N? skal vi bruke det vi har l?rt om atmosf?ren til Narnia for ? finne ut hvordan luftmotstanden vil p?virke landingen v?r. Her vil vi da fortsette ? bruke de samme forenklingene som tidligere, blant annet at atmosf?ren er uniform, som forklart tidligere. I tillegg vil vi n? ogs? anta at atmosf?ren f?lger planetens rotasjon, spesifikt at atmosf?ren vil bevege seg med n?yaktig lik vinkelhastighet som Narnia.
Modell for luftmotstand
Vi vil n? finne en modell for luftmotstanden som raketten og landingsfart?yet vil oppleve n?r vi skal pr?ve ? lande den p? Narnia. Her vil vi da bruke en vanlig modell for luftmotstand, den s?kalte drag-equation, som ser slik ut:
\(F_d = \dfrac{1}{2} \rho C_d A v_{drag}^2\)
Her er \(F_d \) luftmotstanden et legeme vil oppleve, som har tverrsnittsareal \(A\), og fart \(v_{drag}\) relativt til luft med tetthet \(\rho\). \(C_d\) er den s?kalte drag coefficient, som er en variabel som avhenger av formen til et legeme som beveger seg i et fluid milj?, som for eksempel vann eller luft. For ? forenkle utregningene v?re vil vi bruke at \(C_d = 1\), som omtrent er verdien tilh?rende en kube.
Men hvordan skal vi uttrykke \(v_{drag}\)? Det er jo ikke s? simpelt som ? bruke v?r hastighet relativt til planeten! Vi m? nemlig finne hastigheten til raketten relativt til atmosf?ren til Narnia. Da m? vi f?rst finne hastigheten til atmosf?ren, som vi betegner som \(\vec{w}\). Siden vi bare vil bevege oss rundt ekvator av planeten, er vi ikke interessert i hvordan hastighet vil variere i z-retning. Vi velger ? bruke polare koordinater, hvor vi har en radiell komponent med enhetsvektor \(\hat{e}_r\), en komponent som er tangentiell p? den radielle med enhetsvektor \(\hat{e}_\theta\), og en komponent i z-retning mer enhetsvektor \(\hat{e}_z\).
Vi har antatt at atmosf?ren f?lger planetens rotasjon, og at den har lik vinkelhastighet. Planeten roterer rundt sin egen z-akse, og dermed vil \(\vec{w}\) bare ha en tangentiell komponent. Punkter i atmosf?ren vil kunne ha varierende radius fra planetens sentrum, i motsetning til overflaten til planeten ved ekvator. Dermed vil hastigheten til lagene (punkter med lik radius) i atmosf?ren ha varierende hastighet. Hastigheten i tangentiell retning kan vi enkelt finne ved uttrykket for vinkelfart, som er \(\omega = v_{\theta}/r\). Her er \(\omega\) vinkelfarten til planeten, som er kjent, og \(v_{\theta}\) er den tangentielle farten til et punkt som roterer med avstand \(r\) fra sentrum av planeten. Fra et tidligere innlegg har vi at \(\omega = 2\pi/T\), hvor \(T\) er periodetiden til planeten. Dermed f?r vi at hastigheten i tangentiell retning er \(v_{\theta} = \omega r = 2\pi r/T\), og dette gir oss hastigheten til atmosf?ren, som blir:
\(\vec{w} = (0,v_{\theta}, 0) = (0,\dfrac{2\pi r}{T}, 0 )\)
V?r obs p? at vi her bruker to lignende symboler for to forskjellige ting! Vi bruker den greske bokstaven omega (\(\omega\)) for den angul?re farten, og vi bruker dobbelt-v (\(w\)) for farten til atmosf?ren. Vi vil n? finne hastigheten \(\vec{v}\) til raketten relativt til planeten uttrykt i samme koordinatsystem. Dette har vi fra et tidligere innlegg, hvor vi fant at hastigheten til raketten relativt til Narnia er \(\vec{v} = v_r \hat{e}_r + v_{\theta} \hat{e}_{\theta}\). Hvor \(v_r\) er den radielle farten til raketten relativt til Narnia, og \(v_{\theta}\) er den tangentielle farten. Hastigheten til raketten relativt til Narnia vil ikke ha en z-komponent siden vi bare vil bevege oss i xy-planet.
For ? finne hastigheten \(\vec{v}_{drag}\) til raketten relativt til atmosf?ren kan vi bruke det vi nettopp har funnet ut. Vi har n? uttrykk for b?de hastigheten til atmosf?ren og raketten relativt til planeten. Dermed kan vi finne hastigheten til raketten relativt til atmosf?ren ved simpel vektorregning. Vi f?r da:
\(\vec{v}_{drag} = \vec{v} - \vec{w} = (v_r,v_{\theta},0) - (0,\dfrac{2\pi r}{T},0) = (v_r,v_\theta - \dfrac{2\pi r}{T},0)\)
Vi setter dette uttrykket inn i v?r opprinnelige modell for luftmotstand, og vi f?r:
\(\vec{F}_d = \dfrac{1}{2}\rho C_d A (v_r,v_\theta-\dfrac{2\pi r}{T},0)^2\)
N? har vi alts? en modell for luftmotstand som raketten og landingsfart?yet vil oppleve som vil avhenge av dens tverrsnittsareal, og dens posisjon og hastighet relativt til planeten. N? er det p? tide ? unders?ke litt hvordan luftmotstanden faktisk vil p?virke raketten og landingsfart?yet n?r vi skal pr?ve ? f? Frodo og Sam til ? lande p? Narnia!
