Vi har n? sett p? temperaturene p? overflaten p? alle planetene. Vi har bestemt oss for ? velge planet 1, som er den andre planeten i v?r beboelige sone. Denne er en steinplanet, akkurat som hjemplaneten v?r. Vi har 7 steinplaneter og én gassplanet i solsystemet v?rt. Vi kunne ha valgt ? reist til en planet utenfor den beboelige sonen, men vi er veldig glad i kaffe, og for ? ikke f? abstinenser s? m? vi dra til en planet med tilgang p? flytende vann.
? reise til en gasskjempe hadde v?rt dumt, siden de har en tykk atmosf?re med tung gravitasjon som ville gjort det komplisert for oss ? lande. Slike planeter har h?yhastighetsst?vstormer som gj?r det vanskelig ? for oss ? se noe n?r vi lander. Men som vi har nevnt tidligere, s? m? vi regne ut hvor stort solcellepanelet v?rt skal v?re. Vi trenger \(40 \ \text W\) med elektrisk kraft. Planet 1 er ganske n?rme solen, s? vi burde ikke trenge et veldig stort solcellepanel. Da f?r vi igjen bruk for ligning \((4)\) fra forrige bloggpost:
\(A = \frac{40 \text W}{F_\text{mottatt} \cdot 0,12}\)
hvor \(F_\text{mottatt}\) er fra ligning \((3)\). Hvis vi setter inn denne, f?r vi uttrykket:
\(A = \frac{40 \text W \ \cdot \ r^2}{\text R_\text s^2 \sigma T_\text s^4 \ \cdot \ 0,12}\) \((9)\)
hvor \(40 \ \text W\) er den elektriske kraften som trengs, \(r\) er avstanden mellom stjerna og planeten m?lt i meter, \(\text R_\text s\) er radiusen til stjerna m?lt i meter, \(\sigma\) er Stefan-Boltzmann konstanten og \(T_\text s\) er overflatetemperaturen p? stjerna m?lt i Kelvin.
Vi finner avstanden \(r\) mellom stjerna og planet 1 ved ? se p? hvor planeten befinner seg det p? det siste tidssteget i simulasjonen v?r. Dette betyr i praksis at vi henter ut den siste posisjonen til planet 1 fra utregningene i simulasjonen vi gjorde tidligere. Deretter kan vi regne vi ut arealet som er n?dvendig for solcellepanelet:
\(A = \frac{40 \ \text W}{1096.676 \frac{\text W}{\text m^2}\ \cdot \ 1344785895578.072\ \text m} = 0,30 \ \text m^2\)
Da f?r vi at arealet blir \(0,30 \ \text m^2\). Dette tilsvarer et panel som er \(0,55 \ \text m \) ganger \(0,55 \ \text m\).
Er svaret rimelig?
Du tenker sikkert; dette var da et veldig lite areal? Kan det v?re rimelig?
Planet 1 er veldig n?rme stjerna, og mottar derfor en sterk str?lingsenergi fra stjerna. Vi har snakket om tidligere at fluksen planeten mottar reduseres med avstanden, og derfor er fluksen planet 1 mottar, st?rre enn for andre planeter lengre ute i solsystemet. Siden effekten som kreves kun er \(40 \ \text W\), som er en lav effekt, s? er arealet vi regnet ut realistisk. Du kan tenke p? en lysp?re som har \(40 \ \text W\).
N?r vi trenger en s? lav effekt og planetens gunstige plassering i forhold til stjerna, s? vil et lite areal som \(0,30 \ \text m^2\) v?re rimelig nok til ? kunne generere \(40 \ \text W\) til tross for solcellepanelets effektivitet. N?rheten til stjerna vil alts? kompensere for den lave effektiviteten.
Gravitasjonen som virker p? romfart?yet
Vi vet fra Newtons gravitasjonslov at gravitasjonskraften mellom to legemer kan uttrykkes slik:
\(F_\text{gravitasjon} =\text G\frac{Mm}{r^2}\)
hvor:
- \(\text G\) er gravitasjonskonstanten
- \(M\) er massen til det ene legemet m?lt i kg
- \(m\) er massen til det andre legemet m?l i kg (i v?rt system vil denne representere romfart?yets masse)
- \(r\) er avstanden mellom legemene m?lt i meter
Vi skal se hvordan gravitasjonskreftene fra b?de stjerna og planeten p?virker romfart?yet. Vi antar at gravitasjonskraften fra planeten p? romfart?yet er en faktor \(k\) ganger st?rre enn gravitasjonskraften fra stjernen p? romfart?yet.
