Beskjeder

Jeg er n? ferdig med pensum, idet jeg i dag gjennomgikk Gauss-Bonnets teorem - et av h?ydepunktene i kurset. (Kapittel 12). Under Oppgaver har jeg lagt ut en liste med flere relevante oppgaver fra McClearys bok. Jeg anbefaler deg ? gj?re s? mange som mulig av dem - du vil l?re noe av hver eneste en.

Under Pensum/L?ringskrav vil du n? finne en oversikt over endelig pensum.

Mandag 29/11 blir siste forelesning. Jeg ikke satt opp noe bestemt program, men jeg kan tenke meg ? gi noen flere anvendelser av Gauss-Bonnets teorem. Utover dette vil jeg heller ?pne for at dere kommer med sp?rsm?l og ?nsker om oppgaver eller andre ting dere gjerne vil ha gjennomg?tt.

Jeg har n? lagt ut noen nye noter med litt utfyllende stoff om differensialgeometri.

Vi er n? ferdig med det vi skal gjennomg? i kapitlene 11 og 13. I kapittel 11 snakket jeg litt om geodetisk kompletthet og skisserte hvorfor kompakte flater er geodetisk komplette. Sidene 166-169 er ikke pensum.

Kapittel 13 fulgte jeg ganske tett frem til side 191. (Bortsett fra at Gauss' lemma ble vist uten integrasjon). Deretter s? vi p? generelle flater med konstant krumning lik 0 eller -1, og viste at disse m? v?re lokalt isometriske med henholdsvis det Euklidske plan Poincares diskmodell for det hyperbolske plan.

Neste (og siste) uke skal vi snakke om Gauss-Bonnets teorem (kapittel 12).

NB:Oppgaver til mandag 22/11 er lagt ut. De som vil, kan gjerne betrakte dette som et pr?veeksamenssett og levere det inn som en skriftlig besvarelse til mandag.

Denne uken har jeg snakket om geodetisk krumning og geodetiske kurver. Jeg har her fulgt McCleary ganske n?ye, men med litt mer vekt p? eksakt hva som er og ikke er intrinsisk, slik at vi kan se hva som ogs? gjelder for vilk?rlige flater med Riemannsk metrikk. Spesielt gjelder dette projeksjonen av den annenderiverte ned p? tangentplanet, som kan uttrykkes ved Christoffel-symbolene. Disse er intrinsiske ved formlene p? side 148.

Vi har kommet frem til nederst p? side 163. Neste uke skal vi fortsette med kapittel 11 og snakke litt om eksponensialavbildningen og kompletthet, og fortsetter s? med anvendelser i kapittel 13. Den siste uken skal vi s? ta for oss Gauss-Bonnets teorem, i kapittel 12.

Denne uken har jeg gjennomg?tt definisjonen av Riemannsk struktur p? en generell flate, definert Gauss-krumning og vist Gauss' "Theorema Egregium", som sier at krumningen bare avhenger av metrikken og derfor er invariant under (lokale) isometrier. I boka finnes tilsvarende stoff i kap. 14 side 210-212 og 214, kap.9 def. 9.2 og def. 9.8-kor. 9.10 og prop. 9.11, og kap. 10 til og med Kor. 10.5.

De tre siste ukene vil jeg gjennomg? stoff hentet fra kapitlene 11, 12 og 13, spesielt anvendt p? flater med geometriske strukturer.

En liten rapport:

Vi er n? i gang med ? studere geometriske strukturer p? generelle flater. En innledning med eksempler er lagt ut under "notater". Det meste av det som blir gjennomg?tt i ukene fremover er hentet fra McClearys bok, men ikke n?dvendigvis i samme rekkef?lge. Noen ganger vil jeg ogs? betrakte ting fra et litt annet synspunkt.

Til n? har jeg gjennomg?tt noe av grunnlaget, hentet fra sidene 101-112 (flater i R^3) og 206-212 (generelle flater).

Jeg har ogs? lagt ut noen mer utfyllende noter beregnet som tilleggslitteratur (ikke pensum).

Notatet om hyperbolsk geometri er n? komplett.

Dette notatet utgj?r pensum til midteksamen 15.10. Oppgavene vil best? av noe teori og litt oppgaver av samme type som de i notatet. Resultatet p? midteksamen vil telle en 1/3 i forhold til endelig karakter i kurset.

En liten statusrapport: Jeg g?r n? gjennom notatet om hyperbolsk geometri. Mandag 27.9 gjennomg?r jeg f?rst noen oppgaver fra kapittel 3, og deretter snakker jeg om den hyperbolske metrikken - kapittel 5 i notatet.

(Notatet er enn? ikke komplett, men det blir skrevet etter hvert, og det vil til en hver tid ligge i forkant av forelesningene.)

Forelesningen i dag er dessverre avlyst pga sykdom

Etterhvert vil diverse tilleggslitteratur bli reservert og satt i en egen hylle p? biblioteket, og du f?r tilgang til den ved henvendelse til biblotekarene. B?kene kan ikke l?nes hjem, men du kan lese i dem p? biblioteket mot ? deponere studiekortet.

Forel?pig er f?lgende b?ker reservert:

• M. J. Greenberg: Euclidean and non-Euclidean geometries
• R. Hartshorne: Geometry, Euclid and beyond
• J. Stillwell: Geometry of surfaces

Ny versjon av notatet om Hilberts aksiomsystem er n? lagt ut - denne gangen som .pdf-fil.

Den f?rste uken gikk jeg f?rst gjennom kapittel 1, om sf?risk geometri, i McClearys bok. Deretter begynte jeg en gjennomgang av Hilberts aksiomsystem for plan geometri, etter kort ? ha skissert Euklids aksiomer. Noe av dette finnes i kapittel 2 i boken, men jeg skriver et notat som dere kan finne under linken "Notater" ved siden av (under overskriften "Undervisningsmateriell"). Forel?pig har jeg bare g?tt gjennom insidensaksiomene.

Jeg ga ogs? noen oppgaver som blir gjennomg?tt neste gang (mandag 30/8). Disse finner du under linken "Oppgaver". BJ.