Farten til TORTA

Vi suuuser avg?rde i retning Armando (forh?pentligvis). Men hvor fort beveger vi oss egentlig? Vi m? jo vite hva farten til TORTA er for ? kunne beregne rakettens bane mot Armando! Da kan vi bruke et artig fenomen. Vi presenterer det med et mini-tankeeksperiment...

Vi sitter p? en gatekaf¨¦ i et travelt str?k i New York. Folk skynder seg frem og tilbake over fortauet, biler tuter, bygningsarbeidere borrer ved et gatehj?rne og en liten korgruppe ?ver p? sangene sine i parken. Plutselig skj?rer en h?y politisirene gjennom lufta: B?BU-B?BU-B?BU. Du snur deg og ser at politibilen er p? vei nedover gata og n?rmer seg snart kafeen du sitter ved. Lyden blir gradvis h?yere og h?yere helt til den passerer kafeen din. Idet bilen passerer, oppdager du at lyden forandrer seg - den blir m?rkere! Det er som om politibilen sender en annen sirenelyd bakover enn forover! Hvordan henger dette sammen??!

Det du har v?rt vitne til, er Doppler-effekten! For politibil-eksempelet sier Doppler-effekten at lydb?lgene presses sammen n?r bilen er p? vei mot deg, og strekkes n?r den kj?rer fra deg. En lydb?lge som pressess sammen f?r ?kt frekvens, som vi oppfatter som lysere, og p? samme m?te vil en lydb?lge som strekkes ut oppfattes som m?rkere. Det er det som har skjedd med sirenelyden! Selve lydsignalet er det samme, men farten til politibilen relativt til deg har endret seg, slik at frekvensen til lydsignalet endrer seg!  

OK, men hva s?? Hva har det med rakettens fart ? gj?re, tenker dere kanskje? Mer enn man skulle tro!! Det er jo ikke bare politibiler som beveger seg fort og sender ut b?lger. Stjerner gj?r ogs? det - bare at de sender ut lysb?lger!! N?r en stjerne beveger seg mot oss, blir lysb?lgene den sender ut presset sammen, og b?lgelengden til lyset minker. N?r b?lgelengden reduseres, oppfatter vi lyset som bl?forskj?vet. Beveger stjernen seg fra oss blir lysb?lgene strukket ut, og vi oppfatter lyset som r?dforskj?vet (se figur 3). Ideen er ? bruke Doppler-forskyvingen for lyset vi observer fra stjerner, og vurdere rakettens hastighet ut ifra hvor stor Doppler-forskyvingen er. De flinke fysikerne p? Thestral har heldigvis v?rt p? jobb, og funnet en sammenheng vi kan bruke. Bare sjekk her!

\(v_r = c\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} \text{ }(1)\)

Her er   \(v_r\) den radielle fartskomponenten stjerna har i forhold til oss, \(\Delta \lambda\) differansen mellom b?lgelengden vi observerer og forventet b?lgelengde \(\lambda_0\), og \(c\) er lysfarten. Husk at n?r vi sier radiell fart mener vi fartskomponenten som peker rett fra oss eller rett mot oss. Vi ser fra uttrykket at den radielle farten til sjerna blir st?rre n?r Doppler-forskyvningen blir st?rre. Det betyr at lyset presses mer sammen (eller strekkes mer ut), dersom stjerna beveger seg med st?rre radiell fart i forhold til oss! 

Ideen er ? bruke Doppler-forskyvingen vi observerer fra fjerne stjerner for ? finne ut hvor fort TORTA beveger seg i forhold til sola. Da har vi faktisk to fine referansestjerner som de flinke astronomene p? Thestral har valgt ut for oss. Vi m?ler Doppler-forskyvingen vi observerer for stjernene, og bruker formel (1) for ? finne farten til romsonden v?r. Men her m? vi passe p? s? vi ikke blir overivrige! Det er noen hastigheter vi m? beregne f?r vi kan finne rakettens hastighet i forhold til sola. Raketten v?r vil jo ha forskjellige hastigheter relativt til ulike objekter i rommet: Den har ¨¦n fart i forhold til sola, ¨¦n fart i forhold til stjerne 1, og en annen fart i forhold til stjerne 2. Det er flere referansepunkter ? ta hensyn til, s? dette m? vi gj?re stegvis:

1. Beregne solas hastighet relativt til stjerne 1 og 2
2. Beregne TORTAs hastighet relativt til stjerne 1 og 2
3. Beregne TORTAs hastighet relativt til sola

Men vent litt... Hvorfor trenger vi egentlig to stjerner for ? finne farten? Holder det ikke med 1??

