Er vi i stabil bane?

N? som vi endelig har kommet i bane rundt Narnia, s? vil vi gjerne vite hvordan denne banen ser ut! Vi vil s? klart g? i en elliptisk bane, men vi vil finne ut mer n?yaktig hvordan denne vil v?re. I v?re dr?mmer g?r vi i en perfekt sirkelbane rundt Narnia. Les videre for ? se om v?re dr?mmer g?r i oppfyllelse, eller i hvert fall nesten h?per vi!

Bakgrunnsinfo - for vi vil ikke at du skal g? inn i blinde!

Vi har gjerne lyst ? g? i en tiln?rmet sirkul?r bane rundt Narnia, siden da vil landingen v?r senere bli lettere. Dette er fordi i en tiln?rmet sirkul?r bane s? vil raketten beholde omtrent samme avstand til Narnia hele tiden, og farten vil ogs? holde seg tiln?rmet konstant. Hvis vi g?r i en annen type elliptiske bane, som har st?rre eksentrisitet (\(e=0\) for sirkelbaner), s? vil b?de avstanden og farten variere i st?rre grad. Hvis banen har stor eksentrisitet, s? kan vi tydelig se en forskjell i fart ved periapsis (h?y fart) og ved apoapsis (lav fart). Dette er fordi gravitasjonen fra Narnia vil p?virke farten til raketten, og jo n?rmere vi er Narnia, jo st?rre fart vil vi f?. La oss n? unders?ke hvordan banen v?r vil se ut, og vi krysser fingrene p? at den er tiln?rmet sirkul?r!

F?rst vil jeg ta en kjapp liten gjennomgang av begreper relatert til elliptiske baner. Vi har diskutert ellipser tidligere, s? n? skal jeg bare ta en kort oppsummering.

I figur 1 kan du se en tegning av en elliptisk bane med diverse tegn. Her er \(a\) den store halvaksen, \(b\) er den lille halvaksen, \(e\) er eksentrisiteten, \(\vec{r}\) er vektoren fra \(m_1\) til \(m_2\), og \(\theta\) er vinkelen mellom \(m_2\) og periapsis. Apoapsis er det punktet i banen som er lengst unna \(m_1\), mens periapsis er det punktet som er n?rmest. Du husker kanskje at vi brukte begrepene aphelium og perihelium tidligere, men disse brukes bare n?r man omtaler baner rundt sola, og n? ser vi jo p? banen til raketten rundt Narnia. Det er disse ulike st?rrelsene som definerer hvordan en elliptisk bane skal se ut, og er dermed hva vi snart skal finne. F?rst skal jeg vise enda en tegning som forh?pentligvis vil hjelpe med forst?elsen til andre st?rrelser vi skal unders?ke straks.

I figur 2 kan du se \(m_2\) som beveger seg i referansesystemet til \(m_1\), som vil si at \(m_1\) st?r i ro i origo. Jeg har tegnet inn enhetsvektorene i b?de kartesiske- og kulekoordinater, siden vi vil bruke dette snart n?r vi skal unders?ke posisjon og hastigheter.

Hvordan beveger vi oss i forhold til Narnia?

For ? kunne finne alle st?rrelsene som definerer v?r elliptiske bane, s? trenger vi ? vite noen andre st?rrelser f?rst. Vi skal n? finne avstanden \(r\) mellom Narnia og raketten, den radielle hastigheten \(v_r\) til raketten observert fra Narnia, og den tangentielle hastigheten \(v_{\theta}\) til raketten.

Etter hjelpen vi fikk fra v?re venner i NASA, s? kan vi n? orientere oss slik at vi vet rakettens posisjon og hastighet i forhold til Narnia. Hvis vi ikke hadde f?tt denne hjelpen, s? m?tte vi ha funnet disse verdiene ved ? endre referansesystem fra stjernen i sentrum til Narnia i sentrum. Oppgaven v?r er dermed blitt en del enklere, men jeg vil likevel forklare hvordan vi ville ha funnet disse st?rrelsene hvis vi ikke hadde f?tt litt hjelp fra NASA.

Vi kan finne avstanden mellom Narnia og raketten ved litt enkel vektorregning. F?rst finner vi posisjonsvektoren til raketten sett fra Narnia. Dette finner vi ved ? trekke posisjonsvektoren til Narnia fra posisjonsvektoren til raketten sett fra stjernen v?r (illustrert i figur 3). Da f?r vi \(\vec{r} = \vec{R}_r - \vec{R}_p\). Videre kan du nok enkelt se at vi finner avstanden \(r\) ved ? simpelthen ta lengden av \(\vec{r}\).

