Etter lang tid med masse arbeid har vi til slutt klart ? f? sendt Frodo og Sam opp i verdensrommet fra deres hjemplanet Middle-earth! Men s? kommer sp?rsm?let, hvordan ser dette ukjente solsystemet ut, og hvor i dette solsystemet befinner vi oss? F?rst skal vi finne ut av dette mysteriet ved litt analytisk regning. For det f?rste vet vi fra Keplers f?rste lov at planeter beveger seg i ellipser rundt solen, som vi vil g? n?rmere inn p? senere. Siden vi vet dette, kan vi uttrykke en planets elliptiske bane ved hjelp av avstanden r fra stjernen, som vi plasserer i origo. Da f?r vi f?lgende uttrykk:
\(r = {a(1 - e^2)\over 1 + ecosf}\)
Hvor a er den store halvaksen, og e er eksentrisiteten definert som \(e = {\sqrt{1-(b/a)^2}}\). b er den lille halvaksen og f er den sanne anomalien, som er vinkelen mellom planeten og perihelium, sett fra stjernen og m?lt i bevegelsesretningen til planeten. Perihelium er punktet i planetens bane som er n?rmest stjernen, og til motsetning er aphelium det punktet som er lengst unna. Dette kan kanskje virke litt ukjent eller vanskelig ? forst?, og hvis dette er tilfellet kan det v?re lurt ? sjekke ut denne linken om ellipser, og studere figur 1, som kan gi en bedre forst?else av elliptiske baner.
Vi bruker deretter formelen for elliptiske baner til ? lage et plott av planetbanene v?re. Men vent litt... N? har vi jammen meg glemt noe! Kan du tenke deg hva dette kan v?re? Vi finner ut straks!
I figur 2 kan dere se v?r analytiske l?sning for hvordan planetene vil g? i bane rundt stjernen. Men hvordan vil dette stemme overens med en numerisk simulering? La oss sjekke!
I den numeriske simuleringen m? vi estimere noen verdier i starten, som vi kanskje m? endre p? senere. Disse verdiene er hvor lenge vi skal la simuleringen kj?re og antall tidssteg vi skal bruke. Vi vil la simuleringen kj?re tiden det tar for hjemplaneten v?r ? g? rundt stjernen 20 ganger. Men hvordan kan vi vite hvor lang tid dette tar uten ? ha simulert banene? Vi vil bruke Keplers tredje lov som gir oss oml?pstiden til en planet rundt en stjerne. Vi vil komme tilbake til Kepler senere! Neste sp?rsm?l er hvor mange tidssteg er n?dvendig for en n?yaktig nok simulering? Vi tester oss f?rst fram med 10 000 steg per ?r, og ser hvilke resultater dette gir oss. I slike simuleringer bruker man integrasjon for ? oppdatere posisjon, hastighet og akselerasjon for hvert tidssteg. Det finnes flere mulige integrasjonsmetoder man kan bruke, men vi har valgt ? bruke en metode kalt leapfrog, da denne er ganske n?yaktig og vil bevare energi. N? er det endelig p? tide ? simulere! Vil v?rt harde arbeid gi utvinning slik at banene er riktige?
Som du kan se i figur 3 er det ikke fullstendig overlapp mellom de analytiske og de numeriske banene. Vi river oss i h?ret, dette var ikke resultatene vi ?nsket og forventet. V?r v?te dr?m var et plott der de stiplede linjene ikke ville v?re synlige engang fordi det var s? perfekt overlapp med de heltrukne. Men dr?mmer g?r sjeldent i oppfyllelse, og simulerte planeter oppf?rer seg ikke alltid slik man ?nsker at de skal. Etter ? ha kostet opp h?ret vi rev ut i fortvilelse, satt vi oss p? nytt ned foran datamaskinen. Hva kan ha g?tt galt? ?n ?penbar tabbe vi gjorde var ? kj?re simuleringen v?r kun for tiden hjemplaneten v?r bruker p? 20 runder rundt stjerna. Som du ser var ikke dette lang nok tid for at den ytterste planeten i solsystemet v?rt rakk ? gjennomf?re én runde engang. I tillegg er det fare for at vi har glemt ? ta hensyn til noe i de analytiske banene. Har du klart ? komme fram til hva dette er enda? Hvis vi legger alle bekymringer til side, kan vi n? likevel se at planetbanene v?re er elliptiske! Dette er i alle fall konsistent med Keplers 1. lov.