Nei, det gj?r det ikke! Og det kommer fra det faktum at stjernene har en vinkel i forhold til oss. Hvis vi ser for oss at sola kun har en fart i x-retning vil ikke stjerne 1 alene kunne "se" hele farten - bare en del av den! Vi illustrerer dette med enda et mini-tankeeksperiment:

Se for deg at du er p? et Formel 1-race og sitter p? tribunen ved m?lstreken. N?r bilene runder siste sving og suser avg?rde mot oppl?pet ser det jo f?rst ut som de har ganske "lav" fart, men i det ?yeblikket de passerer deg ved m?lstreken fyker de forbi som noen olja lyn!! Da g?r det jo superfort!! Dette kommer av at vinkelen mellom deg og bilene endret seg fra svingen opp til m?llinja. Alene klarer du alts? ikke ? gi en realistisk vurdering av racerbilenes fart. Men hvis du g?r sammen med en venn som posisjonerer seg taktisk med en annen vinkel i forhold til oppl?pet, kan dere to til sammen gi et godt estimat p? hvor fort bilene kj?rer gjennom hele oppl?pet! Det samme er det med referansestjernene. Disse har forskjellige vinkler i forhold til sola, og "ser" derfor at den har forskjellig fart. N?r vi derimot sl?r sammen disse to, finner vi ut hvor fort sola faktisk beveger seg!

Ok, man observerer forskjellig fart avhengig av vinkelen man har i forhold til det som beveger seg. Hva er da vinklene mellom stjernene og sola v?r? Disse kaller vi \(\phi_1\) og \(\phi_2\), vinklene mellom x-aksen og linjene fra sola til hver av stjernene. Her har vi faktisk v?rt s? heldige at de fantastiske astronomene i teamet v?rt p? Thestral har beregnet dem p? forh?nd! Se hva de har funnet ut:

• \(\phi_1 \approx 5.32^{\circ}\)
• \(\phi_2 \approx 294.25^{\circ}\)

S? i forhold til sola ligger stjernene i f?rste og fjerde kvadrant (se figur 5). 

Vi har alts? vinklene \(\phi_1\) og \(\phi_2\) mellom x-aksen og linjene fra sola ut til stjernene. M?let v?rt er ? finne farten til sola i x- og y-retning, men de radielle hastighetene vi finner peker jo mest sannsynlig i helt andre retninger! Vi m? dermed fiske ut fartskomponentene til den radielle farten som peker i x- og y-retning! Det er dessuten en annen ting vi m? ta hensyn til, og det er retningen p? farten. N?r vi m?ler Doppler-forskyvingen fra stjernene finner vi jo farten stjernene har i forhold til oss! Vi vil derimot finne farten vi har i forhold til stjernene, s? dette m? vi ta h?yde for. Tenk dere at Doppler-forskyvingen sier oss at stjernene er p? vei vekk fra oss. For stjernene ser det derimot ut som at vi er p? vei vekk fra stjernene! Vi m? derfor SNU den radielle fartsvektoren!! Det holder alts? ikke ? bare bruke vinklene \(\phi_1\) og \(\phi_2\); vi m? legge til 180 grader! Vinklene vi bruker blir dermed \(\phi_1 + 180^{\circ}\) og \(\phi_2 + 180^{\circ}\).

• N? gjelder det ? fiske ut x- og y-komponentene til de radielle hastighetene vi finner. Dette gj?r vi med litt enkel trigonometri!

N?r vi bruker figur 8 ser vi fort at x- og y-komponentene er relatert til den radielle farten \(v_r\) med sinus og cosinus! N? forventer vi at dere har god kontroll p? definisjonen av disse. Hva blir x- og y-komponentene i figur 8? Jo, de blir slik:

• \(v_{rx}=v_r\cos(\phi)\)
• \(v_{ry}=v_r\sin(\phi)\)

Slik er alts? en transformasjon fra radiell hastighet til hastighet i x- og y-retning. Men vi m? jo ta hensyn til retningen til den radielle farten! Da snur vi \(\vec{v}_r\) med 180 grader. Merk at vi f?r to radielle hastigheter, \(v_{r1}\) og \(v_{r2}\); ¨¦n for hver stjerne:

• \(v_{rx1}=v_{r1}\cos(\phi_1+180^{\circ})\)
• \(v_{ry1}=v_{r1}\sin(\phi_1+180^{\circ})\)
• \(v_{rx2}=v_{r2}\cos(\phi_2+180^{\circ})\)
• \(v_{ry2}=v_{r2}\sin(\phi_2+180^{\circ})\)

Til slutt kan vi sette sammen hastighetene i x- og y-retning slik at farten til sola blir:

• \(v_{sx}=v_{rx1} + v_{rx2}\)
• \(v_{sy}=v_{ry1} + v_{ry2}\)

N? har vi en oppskrift for ? finne x- og y-komponentene til solas hastighet i forhold til stjernene! Hva mer trenger vi ? vite for ? finne hastigheten da? Vi ser p? formelen for Doppler-forskyving, \(v_r=c\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}\). Her ser vi at vi trenger den forventede b?lgelengden \(\lambda_0\), differansen mellom forventet og observert b?lgelengde \(\Delta \lambda\) og lysfarten. Men hva blir den forventede b?lgelengden her? Stjerner sender jo ut lys i maaange forskjellige b?lgelengder, s? vi m? velge ¨¦n spesifikk b?lgelengde som referanseb?lgelengde. For ? forst? dette bedre trenger vi litt kunnskap om emisjonsspektere.

Fra skolen er dere kanskje kjent med Bohrs atom-modell. Denne illustrerer atomer som en positiv kjerne best?ende av protoner og n?ytroner, omringet av skall med elektroner. Det som er s? fint med denne modellen, er at den tydelig illustrerer energiniv?ene elektronene kan v?re i. Disse tilsvarer jo bare skallene! S? det innerste skallet er ett energiniv?, det neste skallet er et annet energiniv? osv. Dersom elektronet treffes av et foton som tilsvarer energiforskjellen mellom to skall, spretter det ut til neste skall. Her er elektronet imidlertid i en veeeldig ustabil fase, s? det spretter raskt tilbake igjen til energiniv?et det var p?. Og n?r det spretter tilbake sender det ut fotonet som opprinnelig dyttet elektronet. 

Dette skjer maaaange ganger inni en stjerne. I stjerneatmosf?ren kolliderer atomer med hverandre hele tiden, og i disse kollisjonene eksiteres elektronene og sender ut lyset som tilsvarte eksiteringsenergien. N?r vi retter det magiske kameraet v?rt mot stjerna, kan vi dermed observere fotonene som sendes ut etter eksitering som tydelige linjer ved spesifikke b?lgelengder. Disse lysglimtene ved spesifikke b?lgelengder kalles spektrallinjer, og utgj?r sammen emisjonsspekteret til et atom (se figur 7). Hvert atom har sitt eget unike emisjonsspekter, som gj?r at vi kan bruke observerte emisjonsspektere til ? vurdere hva slags type atomer en stjerne eller en gass best?r av.

Dette er suuuupernyttig i astronomi! I v?rt tilfelle bruker vi emisjonsspekteret for ? velge ut en spesifikk b?lgelengde som vi vet at stjerna sender ut. Det gjelder da ? se etter b?lgelengder fra atomer som vi vet det er mye av i stjerner!! Da kan det v?re et godt valg ? se p? hydrogen; hydrogen er det garantert mye av i stjernene vi skal se p?. En av spektrallinjene til hydrogen f?r vi ved b?lgelengden \(\lambda_0=656.3 nm\). Dette setter vi som den forventede b?lgelgengden!

Da har vi en referanse-b?lgelengde!  Vi setter opp konstantene og variablene:

• \(\phi_1 \approx 5.32^{\circ}\)
• \(\phi_2 \approx 294.25^{\circ}\)
• \(\lambda_0=656.3 nm\)
• \(c \approx 3.0\cdot 10^8 m/s\), farten til lys i vakuum
• \(\Delta \lambda = ?\)

Men hvordan finner vi den faktiske Doppler-forskyvingen, da? Dette er en enkel sak, for det automagiske kameraet p? TORTA kan vi bare peke mot stjernene og lese ut Doppler-forskyvingene. Vi finner da at Doppler-forskyvningen av lyset fra stjernene i forhold til sola, blir:

• Stjerne 1: \(\Delta \lambda_1 \approx 687.3 \cdot 10^{-5} nm\)
• Stjerne 2: \(\Delta \lambda_2 \approx 133.1 \cdot 10^{-4} nm\)

Legg merke til fortegnet her! Fra flere kilder, blant annet denne, f?r vi vite at \(\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0\), hvor \(\lambda \) er b?lgelengden vi observerer at stjernene har. Her har vi at Doppler-forskyvingene er positive, s? vi observerer at lyset har st?rre b?lgelengde enn det egentlig har. Det betyr at sola er p? vei vekk fra stjernene, og observerer at stjernelyset er r?dforskj?vet! Det er derfor vi har tegnet dem inn som r?de i figur 5.