Den radielle hastigheten er, som du kanskje husker, hastigheten til et legeme observert fra et annet. Denne kan vi n? finne ved ? tenke litt intuitivt, siden hastigheten som Narnia vil se at raketten har bare vil v?re endringen i avstanden mellom de over tid. Alts? \(v_r = \dfrac{dr}{dt}\). Vi har ogs? et uttrykk for denne avstanden som er tidsavhengig, nemlig \(r = \sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\), som best?r av komponentene til rakettens posisjonsvektor sett fra Narnia. Da kan vi finne den radielle hastigheten ved ? derivere dette uttrykket med hensyn p? tid, og vi f?r da:

\(v_r = \dfrac{xv_x + yv_y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

Hvor \(v_x\) og \(v_y\) er hastighetskomponentene til raketten i Narnias referansesystem. For ? finne den tangentielle hastigheten \(v_{\theta}\) til raketten s? kommer enhetsvektorene fra figur 2 til nytte. Vi har at \(\vec{e}_r = cos\theta\vec{e}_x + sin\theta\vec{e}_y\) og \(\vec{e}_{\theta} = -sin\theta\vec{e}_x + cos\theta\vec{e}_y\), som vi f?r fra ? studere figur 2. Videre finner vi hastigheten i kulekoordinater, og vi har at 

\(\begin{align} \vec{v} &= \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\vec{e}}_r \\&= \dot{r}\vec{e}_r + r(-\dot{\theta}sin\theta\vec{e}_x + \dot{\theta}cos\theta\vec{e}_y) \\&= \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_{\theta} \\&= v_r\vec{e}_r + v_{\theta}\vec{e}_{\theta} \end{align}\)

Hvor en prikk over et symbol betyr den deriverte av det gitte symbolet. Fra dette f?r vi \(v^2 = v_r^2 + v_{\theta}^2\), som vi kan bruke for ? finne den tangentielle hastigheten til raketten, siden b?de \(v\) og \(v_r\) er kjent. N? har vi funnet alle st?rrelsene vi trenger for ? kunne g? videre for ? finne ut hvordan banen v?r ser ut!

Hvordan finner vi st?rrelsene som definerer banen v?r?

Vi vil videre anta at vi ser p? et tolegeme-system, alts? at de eneste kreftene som virker er mellom legemene. Vi starter med ? finne den store halvaksen \(a\) til banen v?r. Da starter vi med ? finne den totale energien til systemet, som vi har et uttrykk for fra tidligere som ser slik ut:

\(E = \dfrac{1}{2}\hat{\mu}v^2 - \dfrac{GM_{tot}\hat{\mu}}{r}\)

Hvor \(M_{tot}=M+m\), og \(\hat{\mu} = \dfrac{Mm}{M+m}\) er den reduserte massen til systemet. Siden massen \(M\) til Narnia er mye st?rre enn massen \(m\) til raketten, kan vi forenkle dette til \(\hat{\mu} \approx m\). Vi kan omformulere dette uttrykket ved hjelp av uttrykket vi fant for hastigheten og ved den generelle l?sningen p? tolegeme-problemet som ser slik ut:

\(r = \dfrac{p}{1 + ecosf}\)

Hvor \(p\) er bevegelsesmengden, og \(f= \theta -w\), der \(w\) er en konstant bestemt av initialbetingelsene. Da omformulerer vi uttrykket for totalenergien og f?r:

\(E = \dfrac{G\hat{\mu}M_{tot}}{2p}(e^2-1)\)

For de som er spesielt interesserte, s? kan du finne utledningen for dette uttrykket p? side 6-8 her. Som du kanskje husker fra tidligere, s? har vi et uttrykk for elliptiske baner som ser slik ut:

\(r = \dfrac{a(1-e^2)}{1+ecosf}\)

Vi kombinerer dette uttrykket med uttrykket for den generelle l?sningen p? tolegeme-problemet og uttrykket for totalenergien, og vi f?r da:

\(a = \dfrac{GmM}{2\lvert E \rvert}\)

Vi f?r dette uttrykket siden vi vet at totalenergien vil v?re negativ, fordi vi har en elliptisk bane. Som du kanskje husker fra tidligere, s? var totalenergien for tolegeme-problemet mellom hjemplaneten v?r og stjernen ogs? negativ, fordi det var en elliptisk bane. Her kan vi ogs? se at \(m\) vil kanselleres ut av \(m\) i uttrykket for totalenergien, s? da er alts? den store halvaksen uavhengig av massen til raketten. Dette er fordi massen til raketten er mye mindre enn massen til Narnia.