La oss pr?ve ? finne et generelt uttrykk som beskriver avstanden mellom planeten og romfart?yet. Vi definerer denne avstanden til ? v?re lik \(l\).
Fra Newtons gravitasjonslov vet vi at gravitasjonskraften fra planeten p? romfart?yet blir slik:
\(F_\text{gravitasjon fra planeten}= \text G\frac{\text M_\text{planet} \ \cdot \ \text m_\text{romfart?y}}{l^2}\) \((10)\)
Og det blir da slik for gravitasjonskraften fra stjernen p? romfart?yet:
\(F_\text{gravitasjon fra stjernen}=G\frac{M_\text{stjerne}\cdot m_\text{romfart?y}}{r^2}\) \((11)\)
hvor \(\text m_\text{planet}\) er massen til planeten m?lt i kg, \(\text M_\text{stjerne}\) er massen til stjernen m?lt i kg, \(l\) er avstanden mellom romfart?yet og planeten, og \(r\) er avstanden mellom romfart?yet og stjernen
Siden vi har antatt at gravitasjonen fra planeten p?virker romfart?yet \(k\) ganger mer enn det gravitasjonen fra stjernen gj?r, kan vi skrive opp forholdet mellom dem slik:
\(F_\text{gravitasjon fra planeten}=k\cdot F_\text{gravitasjon fra stjernen}\)
Ovenfor, i likninger \((10)\) og \((11)\) , har vi funnet uttrykk for begge gravitasjonskreftene, \(F_\text{gravitasjon fra stjernen}\) og \(F_\text{gravitasjon fra planeten}\). Dermed kan vi innsette begge disse to i uttrykket som beskriver forholdet deres. Da f?r vi dette uttrykket:
\(\text G\frac{\text M_\text{planet}\cdot \text m_\text{romfart?y}}{l^2}=k\cdot \text G\frac{\text M_\text{stjerne}\cdot \text m_\text{romfart?y}}{r^2}\)
Her ser vi fort at vi kan forenkle uttrykket litt ved ? stryke gravitasjonskonstanten \(\text G\) og massen til romfart?yet \(\text m_\text{romfart?y}\). Da st?r vi igjen med:
\(\frac{\text M_\text{planet}}{l^2}=k\cdot \frac{\text M_\text{stjerne}}{r^2}\)
Vi ?nsket originalt ? finne et generelt uttrykk for \(l\), avstanden mellom romfart?yet og planeten. Dersom vi l?ser uttrykket ovenfor med hensyn p? \(l\) s? har vi akkurat det vi h?pte p?. La oss gj?re det!
\(l^2=r^2\frac{\text M_\text{planet}}{k\cdot \text M_\text{stjerne}}\)
\(l=\left|{\textbf{r}}\right|\sqrt \frac{\text M_\text{planet}}{k\cdot \text M_\text{stjerne}}\) \((12)\)
Hva beskriver avstanden \(\textbf l\) fysisk sett?
N?r gravitasjonsp?virkningen fra planeten p? romfart?yet er \(k\) ganger st?rre enn gravitasjonsp?virkningen fra stjernen, s? har vi ovenfor funnet et generelt uttrykk for avstanden mellom romfart?yet og planeten. Denne definerte vi til ? v?re lik \(l\). Men hva er den fysiske tolkningen av denne avstanden?
N?r gravitasjonen fra planeten har en sterkere p?virkning p? romskipet v?rt, enn det stjernen har, s? dominerer den gravitasjonelle kraften fra planeten. Det betyr at romfart?yet trekkes mer mot planeten enn mot solen.
Vi finner stadig ut ny informasjon om solsystemet v?rt, og n? som vi har funnet enda en planet som ligger i den beboelige sonen. Da er det klart at vi ?nsker ? finne ut s? mye informasjon om denne som mulig. Vi skal skyte opp raketten v?r, sende den i bane rundt planet 1, og ta bilder av planeten for ? finne ut s? mye vi kan om den. Men dette inneb?rer at vi i det hele tatt klarer ? f? raketten til ? g? i en stabil bane rundt planeten. Det er nettopp her vi f?r vi bruk for uttrykket for \(l\). Ligning \((12)\) forteller oss hvilken avstand romfart?yet m? ha til planeten vi vil g? i bane rundt, for en gitt verdi av \(k\). Hvis romfart?yet er innenfor denne avstanden, vil planetens tyngdekraft dominere og v?re sterk nok til ? holde oss i en stabil bane rundt planet 1.
