Okei folkens, n? har vi en stor oppgave foran oss. Vi skal velge en planet ? lande p?! Men det er en liten hake - vi ?nsker ikke ? ende opp p? en planet uten vann. Men dette kan vi unng? ved ? velge en planet som ligger i den beboelige sonen i solsystemet v?rt. Spoiler alert - den beboelige sonen er sonen der du har tilgang p? kaffe :)
Med den habitable sonen, (alts? den beboelige sonen), mener vi planeter som kan ha flytende vann p? planeten. Dersom det er flytende vann, kan det ogs? potensielt v?re liv p? planeten. Men hvordan vet vi om planeten er i den habitable sonen? La oss se om vi kan finne ut av hva som er den habitable sonen i solsystemet.
En planet i den habitable sonen er ikke for varm eller for kald, med akkurat passe. Vi ?nsker jo ikke ? lande p? en planet der kaffekoppen fryser til is f?r vi rekker ? ta den f?rste slurken.
Vi kan tenke litt logisk p? det, vi trenger tilstrekkelig med energi fra stjernen for ? ha en habitabel temperatur, og dermed flytende vann. Vi skal derfor introdusere dere for et viktig fysisk fenomen i astrofysikken - fluks.
Fluksen fra stjerna til planeten
Fluks beskriver generelt flyten av f.eks lys, fluider eller energi gjennom en flate. Fluksen fra en stjerne forteller hvor mye energi som treffer en del av planeten per tidssenhet. Det er enklere ? tenke p? fluksen som energi per areal per tid. Fluksen er n?r du st?r ute og tenker: "Oi, n? ble et jaggu varmt!" Den mengden solenergi som treffer en del av huden din hvert sekund, det er fluksen. Og jo st?rre fluksen er, desto mer lys treffer huden din.
La oss begynne med en antakelse! Vi antar at stjernen i solsystemet v?rt er et stabilt svart legeme. Et svart legeme er et objekt som absorberer all str?ling som treffer det, og sender ut elektromagnetisk str?ling basert p? legemets temperatur.
Som vanlig tar vi for oss nok en antakelse. Stjerner er et eksempel p? tiln?rmede svarte legemer, og vi velger ? anta at stjernen i solsystemet v?rt er et stabilt svart legeme.
Vi ?nsker ? finne fluksen, \(F\), som planeten mottar i en avstand, \(r\) , fra stjernen. Vi antar at vi kjenner til temperaturen til stjernen, \(\text T_\text s\), og at vi kjenner til radiusen til stjernen, \(\text R_\text s\). Siden vi har antatt stjernen er et svart legeme, s? kan vi regne ut fluksen ved ? bruke Stefan-Boltzmanns lov. Dette h?res kanskje litt kjedelig ut, men den er faktisk utrolig kul! Stefan-Boltzmanns lov litt som astrofysikernes partytriks. Loven forteller oss hvor mye energi en stjerne sender ut, og den sier at jo h?yere temperatur stjernen har, desto sterkere skinner den.
Stryken p? lyset som stjerna skinner med kaller vi for luminositeten til stjernen. Stefan-Boltzmanns lov forteller oss alts? at stjernas luminositet, \(L\), er relatert til temperaturen og radiusen til stjerna. Luminositeten er da den totale energien som stjernen sender ut per sekund, og denne m?les i watt. Dette er akkurat som en lysp?re. Jo mer watt, desto mer lys! Denne analogien er samme for stjerner - jo st?rre og varmere en stjerne er, desto mer energi og lys vil den sende ut.
Stefan-Boltzmanns lov ser slik ut:
\(F = \sigma \ T_\text s^4\)
hvor \(F\) er fluksen, m?lt i \(\frac{\text W}{\text m^2}\), utsendt fra stjerna per areal per tid, \(\text T_\text s\) er stjernas overflatetemperatur og \(\sigma\) er Stefan-Boltzmann-konstanten med verdi \(5,67 \cdot 10^{-8} \text W/\text m^2 \text K^4\).
