L?rebok: Roger Fenn; Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer Verlag, 2001.
Pensum er det som er blitt dekket av forelesningene:
Kapitlene 2 og 3, 4.1-10 (bortsett fra formler for stereografisk projeksjon i 4.6), 5.1-8 og alt om regul?re polyedere (Platonske legemer) i 5.10, 6.1-12, 8.1-2.
Noen kommentarer til de forskjellige kapitlene
Kapittel 2. Koordinatgeometri: Bakgrunn og grunnleggende begreper og formler. Det meste blir behandlet mer generelt i senere kapitler.
Kapittel 3. Grunnleggende Euklidsk plangeometri. Hele kapitlet er pensum. De fundamentale begrepene er kongruens og formlikhet, og mange problemer reduseres til ? gjenkjenne kongruente trekanter ved hjelp av kongruenskriterier (3.6). De viktigste tekniske resultatene er i 3.7 og 3.8, og viktige konstruksjoner som den omskrevne og innskrevne sirkelen, ortosenter, centroid og Eulerlinjen for en trekant introduseres i 3.9. I 3.10 viser de viktigste trekantformlene, og 3.11 behandler noen klassiske anvendelser av teorien.
Kapittel 4. I kapitlene 2 og 3 gj?res utstrakt bruk av at R? kan betraktes som et vektorrom med indreprodukt. Men R? kan ogs? tenkes p? som det komplekse tallplan C, og i kapittel 4 anvendes ogs? kompleks multiplikasjon til geometriske resonnementer og konstruksjoner. 4.1-3 er repetisjon av komplekse tall, og i 4.4 og 4.5 vises hvordan formler for linjer og sirkler og affine transformasjoner av C ser ut med kompleks notasjon. I 4.6 og 4.8 generaliseres dette til det utvidede komplekse plan C+ og M?bius transformasjoner. (Men stereografisk projeksjon i 4.6 er ikke pensum.) De viktigste eksempel p? M?biustransformasjoner i v?rt tilfelle er inversjon i sirkler, som introduseres i 4.7. Et helt fundamentalt begrep er kryssforholdet mellom fire punkter i C+. Dette studeres i 4.9-10. 4.11-13 er ikke pensum.
Kapittel 5. Resten av pensum bygger for det meste p? vektorregning i R?, der ikke minst kryssproduktet spiller en vesentlig rolle. Det er derfor vesentlig at du er fortrolig med stoffet i 5.1-5, med spesiell vekt p? de geometriske tolkningene. 5.6 og 5.7 behandler plan og linjer i rommet fra dette synspunktet - sml. kapittel 2. Viktig stoff er ogs? klassifikasjonen av isometrier av R?, illustrert ved diskusjon av symmetriene av en regul?r terning. 5.9 har jeg hoppet over, og i det du m? kunne i 5.10 er det som st?r om regul?re polyedre ("Platonske legemer").
Kapittel 6. Dette kapitlet inneholder nok det mest abstrakte stoffet, og mange vil derfor finne det ganske vanskelig. I v?r sammenheng er det projektive plan den beste settingen for ? studere insidens-problemer - hvordan kan vi avgj?re om gitte linjer g?r gjennom samme punkt, eller dualt: n?r ligger gitte punkter p? samme linje? Da trenger vi spesielt at to distinkte linjer alltid skj?rer hverandre i n?yaktig ett punkt, og det oppn?r vi ved ? f?ye til et punkt "i det uendelig fjerne" der parallelle linjer kan skj?re hverandre. Den beste geometriske modellen for dette f?r vi ved ? tenke p? planet R? som et plan som i R? som ikke g?r gjennom origo - f.eks. planet z=1. Punktene her er i en-entydig korrespondanse med linjene gjennom punktene og origo i R?, og linjer i planet svarer da til plan gjennom linjen og origo. Men dette bildet kan vi utvide ved ? betrakte alle linjer gjennom origo i R? som "punkter" og alle plan gjennom origo som "linjer". Dette er punktene og linjene i det projektive plan RP?. Siden f.eks. to distinkte plan gjennom origo i R? skj?rer hverandre i en entydig linje gjennom origo, betyr det at to linjer i RP? har n?yaktig ett skj?ringspunkt. Hvis de to planene representerer parallelle linjer i R? (dvs. de skj?rer planet z=1 i parallelle linjer), s? vil skj?ringslinjen ligge i XY-planet, og denne linjen bestemmer et av de "nye" punktene i RP?. De grunnleggende definisjonene og notasjonen ("homogene koordinater") vi bruker er i 6.1-3. Et viktig begrep er dualitet mellom linjer og punkter i RP?: en linje er representert ved et plan med ligning A.X=0 (prikk-produkt), og vi sier at punktet med homogene koordinater [A] er dualt til linjen. Da har vi f.eks. at punktet X ligger p? linjen m hvis og bare hvis punktet dualt til m ligger p? linjen dualt til X. Skj?ringspunktet mellom to linjer l og m er da dualt til linjen gjennom punktene som er duale til l og m. En viktig og klassisk anvendelse av dette er Desargues' teorem i 6.4.Kryssforholdet er fundamentalt ogs? i projektiv geometri, men her er det bare definert for fire punkter som ligger p? en linje (6.5-6). Da gir det bl. a. opphav til begrepet projektivitet mellom to linjer, og kombinert med dualitetsbegrepet gir dette viktige resultater som Pappus' teorem og anvendelser i perspektivteori (6.7 og 6.12). 6.8 inneholder litt om firkanter og harmoniske forhold. En viktig ting ? merke seg her, er at det i RP? ikke er noen naturlig m?te ? ordene fire punkter p?, s? det er ingen forskjell mellom diagonaler og sidekanter i en firkant. 6.9-10 handler om den projektive analogien til (invertible) line?are avbildninger. Disse tar linjer p? linjer og bevarer kryssforhold, og gir derfor opphav til projektiviteter. 6.11 og 6.13 har jeg ikke gjennomg?tt.
(Kapittel 7 utg?r.)
Kapittel 8. Bare 8.1 og 8.2 er pensum. Dette gir bare en liten smakebit av sf?risk geometri, som er studiet av konfigurasjoner av punkter og storsirkler p? en kule. ("Linjene" i sf?risk geometri.) Her kan vi ogs? snakke om trekanter, men vi m? v?re litt mer p?passelige med hva vi mener enn i Euklidsk geometri. Vi utleder s? relasjoner mellom sider og vinkler i en trkant, analogt med cosinus- og sinussetningene i Euklidsk geometri. S?rlig er cosinussetningen viktig: den gir f.eks. at sidene bestemmer vinklene i en trekant - dvs. et SSS kongruenskriterium. Kankje mest sl?ende er formelen for areal av en trekant, som sier at arealet er summen av vinklene minus pi. Dette forteller oss for det f?rste at vinkelsummen alltid er ekte st?rre enn pi for en sf?risk trekant, og dessuten at arealet bare avhenger av vinklene i trekanten. Begge deler er helt annerledes enn hva vi er vant til fra Euklidsk geometri. Men at arealet bare avhenger av vinklene har sammenheng med et mer fundamentalt faktum: vinklene i en trekant bestemmer sidene, og dermed trekanten fullstendig. Alts? et AAA kongruensteorem. Med andre ord: formlike sf?riske trekanter er kongruente! (Dette siste er ikke bevist i boka, men det f?lger av en annen type cosinussetning, analog med den f?rste, men der en side i trekanten uttrykkes eksplisitt ved de tre vinklene. Denne setningen har ingen analogi i Euklidsk geometri.)