Hvor er romskipet i forhold til solsystemet?
N?r vi skal launche romskipet v?rt, s? m? vi ha kontroll p? hvor det er i forhold til hele solsystemet, ikke bare i forhold til hjemplaneten v?r. Vi har sola i origo, som tidligere. Vi kan bruke det vi kan fra R2 p? videreg?ende om vektorer. La oss f?rst illustrere dette:
For ? finne posisjonen til romskipet m? vi derfor addere posisjonen til planeten som vi fant i tidligere bloggposter, med vektoren som peker fra sentrum av planeten til stedet p? overflaten hvor vi velger ? lauche fra. \(\vec R_\text{radiell}\) finner vi ved ? gange radiusen til planeten med posisjonsvektoren \((\text{cos} \ \theta, \text{sin}\ \theta)\). Da trenger vi bare ? velge vinkelen \(\theta\) vi ?nsker ? launche med. Dette tilsvarer vinkelen fra ekvator (\(x\)-aksen).
Hva med hastigheten til romskipet? Her har vi to faktorer vi m? ta hensyn til; den tangentielle gitt av rotasjonen til planeten og hastigheten planeten har rundt stjerna.
For ? finne den tangentielle hastighetskomponenten, m? vi f?rst vite rotasjonshastigheten til hjemplaneten. Den finner vi ved ? ta omkretsen
\(\text{omkrets} = 2\pi\text R_\text{hjemplanet}^2\)
og dele p? rotasjonsperioden. Vi vil ha disse i \(\text{AU} / \text{?r}\), s? vi m? passe p? at omkretsen regner ut i \(\text{AU}\) og rotasjonsperioden i \(\text{?r}\). Alts? er:
\(\text{rotasjonshastighet} = \frac{\text{omkrets}}{\text{rotasjonsperiode}}\)
Men vi vil ogs? ha denne som en vektor. Denne vektoren er tangentiell, alts? vinkelrett p? radiell retning. Vi m? derfor ha en vektor som er ortogonal med \(\vec R_\text{radiell}\). Her kan vi tenke enkelt:
Vi har en vektor \((x,y)\) og vil finne en vektor som er ortogonal til denne. Det betyr at prikkproduktet mellom dem er 0. Hvis vi ganger \((x,y)\) med vektoren \((-y,x)\) s? f?r vi at \((x,y) \cdot (-y,x) = -xy + xy = 0\). Siden vektoren vi har er \(\vec R_\text{radiell} = (\text{cos} \ \theta, \text{sin} \ \theta)\), s? m? \(\vec R_\text{tangentiell} = (-\text{sin} \ \theta, \text{cos} \ \theta)\). Den tangentielle hastighetsvektoren romskipet f?r fra er derfor (p? vektorform):
\(\vec V_\text{tangentiell} = \text v_\text{rotasjon} \cdot (-\text{sin} \ \theta, \text{cos} \ \theta)\)
Den siste komponenten er da hastigheten planeten har rundt stjerna (NB: planeter beveger seg fort!). Denne m? vi ogs? addere med \(\vec V_\text{radiell}\) og \(\vec V_\text{tangentiell}\) for ? finne den totale hastigheten til romskipet.
Den totale hastigheten til romskipet er derfor gitt ved:
\(\vec V_\text{romskip} = \vec V_\text{planet} + \vec V_\text{tantentiell}\)
Ved ? implementere disse st?rrelsene, s? kan vi beskrive posisjonen til romskipet og launche ved hvilket som helst tidspunkt \(t\) i planetbane-simulasjonen v?r, fra hvilket som helst sted p? planetoverflaten ved ? bruke vinkelen \(\theta\).
Har vi forberedt oss til ? ta bilde av v?r neste planet?
Ombord p? romskipet skal vi ta med oss et kamera. Det er dette kameraet som skal ta bilde av den andre planeten i den beboelige sonen, nemlig planet 1.
