Husker du Keplers 3. lov? Hvis ikke kan du ta en kikk her. Som du kanskje har skj?nt, trenger vi ? finne store halvakse \(a\) og perioden \(P\) til planetene for ? gjennomf?re denne testen. Ikke fortvil, disse har vi funnet allerede. En oversikt over dem finner du her:
| Planet | Store halvakse (i km) | Periode (i ?r) |
|---|---|---|
| 1 | \(2.65 \cdot 10^{11}\) | 1.79 |
| 2 |
\(3.92 \cdot 10^{11} \) |
3.22 |
| 3 | \(6.32 \cdot 10^{11}\) | 6.59 |
| 4 | \(2.50 \cdot 10^{12}\) | 52.3 |
| 5 | \(1.90 \cdot 10^{12}\) | 34.3 |
| 6 | \(1.28 \cdot 10^{12}\) | 19.1 |
| 7 | \(8.33 \cdot 10^{11}\) | 10.0 |
| 8 | \(1.47 \cdot 10^{11}\) | 0.74 |
Har vi funnet riktige verdier for store halvakse?
Vi vet allerede hva planetenes store halvakser er, s? vi kan sammenligne tallene vi fikk med disse. Tallene vi fikk er nemlig regnet ut fra de simulerte banene. Vi setter over en kanne med kaffe og g?r i gang med arbeidet. ? bare se p? differansen mellom de faktiske og de simulerte verdiene vil ikke v?re spesielt instruktivt. Vi vil vite hvor stort avviket er p? en mer h?ndgripelig form. Aha, mhm, vi finner det i prosent! Se her:
| Planet | Store (simulerte) halvakse (i km) | Store (faktiske) halvakse (i km) | Avvik (i prosent) |
|---|---|---|---|
| 1 |
\(2.65 \cdot 10^{11}\) |
\(2.65 \cdot 10^{11}\) |
\(7.44 \cdot 10^{-7}\) |
| 2 |
\(3.92 \cdot 10^{11} \) |
\(3.93 \cdot 10^{11} \) |
\(6.82 \cdot 10^{-2}\) |
| 3 |
\(6.32 \cdot 10^{11}\) |
\(6.32 \cdot 10^{11}\) |
\(3.30 \cdot 10^{-2}\) |
| 4 |
\(2.50 \cdot 10^{12}\) |
\(2.51 \cdot 10^{12}\) |
\(4.67 \cdot 10^{-1}\) |
| 5 |
\(1.90 \cdot 10^{12}\) |
\(1.90 \cdot 10^{12}\) |
\(1.18 \cdot 10^{-1}\) |
| 6 |
\(1.28 \cdot 10^{12}\) |
\(1.28 \cdot 10^{12}\) |
\(6.05 \cdot 10^{-3}\) |
| 7 |
\(8.33 \cdot 10^{11}\) |
\(8.35 \cdot 10^{11}\) |
\(2.20 \cdot 10^{-1}\) |
| 8 |
\(1.47 \cdot 10^{11}\) |
\(1.48 \cdot 10^{11}\) |
\(1.21 \cdot 10^{-1}\) |
Som du ser er standardavvikene megasm?! Vi jubler i kor. Husk at disse avvikene er oppgitt i prosent, noe som betyr at de alle er under 1%. De simulerte banene v?re ser ut til ? stemme godt overens med de analytiske. N? er det p? tide ? sjekke om verdiene for periodetid og store halvakse korrelerer slik Kepler mente de skulle! Vi tar utgangspunkt i Keplers 3. lov \(P^2 = a^3\), og skriver den om til \(Differanse = P - a^{3/2}\). Dette er differansen for alle planetene i solsystemet v?rt:
Differanse funnet fra Keplers 3. lov:
| Planet | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Differanse (i ?r) | 0.57 | 1.02 | 2.09 | 16.2 | 10.9 | 6.08 | 3.14 | 0.23 |
Dersom de simulerte banene v?re hadde fulgt Keplers 3. lov til punkt og prikke, ville denne differansen blitt tiln?rmet 0. Det er den ikke. Men vi kan sammenligne disse tallene med perioden til planetene. For planet 1 kan vi se at denne differansen er p? ca. 32% av perioden. Det er litt h?yt, men kanskje ? forvente. Newton kom senere og gjorde en korreksjon i Keplers 3. lov, som gjorde den mer n?yaktig. Den er slik: \(P^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(m_{star})}\). Vi finner s? differansen her ogs?.
| Planet | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Differanse (i ?r) | 0.78 | 1.41 | 2.87 | 23.0 | 15.0 | 8.32 | 4.38 | 0.32 |
Vi ser at differansen her faktisk blir litt st?rre for alle planetene! Det er interessant, den burde blitt mindre dersom vi antar at denne er mer riktig enn den originale versjonen av Keplers 3. lov. Det tyder p? at det kanskje er noe galt i beregningene v?re.
For ? regne ut store halvakse la vi sammen st?rste og minste radius i planetbanene og delte p? to. N?r vi allerede hadde en oversikt over hvordan radien til planetbanene endret seg, plottet vi disse med tiden for moro skyld. Da kunne vi f? en mer intuitiv forst?else for hvor planetene v?re var i forhold til hverandre, og hvor store banene deres var. Ta en kikk hvis du har tid (dette er ikke direkte relevant):