Men i astrofysikk er vi interessert i den totale energien stjerna str?ler ut per areal i alle retninger, alts? luminositeten. Vi kan omformulere Stefan-Boltzmann lov til:
\(L = 4 \pi \text R_\text s^2 \sigma T_\text s^4 \) \((1)\)
hvor \(4\pi \text R_\text s^2\) er overflatearealet av stjerna. Denne formelen forteller oss hvor mye energi stjernen sender ut radielt i alle retninger. Vi ser at formelen avhenger av temperaturen til stjerna, og at energien som sendes ut ?ker dramatisk n?r temperaturen ?ker (vi har \(T\) i fjerde potens).
Som nevnt ovenfor er fluksen lik energi per areal per tid. Fluksen som planeten ser m? alts? avhenge av avstanden, r, til stjernen. Fluksen er definert slik:
\(F = \frac{d^2E}{dAdt} = \frac{L}{4 \pi r^2}\) \((2)\)
hvor \(L\) er stjernas totale energiutstr?ling per sekund (luminositet) og \(r\) er avstanden mellom stjernen og planeten. Denne formelen for fluksen sier oss hvor mye fluks som en planet mottar ved en gitt avstand, som er akkurat det vi trenge r? vite for ? kunne si noe om beboeligheten p? en planet.
N? tilbake til ? finne fluksen utsendt fra stjerna. Vi vil uttrykke fluksen fra stjerna (som vi mottar) ved hjelp av avstanden \(r\) mellom stjerna og planeten, og temperaturen til stjerna \(T_\text s\). Det f?r vi til ved ? sette inn uttrykket for luminositet \((1)\) inn i uttrykket for fluksen \((1)\). Da f?r vi:
\(F_\text{mottat} = \frac{4 \pi \text R_\text s\sigma T_\text s ^4}{4 \pi r^2} = \frac{\text R_\text s^2 \sigma T_\text s^4}{r^2}\) \((3)\)
Da trenger vi kun avstanden \(r\) mellom stjernen og planeten og temperaturen til stjerna \(T_\text s\).
Hvordan er fluksen planeten mottar relevant til om den er levbar?
For at det skal v?re en habitabel sone, trenger vi ? ha flytende vann p? planeten. Dersom det skal eksistere flytende vann m? temperaturene v?re passende. Alts?, dersom fluksen som mottas viser oss at planeten har en overflatetemperatur p? mellom 260 K og 390 K (dette er -13 grader til 117 grader), s? er det mulig at det finnes flytende vann p? planeten. Ved ? bruke Stefan-Boltzmanns lov og formelen for fluks \((3)\), kan vi regne ut energien som en planet mottar fra stjernen i solsystemet sitt. Dette kan videre brukes for ? avgj?re hvilke planeter som er bebolige.
Vi m? ha en energikilde
Det er ikke bare bare ? fyre l?s p? romferden, vi m? jo s?rge for ? ha en energikilde! Og i verdensrommet s? er solcellepaneler helt prima, vi har jo en evig energikilde; solen v?r. For ? holde liv i instrumentene p? romfart?yet v?rt, s? bruker vi solcellepaneler. Men m? hele fart?yet dekkes i paneler? Er det nok med et bittelite ett? Her m? vi regne litt...
For ? kunne bruke alle instrumentene v?re, m? ho ha \(40 \ \text W\) med elektrisk kraft. Solcellepanelene vi har tilgjengelig har en effektivitet p? 12%. Vi feier noen hodepine-skapende-komplikasjoner under teppet og velger ? se bort fra dag-natt-syklusen (dette er allerede tatt hensyn til n?r vi sa vi trenger \(40 \ \text W\)). Vi ignorerer atmosf?ren til planeten, som betyr at det er greit ? anta at fluksen som treffer planeten er lik fluksen som treffer solcellepanelet (i realiteten vil atmosf?ren absorbert og reflektert noe av sollyset, som ville redusert fluksen som treffer solcellene). Vi vet allerede hva fluksen som treffer planeten er fra ligning \((2)\):
\(F_\text{mottatt} = \frac{d^2E}{dAdt} = \frac{L}{4 \pi r^2}\)
Her vil luminositeten \(L\) \([\text W]\) v?re et m?l p? effekten \(p\) og \(4\pi r^2\) representerer arealet \(\text A\) av kuleskallet til planeten. Den mottatte fluksen endrer seg og blir svakere over distansen \(r\) lyset m? reise. Med andre ord kan vi skrive \((2)\) som \(F_\text{mottatt} = \frac{L}{\text A}\) og l?se for arealet \(\text A\). Da f?r vi en formel for arealet:
\(\text A = \frac{L}{F_\text{mottatt}}\)
Da trenger vi bare ? sette inn det vi vet; den elektriske effekten som kreves er \(L = 40 \ \text W\), solcellepanelets effektivitet er \(p = 0,12\) og fluksen fra sola som treffer panelet er \(F_\text{mottatt}\).