Men kameraet v?rt har en viss oppl?sning, og det er flere faktorer vi m? ta hensyn til for ? f? et tydelig bildet av planeten. Avstanden mellom romskipet og planeten er selvf?lgelig viktig. Dersom vi er veldig langt unna planeten, vil ikke bildet bli bra og planeten blir en uklar liten flekk i midten av bildet. Et slikt bilde vil ikke l?re oss s? mye nytt om planeten, dessverre. Men vi kan heller ikke v?re for n?rme planeten n?r vi tar bildet, fordi da vil ikke kameraet klare ? fokusere, og vi vil igjen f? et uklart bilde. Vi m? finne ut av hvor n?rme, eller hvor langt unna, romfart?yet m? v?re fra planeten for ? f? et perfekt bilde. Eller ikke perfekt s? klart, et bilde som viser planeten litt tydelig er mer enn godt nok i v?re ?yne!
Kameraet v?rt er et kvadratisk bilde med \(P\times P\) piksler, hvor \(P\) representerer antall piksler langs én side av bildet. Om vi tar bildet av planeten med kun én piksel s? vil vi f? et veldig uklart bilde. Vi m? pr?ve ? f? med mange piksler for ? f? et godt oppl?st bilde.
I tillegg har kameraet et synsfelt p? \(F\times F\), hvor \(F\) er m?lt i radianer. Synsfeltet til kameraet er det omr?det som kameraet "ser" av rommet, n?r det skal ta bilde. Om kameraet har et stort synsfelt, kan vi fange opp mer av rommet i bildet som tas. Men dersom synsfeltet er for stort, s? vil planeten bli d?rlig oppl?st.
La oss finne et uttrykk for den minste avstanden som romfart?yet kan ha fra planeten, for at bildet kan oppl?se planeten, alts? at planeten vises som mer enn bare ett piksel i bildet.
Vi har et synsfelt p? \(F\times F\) radianer, hvor \(F\) bestemmer vinkelen av rommet som kameraet kan fange opp. Siden vi ?nsker at planeten skal v?re synlig som mer enn ett piksel, m? denne vinkelen dekke mer enn én piksel.
Fra geometrien vet vi at omr?det som en vinkel, i radianer, dekker kan beskrives slik:
\(\theta=\frac{\Delta s}{R}\)
hvor:
- \(\theta\) er vinkelen i sentrum av sirkelen m?lt i radianer
- \(R\) er radiusen til sirkelen m?lt i meter
- \(\Delta s\) er bulengden, alts? den buede lengden langs sirkelen i forhold til vinkelen \(\theta\) m?lt i meter
Vi kan bruke denne enkle geometrien i v?rt system. La oss se p? situasjonen fra romskipet sitt perspektiv. Kameraet i romskipet ser rett ned p? planeten. For kameraet blir planeten akkurat som en helt vanlig sirkel (ref. Figur 9).
Vi ser i Figur 9 at vi kan beskrive vinkelen som kameraet ser ved:
\(\theta=\frac{R}{L}\) \((13)\)
hvor:
- \(\theta\) er vinkelen m?lt i radianer
- \(R\) er planetens radius m?lt i meter
- \(L\) er avstanden mellom romskipet og planeten m?lt i meter
Men her har vi ikke funnet vinkelen ved ? ta buelengden delt p? radiusen. Istedenfor har vi tatt radiusen til planeten delt p? avstanden mellom planeten og romskipet. Hvorfor kan vi gj?re dette?
Vel, avstanden mellom planeten og romfart?yet, \(L\), virker som en radius i sirkelen vi ser p?. Vi har en indre sirkel, som er planeten. Og en ytre sirkel som er banen som romskipet sammen med kameraet f?lger. Og avstanden \(L\) blir radiusen i denne sirkelen (ref. Figur 10).
Men hvorfor bruker vi radiusen til planeten, og ikke buelengden? Dette kommer kanskje ikke som et sjokk, men her har vi tatt for oss enda en forenkling. For \(\theta\) har vi antatt sm? vinkler, som gj?r at vi kan bruke planetens radius for ? beskrive den totale vinkelen som kameraet dekker. Det er rimelig ? anta sm? vinkler i en situasjon lik den vi ser p?. Dette er fordi vi ser p? store objekter som er langt unna. Dette er triks vi ofte benytter oss av i astronomien og i fysikken.