Vi sendte v?re numeriske resultater til hovedkvarteret p? Middle-earth, og Gandalf fortalte oss da at disse banene er ganske n?yaktige! Det st?rste relative avviket var for planet 7 som kom p? avveie med omtrent 0.1% fra dens faktiske posisjon. Dette var lovende tall! Klarer vi derimot ? f? mer n?yaktige baner hvis vi justerer litt p? antall tidssteg? Vi pr?ver ? doble antall tidssteg til 20 000 per ?r, og n? forteller Gandalf oss at det st?rste relative avviket var igjen for planet 7, som n? er p? avveie med omtrent 0.05% fra dens faktiske posisjon. Det relative avviket for planet 7 halverte seg dermed n?r vi doblet antall tidssteg! Vi sier oss forn?yd med disse tallene, og g?r videre til et litt mer ?penbart problem.
De numeriske og analytiske banene stemmer fremdeles ikke overens med hverandre! Etter litt assistanse fra Gandalf vet vi at de numeriske banene hadde lite relativt avvik fra de faktiske planetbanene. Da m? det v?re en feil i v?re analytiske resultater som skaper forskjellene i figur 3! N? skal vi endelig finne ut hva det er vi har glemt.
Planetbanene er nemlig neppe perfekt stilt i forhold til x-asken i stjernas referansesystem! Hvordan klarte vi ? overse dette! Men hvordan skal vi ta hensyn til dette da mon tro? Vi kan nemlig bruke en lur sak fra matte, kalt rotasjonsmatrisen, som vil rotere en vektor/matrise en oppgitt vinkel i positiv oml?psretning. Ved ? bruke dette kan vi alts? rotere posisjonsvektoren til planeten med vinkelen som banen er stilt i forhold til x-aksen. Rotasjonsmatrisen er kanskje litt ukjent, og er litt forbi pensum for videreg?ende matte, men for dere som er nysgjerrige, kan dere ta en titt p? denne linken p? side 6. Vi implementer dette i simuleringen og sjekker om dr?mmen v?r om overlapp mellom analytiske og numeriske baner endelig vil bli realisert!
Dr?mmer kan faktisk g? i oppfyllelse! I figur 4 ser vi at vi endelig har f?tt overlapp mellom v?re analytiske og numeriske baner. Vi tar av oss hatten og b?yer oss i st?vet for ? hylle rotasjonsmatrisen!
Hvordan skal vi tolke v?rt fine plott da? Hjemplaneten, Middle-earth, til Frodo og Sam er planet 0, og er alts? planeten som g?r i bane nest n?rmest stjernen. Ved ? se med ?yem?l p? plottet ser det ut som om hjemplaneten beveger seg i en ellipse rundt stjernen, og den st?rste avstanden ser ut til ? v?re p? rundt 2 AU. Dette vil si at Middle-earth g?r i bane rundt stjernen sin med omtrent dobbel s? stor avstand som jorda g?r rundt sola, siden enheten AU tilsvarer middelavstanden mellom jorda og sola.
Hvis dere har lyst ? se en video av de simulerte planetbanene, kan dere finne dette her!
Vi har n? simulert planetbanene i solsystemet v?rt, men hvordan kan vi sjekke at denne simuleringen er rimelig, utenom ? sp?rre Gandalf? F?lg med videre for ? finne ut hvordan!