosf?ren s? vil overgangen mellom adiabatisk og isoterm sone v?re mye mer gradvis enn her. Her har vi en br? overgang, for ? gj?re det lettere for oss ? modellere atmosf?ren. Det er ogs? verdt ? nevne at vi ser bort fra absolutt alle reelle v?rforhold som vind, luftfuktighet og andre faktorer som vil endre seg med h?yden. S?, for ? f? en mer komplisert modell som stemmer mer overens med realistiske forhold, s? kunne vi tatt hensyn til dette. Men, vi godtar denne forenklede modellen med en god kopp kaffe og gj?r oss klare for landing.

(siden vi la igjen en aldri s? liten cliff-hanger p? slutten som pirret nysgjerrigheten, "ikke" trykk HER)