Vi ser p? planeten, gjennom kameraet, fra romfart?yet. Da kan vi si at vi ser hele planeten som en skive p? himmelen foran oss. Vinkelen \(\theta\) beskriver hvor mye av planeten som dekker v?rt synsfelt fra romfart?yet. Jo n?rmere vi er planeten, desto st?rre blir denne vinkelen. Og omvendt, jo lenger unna vi beveger oss fra planeten, desto mindre er \(\theta\). Dette ser vi illustrert i Figur 9.
Planeten har radius \(R\), denne er avstanden fra sentrum av planeten til overflaten. Skiven som kameraet ser p? himmelen er planetens overflate, og st?rrelsen av denne bestemmes i radiusen \(R\). Og denne vil v?re med p? ? bestemme hvor stor planetens ser ut, sett fra v?rt synsfelt (fra romfart?yet).
Buelengden \(\Delta s\) beskriver den faktiske fysiske lengden langs overflaten til planeten. Men vi har alts? forenklet situasjonen, vi har antatt sm? vinkler, og kan derfor bruke radiusen \(R\) direkte.
La oss fortsette ? uttrykke den minste avstanden som romfart?yet kan ha fra planeten, for ? f? et godt oppl?st bilde. Vi har s? langt funnet en m?te ? beskrive vinkelen til synsfeltet til kameraet:
\(\theta=\frac{R}{L}\) \((13)\)
Vi ?nsker at denne vinkelen skal gj?re slik at synsfeltet dekker mer enn én piksel. Som nevnt tidligere har kameraet en oppl?sning p? \(P\times P\) piksler. Som betyr at langs en side av bildet har vi \(P\) antall piksler. Alts?, vi har \(P\) piksler i bredden og \(P\) piksler i h?yden av bildet som kameraet tar. Synsfeltet til kameraet er \(F\), og er den totale vinkelen som kameraet ser. Kameraet har en oppl?sning p? \(P\times P\) piksler, og hele synsfeltet \(F\times F\) er fordelt utover dette. Synsfeltet \(F\) er fordelt over \(P\) piksler i b?de bredden og i h?yden, da er vinkelen som én piksel dekker lik synsfeltet \(F\) delt p? antall piksler \(P\):
\(\theta_\text{piksel}=\frac{F}{P}\)
Dette er hvor stor del av himmelen som én piksel dekker. Jo h?yere oppl?sning vi har, alts? jo h?yere \(P\) er, desto mindre del av himmelen vil hver piksel dekke.
Men vi ?nsker at planeten skal v?re tydelig og godt synlig i bildet. Derfor m? planeten dekke minst én piksel. Da m? vinkelen \(\theta\) v?re st?rre en vinkelen som kun én enkelt piksel dekker, \(\theta_\text{piksel}\):
\(\theta\geq\theta_\text{piksel}=\frac{F}{L}\)
Da kan vi sette dette inn i utrykket vi hadde for vinkelen \(\theta\) i likning \((13)\). Da f?r vi:
\(\frac{R}{L}\ge\frac{F}{P}\)
Hvor \(L\) er avstanden mellom romfart?yet og planeten. Alts? den vi ?nsket ? finne et uttrykk for. La oss l?se likningen med hensyn p? \(L\):
\(L\le\frac{RP}{F}\)
\(L\lesssim \frac{RP}{F}\)
hvor:
- \(L\) er avstanden mellom romfart?yet og planeten m?lt i meter
- \(R\) er radiusen til planeten m?lt i meter
- \(P\) er antall piksler i kameraet langs en side av bildet (men det er totalt \(P\times P\) piksler)
- \(F\) er kameraets synsfelt m?lt i radianer
Fra likningen ser vi jo st?rre synsfelt som kameraet har, desto n?rmere m? romskipet v?re planeten for ? kunne ha en god oppl?sning p? bildet. Fordi dersom synsfeltet, \(F\), ?ker. Da har vi en st?rre verdi i nevneren, og n?r vi deler p? noe stort blir verdien mindre. Alts? avstanden, \(L\), blir liten.
I tillegg kan vi tolke fra likningen at desto flere piksler som kameraet har, jo lengre unna kan romfart?yet v?re for ? kunne oppl?se planeten. Fordi n?r \(P\) er stor, blir ogs? \(L\) stor.
Alts?, vi ser at at avstanden \(L\) er proporsjonal med b?de st?rrelsen til planeten, radiusen \(R\), og antall piksler i kameraet \(P\). Og avstanden \(L\) er omvendt proporsjonal med kameraets synsfelt \(F\).