Vi beveger oss videre og skal n? finne periodetiden til raketten rundt Narnia. Dette kan vi finne ved bruk av Keplers tredje lov, som vi har diskutert tidligere. Da f?r vi:

\(P^2 = \dfrac{4\pi^2a^3}{G(M+m)} \approx \dfrac{4\pi^2a^3}{GM}\)

Hvor \(P\) er periodetiden, og vi kan igjen forenkle uttrykket litt ved ? vite at massen til Narnia er mye st?rre enn massen til raketten. Videre skal vi n? finne avstanden til apoapsis og periapsis fra Narnia. Dette kan vi finne ved ? se p? uttrykket for elliptiske baner, og s? unders?ke hva \(r\) er for \(\theta = 0^{\circ}\) og \(\theta = 180^{\circ}\). Vi bruker disse vinklene fordi de vil v?re vinkelen mellom raketten og periapsis henholdsvis n?r raketten er ved periapsis og n?r den er ved apoapsis. Da f?r vi:

\(r_P = \dfrac{a(1-e^2)}{1+ecos(0^{\circ})} = \dfrac{a(1-e)(1+e)}{1+e} = a(1-e) \\ r_A =\dfrac{a(1-e^2)}{1+ecos(180^{\circ})} = \dfrac{a(1-e)(1+e)}{1-e} = a(1+e)\)

Alts? avstanden til apoapsis fra planeten vil v?re \(r_A = a(1+e)\), og avstanden til periapsis vil v?re \(r_P = a(1-e)\). Dette kan vi ogs? lett se ved ? se p? figur 1, at avstanden til apoapsis vil v?re \(a+ae\), og avstanden til periapsis vil v?re \(a -ae\).

N? skal vi finne den lille halvaksen, og den finner vi ved ? bruke en likning kalt vis-viva-likningen. Jeg skal ikke utlede denne her, men for de som er interesserte kan du finne en utledning p? side 6 her. Denne likningen ser slik ut:

\(v^2 = GM \left( \dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a} \right)\)

Vi vil s? bruke denne likningen for ? hjelpe oss finne spinnet til systemet, for s? ? finne den lille halvaksen. Siden vi ser p? et tolegeme-system vil vi ikke ha noen ytre kraftmoment, og dermed vil spinnet v?re bevart. Alts? for et hvert punkt i ellipsebanen, s? vil spinnet \(L = m \cdot (\vec{r} \times \vec{v}) = konstant\). Hvis spinn er et litt ukjent fenomen, s? kan de som er interessert sjekke ut denne linken. Du trenger ikke bekymre deg hvis du ikke vet hva spinn er, s? lenge du klarer ? lese formlene jeg oppgir s? skal du nok klare ? henge med! Videre vil vi se p? hastigheten og spinnet ved apoapsis og periapsis. Ved disse punktene vil hastigheten \(\vec{v}\) st? vinkelrett p? posisjonen \(\vec{r}\), og da f?r vi \(L = mr_A v_A = mr_P v_P\). Vi vil ogs? bruke at \(r_A + r_P = 2a\) og \(r_A r_P = b^2\). Vi finner n? hastigheten ved apoapsis og periapsis ved vis-viva-likningen:

\(\begin{align} v_A^2 &= GM \left( \dfrac{2}{r_A} - \dfrac{1}{a} \right) = \dfrac{GM}{a} \left( \dfrac{2a-r_A}{r_A} \right) \\ &= \dfrac{GM}{a} \left( \dfrac{r_P}{r_A} \right) = \dfrac{GM}{a} \left( \dfrac{b}{r_A} \right)^2 \\ v_P^2 &= GM \left( \dfrac{2}{r_P} - \dfrac{1}{a} \right) = \dfrac{GM}{a} \left( \dfrac{2a-r_P}{r_P} \right) \\ &= \dfrac{GM}{a} \left( \dfrac{r_A}{r_P} \right) = \dfrac{GM}{a} \left( \dfrac{b}{r_P} \right)^2 \end{align}\)

Med dette resultatet kan vi videre finne spinnet:

\(L = mr_Av_A = mr_P v_P = mb\sqrt{\dfrac{GM}{a}}\)

Vi definerer posisjonen og hastigheten i tre dimensjoner, ved \(\vec{r} = (r, 0, 0)\) og \(\vec{v} = (v_r, v_{\theta}, 0)\). Da kan vi finne enda et uttrykk for spinnet ved ? l?se kryssproduktet, og vi f?r; \(L = mrv_{\theta}\). Vi kombinerer s? disse uttrykkene for spinn og f?r et uttrykk som vi kan bruke for finne den lille halvaksen:

\(rv_{\theta} = b\sqrt{\dfrac{GM}{a}}\)

Det aller siste vi mangler er eksentrisiteten, som vi n? lett kan finne siden vi har b?de den store og lille halvaksen. Da finner vi eksentrisiteten ved f?lgende uttrykk:

\(e = \sqrt{1- \left( \dfrac{b}{a} \right)^2}\)

N? har vi alle formlene, uttrykkene, st?rrelsene, you name it, som vi trenger for ? kunne finne ut hvordan v?r ellipsebane ser ut! La oss n? bruke all v?r nye kunnskap!

