Vi skal alts? studere energien i systemet fra simuleringen v?r for ? teste om simuleringen er rimelig. Vi har antatt at det ikke virker noen ytre krefter p? systemet og da vil totalenergien v?re bevart. Men hvilket uttrykk for totalenergi skal vi bruke n?r vi er i referansesystemet til massesenteret? Dette uttrykket skal vi n? utlede f?r vi skal bruke det for ? teste v?r numeriske simulering!
F?rst skal vi ha en liten oppfriskning p? hvordan man bytter referansesystem til massesenteret. Da er det fint ? ha en liten figur for ? hjelpe oss ? forst? systemet bedre. Dette er alltid et lurt triks!
N?r vi skal bytte om til referansesystemet til massesenteret vil vi se p? hvordan stjernen og planeten beveger seg i forhold til massesenteret. Da vil vi bruke vektorene \(\vec{r_1}^{CM}\) og \(\vec{r_2}^{CM}\), som er illustrert i figur 1. Vi trenger enda en viktig formel, og det er formelen for massesenter, som du kanskje husker. Hvis ikke, s? skal vi gjenta den for deg. Vi har alts? at posisjonsvektoren fra origo til massesenteret mellom to legemer er definert som:
\(\vec{R} = \dfrac{m_1}{M}\vec{r_1} + \dfrac{m_2}{M}\vec{r_2}\)
Hvor \(M = m_1 + m_2\), og vektorene er retningsvektorene fra origo til henholdsvis m1 og m2. Vi har ogs? at vektoren mellom m1 og m2 er definert som \(\vec{r} = \vec{r_1} - \vec{r_2}\). Hvis du studerer figur 1 litt, s? kan du nok se at vi ved litt enkel vektorregning f?r at:
\(\vec{r_1}^{CM} = \vec{r_1} - \vec{R} = \dfrac{m_2}{M}\vec{r}\)
\(\vec{r_2}^{CM} = \vec{r_2} - \vec{R} = -\dfrac{m_1}{M}\vec{r}\)
N? som vi har uttrykk for disse vektorene s? kan vi begynne ? finne uttrykk for energien. I massesentersystemet vil den eneste kraften som virker v?re gravitasjonskraften mellom legemene. Denne kunnskapen vil snart komme til nytte n?r vi skal finne den potensielle energien. Vi vet at totalenergien i et system er definert som den kinetiske energien pluss den potensielle, og vi vil bruke dette for ? finne totalenergien i v?rt system. S? la oss begynne!
Vi har alts? at \(E = K + U\), hvor E er totalenergien, og K og U er henholdsvis kinetisk og potensiell energi. Du vet nok allerede uttrykket for kinetisk energi, men bare for oppfriskning s? er dette \(K = \dfrac{1}{2}mv^2\), hvor m er massen og v er hastigheten. Videre har vi at den potensielle energien er definert som \(U(r) = -\int{Fdr}\), hvor F er kraften og r er hva kraften er avhengig av, som i v?rt tilfelle er radiusen r. Vi bruker s? denne kunnskapen for ? finne totalenergien i v?rt system.
Siden b?de stjernen og planeten vil v?re i bevegelse i massesentersystemet, m? vi se p? de kinetiske energien til begge. N?r vi skal se p? den potensielle energien skal vi se p? gravitasjonskraften som virker fra stjernen p? planeten. Da f?r vi:
\(E = K +U = \dfrac{1}{2}m_1(\lvert\dot{\vec{r_1}}^{CM}\rvert)^2 + \dfrac{1}{2}m_2(\lvert\dot{\vec{r_2}}^{CM}\rvert)^2 - \int{Fdr}\)
Hvor prikken over vektorene betyr at vi deriverer vektorene, alts? vi deriverer posisjonsvektoren for ? finne hastighetsvektoren. Vi implementerer deretter uttrykkene vi fant for vektorene, og Newtons gravitasjonslov, slik at vi f?r:
\(E = \dfrac{1}{2}m_1(\dfrac{m_2}{M}\lvert\dot{\vec{r}}\rvert)^2 + \dfrac{1}{2}m_2(-\dfrac{m_1}{M}\lvert\dot{\vec{r}}\rvert)^2 - \int{-\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}dr}\)
Hvor G er gravitasjonskonstanten, og r er lengden til vektoren \(\vec{r}\) mellom m1 og m2. Vi fortsetter videre:
\(E = \dfrac{1}{2}\dot{\lvert\vec{r}}\rvert^2(\dfrac{m_1m_2^2 + m_1^2m_2}{(m_1+m_2)^2}) - \dfrac{Gm_1m_2}{r}\)
Her ser vi at vi kan krysse ut noen masser. Vi har ogs? et uttrykk for den s?kalte reduserte massen, som er \(\hat{\mu} = \dfrac{m_1m_2}{M}\). Vi krysser dermed det vi kan og implementerer den reduserte massen slik at vi f?r:
\(E = \dfrac{1}{2}\hat{\mu}v^2 - \dfrac{GM\hat{\mu}}{r}\)
Her har vi et uttrykk for totalenergien, hvor \(v = \lvert\dot{\vec{r}}\rvert\) er den relative hastigheten, \(r = \lvert\vec{r}\rvert\) er den relative distansen, G er gravitasjonskonstanten, \(\hat{\mu}\) er den reduserte massen og M er den totale massen.
N? som vi har et uttrykk for totalenergien kan vi endelig teste simuleringen v?r! Vi implementerer dette uttrykket i simuleringen og lager ett plott for energien i systemet. Vil totalenergien v?re bevart slik som forventet?
I figur 2 kan vi se energien i tolegemeproblemet v?rt i massesentersystemet. Vi kan se p? grafen for totalenergien, alts? E, at den er bevart siden grafen er line?r. Jippi! Simuleringen oppf?rer seg som forventet! Vi kan ogs? se i figuren at den kinetiske og potensielle energien, henholdsvis K og U, vil oscillere som sinus/cosinus-kurver. Hvis vi ser n?rmere p? disse kurvene vil vi se at tiden for en periode er lik perioden til hjemplaneten rundt stjernen, alts? omtrent 1.8 ?r. Men hvorfor vil disse oscillere tenker du kanskje? Dette er jo fordi planeten g?r i ellipsebane rundt stjernen! Ved ? se p? uttrykket for potensiell energi vil den v?re mer negativ jo n?rmere planeten er stjernen, og den vil g? n?rmere 0 jo lenger unna planeten er. Den kinetiske energien vil v?re st?rre n?r planeten er n?r stjernen siden der er hastigheten st?rre. Dermed f?r vi oscillerende kurver for potensiell og kinetisk energi.
Noe du kanskje lurer p? ved ? se p? figur 2, er hvorfor blir totalenergien negativ? Hvordan kan dette v?re rimelig da? Dette er p? grunn av hvordan den potensielle energien er definert. N?r man studerer store avstander, i v?rt tilfelle mellom stjerne og planet, er det vanlig ? definere nullniv?et i gravitasjonsfeltet til stjernen som uendelig langt vekk fra stjernen. N?r vi da ser p? legemer i en endelig avstand fra stjernen, vil den potensielle energien da v?re negativ. Og i v?r simulering spiller den negative potensielle en st?rre rolle i totalenergien enn den positive kinetiske, og dermed f?r vi negativ totalenergi.
N? som vi har testet at simuleringen er rimelig kan vi g? videre for ? teste om det er mulig for ekstrasolare vesener ? se planeten v?r. F?lg med videre!