For ? ta hensyn til at bare 12% av fluksen treffer solcellepanelet, s? m? vi gange fluksen med 0,12. Formelen for arealet til solcellepanelet er derfor:
\(\text A = \frac{40 \text W}{F_\text{mottatt} \cdot 0,12}\) \((4)\)
Da trenger vi bare ? sette inn verdien for den mottatte fluksen, som vi kan f? fra ligning \((3)\).
Hva er den totale energien planeten mottar?
Vi ?nsker ? vite litt mer om klimaet p? de ulike planetene. Dette er relevant for ? finne ut hvilke planeter som er beboelige. Da m? vi finne et uttrykk for den totale energien som en planet mottar fra stjernen. Denne energien er viktig for ? vite om det finnes flytende vann p? planeten. Mengden energi som planeten mottar vil p?virke overflatetemperaturen p? planeten, som igjen p?virker om det er flytende vann der.
Vi tar for oss nok en antakelse. Vi antar at lysstr?lene fra stjernen ned p? planeten er parallelle. Da vil det omr?det p? planeten som mottar lyset bli tilsvarende en sirkel, med radius \(\text R_\text{p}\), se figur:
Dette tverrsnittet av sirkelen representerer det vi kan kalle “skyggeomr?det” til planeten. Det er det omr?det p? planeten som blir dekket av lyset. Videre kan vi bruke fluksen for ? regne ut den totale energien, da fluksen er et m?l p? hvor mye energi som stjernen sender ut per areal per sekund. Fluksen forteller oss alts? hvor mye energi som treffer hver kvadratmeter av tverrsnittet v?rt hvert sekund. Hvis vi ganger dette med overflatearealet, alts? hvor mange kvadratmeter vi ser p?, s? f?r vi den totale energien for hele omr?det.
\(\text{Total Energi} = \text{Fluks} \ \times \ \text{Areal}\)
Tverrsnittet er en sirkel, da vet vi at arealet av sirkelen er \(\pi \text R_\text{p}^2\), hvor \(\text R_\text{p}\) er radiusen til planeten.
\(E = F \cdot A = F \cdot \pi \text R_\text{p}^2\) \((5)\)
her setter vi inn uttrykket \((2)\) for fluksen og finner den totale energien planeten mottar:
\(E_\text{mottatt} = \frac{L}{4\pi r^2}\cdot \pi \text R_\text{p}^2 \ \implies \ E_\text{mottatt} = \frac{L \ \text R_\text{p}^2}{4r^2}\)
Her ser vi at den totale energien avhenger av planetens radius \(\text R_\text{p}\), avstanden mellom planeten og stjernen \(r\), og av stjernens lysstyrke \(L\).
Vi ser at jo st?rre planeten er, desto mer kan den fange opp av stjernes energi. I tilfellet hvor \(r\) er veldig liten, alts? at planeten er n?rme stjerna, s? vil planeten motta mer energi, som er fornuftig.
Hva er den hotteste planeten i solsystemet v?rt?