N?yaktig hvordan ser banen v?r ut?

Etter masse teori og utregninger, skal vi n? anvende dette p? dataen vi har og endelig finne ut hvordan banen v?r rundt Narnia ser ut! Vi bruker uttrykkene som vi har diskutert tidligere i dette innlegget, og setter inn verdier fra dataene v?re. Dette blir mange uttrykk og st?rrelser, s? jeg setter alt inn i en tabell s? det forh?pentligvis blir pent og oversiktlig for v?re kj?re lesere. Vi tester verdiene v?re for like etter vi kommer i bane rundt Narnia, og s? tester vi de samme verdiene etter vi har tatt 8 runder rundt planeten.

I tabellen ovenfor kan du i andre kolonne se diverse verdier for banen til raketten like etter den kommer i bane rundt Narnia. Her kan vi umiddelbart se at vi ikke har en perfekt sirkul?r bane, siden eksentrisiteten ikke er lik 0. S?ren klype! Likevel ser vi at eksentrisiteten er veldig liten, og ved ? studere de andre verdiene litt n?rmere s? kan vi se at vi det er liten forskjell mellom store og lille halvakse, og mellom avstanden til apoapsis og periapsis. Dette betyr at banen til raketten er ganske sirkul?r, selv om den ikke er perfekt. Jippi! Dette lyder godt for v?re ?rer! Likevel er det nok litt vanskelig ? se for seg hvor sirkul?r denne banen er basert p? noen tallverdier, s? jeg slenger med en figur som viser banen til raketten rundt Narnia.

I figur 4 kan du se hvordan raketten vil g? i bane rundt Narnia. Dette ser jammen meg veldig sirkul?rt ut! V?r tolkning av verdiene i tabell 1 ser alts? ut til ? stemme overens med figuren, og vi har en ganske sirkul?r bane.

Vi ser videre p? periodetiden at raketten bruker 6.8 timer p? en runde rundt Narnia. Til sammenlikning s? bruker ISS (International Space Station) omtrent 90 minutter, alts? 1.5 timer, p? en runde rundt jorda. Denne differansen kommer nok av at raketten v?r g?r i litt h?yere bane rundt planeten enn ISS. Ved ? se p? resultatet v?rt for avstanden \(r\) og radiusen til Narnia, som er 3817km, s? ser vi at vi g?r i bane omtrent 13000km over overflaten til Narnia. ISS g?r derimot i bane med en h?yde p? omtrent 400km over havniv?et p? jorda. N? gir det vel litt mening hvorfor periodetidene er litt forskjellige.

Men vil denne banen som vi har beregnet fra verdier like etter vi kom i bane holde seg over tid? Vi bruker periodetiden som vi fant, og lar raketten g? rundt Narnia 8 ganger, s? orienterer vi oss p? nytt og finner posisjonen og hastigheten til raketten. Vi bruker dette for ? finne verdiene i tredje kolonne i tabell 1. Her ser vi lignende resultater som for like etter vi kom i bane rundt Narnia. Eksentrisiteten er fremdeles lav, og det er liten forskjell mellom store og lille halvakse, og mellom avstanden til apoapsis og periapsis. Banen har alts? holdt seg ganske sirkul?r.

Men hvor mye har egentlig banen endret seg over dette tidsrommet? Vi beregner det relative avviket, som du kan se i fjerde kolonne i tabell 1. Der ser vi at alle avvikene, bortsett fra radiell fart, er veldig sm?. Det fullstendige avviket i radiell fart kommer fra at denne verdien like etter vi kom i bane er lik \(0m/s\), s? for alle andre verdier vi sammenligner med som er forskjellig fra 0 s? vil avviket v?re lik \(100\%\). Basert p? at det relative avviket mellom de resterende verdiene er s?pass liten (alle under \(1\%\)), kan vi si at banen holder seg ganske stabil.

Raketten vil alts? g? i en ganske stabil bane basert p? resultatene v?re! Vi er storforn?yde og gir en stor applaus til v?re venner p? NASA som hjalp oss p? veien! N? er det p? tide ? gj?re litt unders?kelser og forberedelser til at Frodo og Sam skal lande p? Narnia. F?lg med videre og se hvordan vi skal klare dette!