Hvorfor er det vanskelig ? lande p? Casjoh?
Det hadde jo v?rt veldig fint om det var slik “se et flatt sted, la oss lande der!”. Men s? enkelt er det alts? ikke. Casjoh roterer! Ja, planeten roterer stadig rundt sin egen akse, som betyr at et perfekt landingssted ikke vil v?re der n?r vi trenger det, fordi det flytter p? seg! Det er litt som ? pr?ve ? hoppe av en karusell, men at bakken ikke st?r stille. En liten utfordring, med andre ord. Vi ?nsker oss jo fortsatt en smooth landing, og noe av det siste vi vil er ? lande i havet eller rett p? et fjell. Ergo - vi trenger bilder, beregninger og litt flaks.
Hvordan skal vi finne den perfekte landingsplassen?
Romfart?yet v?rt svever i lav bane rundt Casjoh, noe som gir oss en god mulighet til ? ta fine og tydelige bilder av planetens overflate. Etter litt bildeanalyse, kan vi sile vekk de farlige fjelltoppene og dype dalene, og heller finne et flatt og jevnt omr?de. Vi tenker at det perfekte landingsstedet ligger p? dagsiden av planeten, da en nattlanding uten lys blir litt som ? spille dart i blinde.
Her kommer utfordringen inn - Casjoh snurrer rundt sin egen z-akse. Det betyr at v?rt n?ye utvalgte landingssted ikke kommer til ? v?re p? samme sted n?r vi faktisk er klare for landing.
Derfor skal vi trekke inn litt sf?risk geometri, for ? gj?re beregningene noe lettere.
Hvorfor skal vi bruke sf?risk geometri?
Vi er godt kjent med de kartetiske koordinatene \((x,y,z)\), men n?r vi snakker om planeter som roterer, m? vi tenke litt st?rre. Casjoh er ingen flat disk (beklager til alle flatjord-tilhengere), men denne planeten (som de fleste andre planeter), er en nesten perfekt sf?re. Og n?r vi snakker om noe som er sf?risk, alts? kuleformet, er det bare logisk ? bruke et koordinatsystem som faktisk er laget for sf?rer.
I et kartetisk koordinatsystem er det veldig enkelt ? beskrive noe ved hjelp av rette linjer, men for ? beskrive overflaten til en planet er det kanskje litt ‘kl?nete’ ? bruke disse koordinatene. En planet er jo (nesten) en kule, og sf?riske koordinater er designet til ? beskrive slike kuler.
For en kule er radiusen konstant, vi kommer ogs? til ? holde Casjohs radius konstant. Til tross for mulige fjell og daler som gj?r at Casjoh ikke er en perfekt sf?re, kan vi anta at alle punkter p? planetens overflate er s?nn ish i like lang avstand fra sentrum. Dette forenkler utregningene v?re betraktelig!
Hva er de sf?riske koordinatene?
I stedet for koordinatene \(x\), \(y\) og \(z\), har vi disse:
- \(r\): Radiusen, som er avstanden fra sentrum av planeten til et vilk?rlig punkt p? overflaten. Denne er konstant.
- \(\theta\): Vinkelen fra ekvator oppover eller nedover (breddegrad)
- \(\phi\): Vinkelen rundt planeten, som beskriver hvor langt “bortover” du er (lengdegrad).
S? i stedet for ? sp?rre om hvor langt unna vi er i \(x\)- eller \(y\)-retning, sp?r vi heller om hvor langt unna vi er fra sentrum, og hvilke vinkler som best beskriver det punktet vi er i p? overflaten av sf?ren (planeten) v?r.
De sf?riske koordinatene v?re har visse begrensninger:
- \(r\): kan ikke v?re negativ. Vi kan heller ikke sette en maksimalgrense her, hvem vet, kanskje Casjoh har et gigantisk fjell vi ikke har oppdaget enda (\(0\leq r\leq \infty\)).
- \(\theta\): denne vinkelen strekker seg fra \(0^\circ\) til \(180^\circ\), fra nordpolen til s?rpolen (\(0\leq \theta \leq \pi\)).
- \(\phi\): denne vinkelen spinner rundt hele planeten, fra \(0^\circ\) til \(360^\circ\), s? her kan du g? en hel runde uten ? g? deg vill (\(0\leq \phi \leq 2\pi\)).
Hvordan konverterer vi mellom de kartetiske og de sf?riske koordinatene?
Dersom du kjenner til de kartetiske koordinatene (\(x,y,z\)), og ?nsker ? finne de sf?riske koordinatene, er overgangen ganske rett frem:
- \(r=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}\)
- \(\theta=\arccos{\frac{z}{r}}\)
- \(\phi = \arctan{\frac{y}{x}}\)
Hva har Casjohs rotasjon ? si for oss?
Casjoh er i konstant bevegelse - bokstavelig talt. Planeten spinner rundt sin egen akse med en viss vinkelfart , denne forteller oss hvor mye planeten roterer per tidsenhet.