P? vei ned til Narnia
Vi skal f?rst se p? hvordan rakettens tangentielle hastighet med hensyn p? atmosf?ren vil utvikle seg over tid. Vi har n? funnet en modell for luftmotstanden, og den vil virke mot bevegelsesretningen. I den tangentielle retningen s? er det bare denne kraften som vil virke, siden gravitasjonen fra planeten bare vil virke radielt. Dermed vil luftmotstanden over tid bremse raketten i tangentiell retning, frem til raketten ikke lenger har bevegelse i denne retningen. Alts? etter hvert vil raketten ha ingen hastighet i tangentiell retning med hensyn p? atmosf?ren.
La oss n? se litt p? hvordan den radielle hastigheten vil utvikle seg over tid. P? grunn av gravitasjonen fra planeten, vil vi f? ?kende radiell hastighet. Men hvis du ser p? modellen v?r for luftmotstand, s? ser vi at denne kraften vil ?ke med rakettens radielle hastighet. Luftmotstanden vil v?re motsatt rettet fra gravitasjonen, og til slutt vil denne bli lik gravitasjonen p? grunn av den ?kende radielle hastigheten. Da vil raketten ha null akselerasjon i radiell retning, og da vil den radielle hastigheten bli konstant. Denne konstante hastigheten betegnes som terminalhastigheten.
Vi vil n? anta at den tangentielle hastigheten til raketten er lik 0, og vi vil finne et uttrykk for terminalfarten. N? skal vi se p? kreftene som er tilstede og bruke Newtons velkjente og velbrukte gravitasjonslov. Vi f?r:
\(\begin{align} \Sigma \vec{F} &= \vec{F}_d + \vec{F}_G = 0 \\ \vec{F}_d &= -\vec{F}_G \\ F_d &= F_G \\ \dfrac{1}{2} \rho C_d A v_r &= G \dfrac{mM}{r^2} \\ v_r &= \sqrt{\dfrac{2GmM}{r^2\rho C_dA}} \end{align}\)
Her har vi da et uttrykk for terminalfarten, som vi har funnet ved ? sette inn uttrykkene for luftmotstand og gravitasjon, hvor \(v_{drag}\) i luftmotstanden n? ikke lenger har en fart i tangentiell retning. Her er \(G\) gravitasjonskonstanten, \(m\) er massen til landingsfart?yet, \(M\) er massen til planeten, og \(r\) er avstanden til planeten. N? vil vi stokke litt om p? dette uttrykket slik at vi finner et uttrykk for tverrsnittsarealet. Dette vil vi finne siden den vil inkludere arealet til en eventuell fallskjerm (som vi mest sannsynlig vil trenge). Vi f?r da:
\(A = \dfrac{2GmM}{\rho C_d v_r^2r^2}\)
Vi vil n? bruke dette uttrykket for ? finne et estimat for tverrsnittsarealet n?r landingsfart?yet er n?r planetoverflaten. Vi vil da bruke \(v_r = 3m/s\), som er den maksimale farten n?dvendig for en myk landing, siden vi vil jo aller helst ikke krasje i Narnia! N?r overflaten til planeten vil lufttettheten v?re omtrent \(\rho = \rho_0\), som er kjent. Videre har vi at massen til landingsfart?yet er lik \(90kg\). Siden vi er n?rt planetoverflaten vil vi bruke at avstanden \(r\) til planeten er omtrent lik radien til planeten. Vi f?r da et estimat for tverrsnittsarealet:
\(A \approx \dfrac{2 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}\cdot 90kg \cdot 1.50 \cdot 10^{24}kg}{3.30kg/m^3 \cdot 1 \cdot (3m/s)^2 \cdot (3.82 \cdot 10^{6}m)^2} \approx 41.61m^2\)
Dette estimatet kan vi bruke senere for ? hjelpe oss f? en myk landing. Men vi tar dette estimatet med en klype salt, siden det tross alt er et estimat og vi har brukt noen forenklinger!
I tillegg til en fallskjerm for ? hjelpe oss f? en myk landing, s? kan vi ogs? bruke landingsthrustere for ? bremse hastigheten til landingsfart?yet. Vi vil n? finne et uttrykk for denne bremsende kraften, som vi betegner som \(F_L\). Vi antar at p? det tidspunktet vi eventuelt trenger ? bruke disse thrusterne, s? har landingsfart?yet oppn?dd terminalfart, og da er \(F_d = F_G\). P? dette tidspunktet s? vil vi bare ha disse tre kreftene som virker p? landingsfart?yet, hvor gravitasjonen virker innover mot planeten, mens luftmotstanden og thrusterne virker i motsatt retning i forhold til gravitasjonen. Dermed f?r vi at \(F_L = F_G - F_d\). Vi vil at \(F_L = 0\) hvis vi har oppn?dd den maksimale farten for en myk landing, som er \(v_{safe} = 3m/s\). Vi bruker da at uttrykket for luftmotstanden vil avhenge av \(v_{safe}\), og gravitasjonen vil avhenge av termianlfarten \(v_t\). Vi f?r da f?lgende uttrykk ved bruk av v?r modell for luftmotstand:
\(F_L = \dfrac{1}{2} \rho_0 A v_t^2 - \dfrac{1}{2}\rho_0 A v_{safe}^2 = \dfrac{1}{2}\rho_0A(v_t^2 - v_{safe}^2)\)
Siden vi vil v?re n?rt overflaten til planeten bruker vi her at \(\rho = \rho_0\), og vi har satt inn for \(C_d = 1\). Her har vi alts? et uttrykk for kraften til eventuelle landingsthrustere, som vi vil trenge hvis raketten har en terminalfart st?rre enn den maksimale farten for en myk landing, alts? hvis \(v_t > v_{safe}\).
N? har vi alt vi forel?pig trenger p? plass, og vi skal videre begynne ? simulere selve landingen av landingsfart?yet. F?lg med videre i neste innlegg (link)!