Vi vil velge den beste planeten ? lande p?, og da m? vi se p? overflatetemperaturen. Vi orker ikke ? bli kokt levende, eller fryse ihjel. For ? kunne regne ut temperaturen, s? antar vi at alle planetene i solsystemet v?rt er sorte legemer med stabile temperaturer. Dette betyr at nettoenergien som str?les ut fra de er null. Her f?r vi bruk for Stefan-Boltzmanns lov og den totale energien en planet en planet mottar med radius \(\text R_\text{p}\) og en avstand \(r\) fra stjerna. Vi har fra ligning \((5)\):
\(E_\text{absorbert} = F_\text{mottatt} \cdot \pi \text R_\text{p}^2\)
Her setter vi inn \(F_\text{mottat}\) fra ligning \((3)\) og f?r:
\(E_\text{mottatt} = \pi \text R_\text{p}^2 \frac{R_\text s^2\sigma \text T_\text s^4}{r^2} \) \((6)\)
Energien som planeten str?ler ut finner vi fra fluksen svarte legemer utstr?ler, som if?lge Stefan-Boltzmann lov er \(F_\text{utstr?lt} = \sigma T^4\). Dermed blir energien planeten utstr?ler:
\(E_\text{utstr?lt} = F_\text{utstr?lt} \cdot \text{Areal} = \sigma T^4 4\pi \text R_\text p ^2\) \((7)\)
If?lge antagelsen v?r er netto utstr?lt energi lik null for alle planetene. Det betyr at \(E_\text{mottatt} = E_\text{utstr?lt}\). Da kan vi sette ligning \((6)\) og \((7)\) lik hverandre og l?se for temperaturen til planeten \(T_\text p\):
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ E_\text{mottatt} = E_\text{utstr?lt} \\ \implies \frac{\pi \text R_\text p^2 \text R_\text s^2 \sigma T_\text s^4}{r^2} = \sigma T_\text p^4 4\pi \text R_\text p^2 \\ \implies \frac{\text R_s^2 T_\text s^4}{r^2} = 4T_\text p^4 \\ \implies T_\text p^4 = \frac{\text R_\text s^2T_\text s^4}{4r^2} \\ \implies T_\text p = T_\text s \sqrt{\frac{\text R_\text s}{2r}} \ \ \ \ \ \ \ (8)\)
Denne ligningen er den vi m? bruke for ? regne ut overflatetemperaturen til planetene v?re. Vi m? bare kjenne til temperaturen til stjerna \(T_\text s\), radien til stjerna \(\text R_\text s\) og avstanden fra planeten til stjerna \(r\).
Hvilke planeter er hotte nok for oss?
N? skal vi finne ut hvilke av planetene i solsystemet som har en overflatetemperatur som er tilstrekkelig h?y til at det kan v?re flytende vann p? planeten.
N? skal vi bruke temperaturmodellen \((8)\) vi har kommet frem til for ? estimere overflatetemperaturen til alle planetene i solsystemet. Som nevnt tidligere m? vi ha en overflatetemperatur innen omr?det \(260 - 390 \ \text K \ (\pm \ \approx 15 \text K)\) for at flytende vann skal eksistere og dermed v?re i den habitable sonen.
Fra tidligere vet vi allerede posisjonene til planetene ved hvert tidssteg, siden vi shar simulert planetbanene. Her husker du kanskje at vi brukte den numeriske metoden Leapfrog for ? oppdatere posisjonen og da hastighetene ved hvert tidssteg. Siden vi vet avstanden som alle planetene har til stjernen, og kjenner til stjernas temperatur og radius, kan vi regne ut overflatetemperaturen p? alle planetene ved ? bruke temperaturmodellen. Tallene vi f?r sammenligner vi med grensen for den beboelige sonen, som er fra \(260\) Kelvin og \(390\) Kelvin (ca. \(-13^\circ\) til \(117^\circ\)).
La oss gj?re dette i simulasjonen v?r. Vi regner ut overflatetemperaturen til alle planetene, og sammenligner med v?r beboelige sone. Resultatet ble at planet 0 har en overflatetemperatur p? omtrent \(338\) Kelvin, alts? burde det finnes flytende vann p? denne planeten. Dette kan vi si at stemmer, da dette er v?r hjemplanet og jeg lagde meg en iskaffe for to minutter siden. Vi fant derimot ut at det kun var én annen planet som ogs? ligger i den beboelige sonen. Dette var planet 1, med en overflatetemperatur p? omtrent \(275\) Kelvin.
For de resterende planetene fant vi ut at dette er overflatetemperaturene deres:
- Planet 2 = \(121\) Kelvin
- Planet 3 = \(141\) Kelvin
- Planet 4 = \(103\) Kelvin
- Planet 5 = \(195 \) Kelvin
- Planet 6 = \(163\) Kelvin (denne er gasskjempe, alle andre steinplaneter)
- Planet 7 = \(241\) Kelvin
Hvilke av disse planetene skal vi velge? Det finner du ut av i neste post:
Tiden er kommet for ? velge planet!