Fra f?r av kjenner vi til rotasjonsperioden til Casjoh, denne er p? omtrent \(1,7\)jorddager. Dette er alts? hvor lang tid Casjoh bruker p? én hel rotasjon rundt sin egen akse. Selv om Casjoh nesten er dobbelt s? sakte som jorden p? en rotasjon om sin egen akse, er spinningen fortsatt rask nok til ? gj?re ting litt vanskelig for oss. For ? finne ut av n?yaktig hvor raskt den snurrer, bruker vi formelen for vinkelfart:
\(w=\frac{2\pi}{T}\)
Vi setter inn \(146 880 \ \text{sekunder}\), som tilsvarer \(1,7\) dager, og finner at vinkelfarten til Casjoh er omtrent \(6,21\cdot 10^{-5} \ \text{rad/s}\).
Med andre ord, mens vi diskuterer planer for landingen, beveger overflaten seg sakte men sikkert under oss.
Hvordan holde styr p? et landingssted som nekter ? st? stille?
N?r Casjoh roterer vil de potensielle landingsomr?dene endre posisjonene sine i forhold til oss. S? hvordan skal vi greie ? holde styr over hvor et slikt landingsomr?de befinner seg etter litt tid? Svaret p? dette ligger i ? oppdatere vinkelen \(\phi\) over tid, da kan vi bruke f?lgende formel:
\(\phi_\text{ny}=\phi_\text{gammel}+wt\)
hvor:
- \(\phi_\text{gammel}\) er utgangspunktet v?rt, dette er vinkelen hvor vi f?rst identifiserte det potensielle landingsomr?det, m?lt i radianer
- \(w\) er vinkelfarten som vi nettopp regnet ut, m?lt i rad/s.
- \(t\) er tiden som har g?tt, m?lt i sekunder.
Vi digger forenklinger!
Vi liker enkle beregninger, derfor bestemmer vi oss for ? holde oss til omr?der langs Casjohs ekvator. Dette inneb?rer at vi setter vinkelen \(\theta\) (breddegraden) konstant lik \(\frac{\pi}{2}\). Hvorfor gj?r vi dette? Jo, fordi n?r planeten spinner er det f?rst og fremst \(\phi\)-vinkelen som endres, mens \(\theta\) holder seg stabil.
Koordinatene v?re kan forenkles til:
- \(r\), som alltid er konstant (vi antar at Casjoh er en perfekt sf?re).
- \(\theta=\frac{\pi}{2}\), fordi vi ser p? landingsomr?der langs med ekvator.
- \(\phi\), som endres, men vil oppdateres via formelen ovenfor for \(\phi_\text{ny}\)
S? hva skjer med det potensielle landingsomr?det etter at Casjoh har snurret i en tid t?
Et potensielt landingsomr?de p? Casjoh sin overflate starter i vinkelen \(\phi_\text{gammel}\), og etter en tid \(t\), vil vi finne den igjen i vinkelen \(\phi_\text{ny}=\phi_\text{gammel}+wt\). Noe som betyr at v?re opprinnelige koordinater (\(r, \theta, \phi\)) utvikler seg til (\(r,\theta,\phi(t)\)) med tiden. Vi kan alts? forutse hvordan koordinatene til et potensielt landingssted endrer seg over tid.
Ta frem kameraene!
La oss la romfart?yet fullf?re et oml?p rundt planeten, og samtidig ta bilder og videoer av overflaten. Slik kan vi identifisere det perfekte stedet ? lande p?! Obs, obs, vi m? huske p? ? justere litt p? kameraene underveis, slik at de alltid vil peke mot sentrum av planeten.
La oss se p? en video av Casjoh:
Hvordan ser Casjoh ut?
Nedenfor kan du se bilder av overflaten til Casjoh!
Her ser vi hvordan overflaten til Casjoh ser ut. Vi husker at vi planlagte ? lande ved ekvator, s? vi skal pr?ve ? finne det fineste og flateste omr?det langs midten av planeten!
Vi ser at Casjoh har et sv?rt variert terreng, vi kan tolke kombinasjonen av de lyse og m?rke omr?dene som h?ydeforskjeller. Kanskje er det dype daler eller h?ye fjelltopper. Det er flere ujevne omr?der p? planetoverflaten som kan gj?re det en smule vanskelig for oss ? f? den trygge og smoothe landingen vi dr?mmer om.
Og hvordan holder vi styr p? et omtrent jevnt og flatt omr?det som vi ?nsker ? lande p?? Jo, det er jo ikke vanskelig for oss, fordi lenger oppe har vi sett p? nettopp dette - hvordan ? forutse hvordan koordinatene til et potensielt landingsomr?det endrer seg over tid.
Flere bilder? Ja takk!
La oss kj?re noen runder rundt Casjoh sammen med kameraet v?rt, og se hvordan planetoverflaten ser ut for ulike \(\phi\)-vinkler:
Etter ? ha tatt mange bilder, fant vi ut av ved 0,50 radianer s? virket planetoverflaten noks? flat og fin. (se figur 7!).
Vi kommer mest sannsynlig ikke til ? lande n?yaktig der, men vi blir veldig happy om vi kommer i n?rheten av v?rt n?ye utvalgte potensielle landingssomr?det. N? vet vi ogs? hvordan vi skal finne igjen omr?det etter en tid, ved ? bruke formelen ovenfor. S? i teorien burde det jo ikke v?re noe problem.
?
????