N? kan vi endelig beregne fartskomponentene til sola i forhold til stjernene. Vi setter tallene inn i formlene, og regner ut! Da f?r vi at farten til sola i x- og y-retning i forhold til stjernene blir:

• \(v_{sx}=v_{rx1}+v_{rx2} \approx  -20245 km/t \)
• \(v_{sy}=v_{ry1}+v_{ry2} \approx 18916 km/t\)

I AU per ?r blir dette:

• \(v_{sx}\approx -1.19 AU/?r\)
• \(v_{sy}\approx 1.11 AU/?r\)

Sola beveger seg alts? ganske fort gjennom rommet!! Vi ser ogs? at i forhold til x-, y-koordinatsystemet vi har tegnet opp, beveger sola seg oppover mot venstre (oppover y-aksen og mot venstre p? x-aksen). Ok, da har vi funnet ut hvilken fart sola beveger seg med i forhold til referansestjernene.

Den neste farten vi m? finne er farten til TORTA i forhold til referansestjernene. N?r vi har denne kan vi enkelt finne hvilken fart TORTA har i forhold til sola, ved ? finne differansen mellom hastighetene! N? har dere forh?pentligvis skj?nt litt av metoden for ? finne fartskomponentene, s? vi g?r ikke like n?ye gjennom det n? for romsonden v?r. 

For det f?rste m? vi presisere en tiln?rming vi gj?r, som er at vi bruker samme vinkler \(\phi_1\) og \(\phi_2\) for sola som for romsonden. Dette er fordi romsonden og sola er veeeldig mye n?rmere hverandre i forhold til hvor langt unna stjernene er! Det betyr at linjene fra sola ut til stjernene er s? godt som de samme linjene fra romsonden til stjernene. Med dette avklart, finner vi et uttrykk for farten til TORTA relativt til stjernene! Vi f?lger samme oppskrift som i sted.

Finner de radielle hastighetene stjernene har i forhold til TORTA i \(\phi_1\)-retning og \(\phi_2\)-retning. Dopplerforskyvingene f?r vi fra det automagiske kameraet v?rt:

• \(v_{r\_stjerne1}=c\frac{\Delta \lambda_1}{\lambda_0}\)
• \(v_{r\_stjerne2}=c\frac{\Delta \lambda_2}{\lambda_0}\)
• \(\Delta \lambda_1 \approx -142.1\cdot 10^{-4} nm\)
• \(\Delta \lambda_2 \approx 855.9 \cdot 10^{-4} nm\)

Snur hastighetene slik at vi finner farten til TORTA relativt til stjernene, og transformerer dem til x- og y-koordinater:

• \(v_{rx\_stjerne1}=v_{r\_stjerne1}\cos(\phi_1+180^{\circ})\)
• \(v_{ry\_stjerne1}=v_{r\_stjerne1}\sin(\phi_1+180^{\circ})\)
• \(v_{rx\_stjerne2}=v_{r\_stjerne2}\cos(\phi_2+180^{\circ})\)
• \(v_{ry\_stjerne2}=v_{r\_stjerne2}\sin(\phi_2+180^{\circ})\)

Finner til slutt TORTAS fartskomponenter i x- og y-retning i forhold til stjernene:

• \(v_{x\_stjerner}=v_{rx\_stjerne1}+v_{rx\_stjerne2}\)
• \(v_{y\_stjerner}=v_{ry\_stjerne1} + v_{ry\_stjerne2}\)

Da har vi funnet uttrykkene som beskriver farten til romsonden v?r TORTA relativt til de to referansestjernene. For ? finne farten til TORTA relativt til sola tar vi bare differansen mellom farten til sola og farten til TORTA!

• \(v_{x\_TORTA}=v_{x\_stjerner}-v_{sx}\)
• \(v_{y\_TORTA}=v_{y\_stjerner}-v_{sy}\)

Forsikre deg om at du skj?nner hvordan det siste steget her funker! Vi illustrerer det nedenfor.

Hvis sola har st?rre fart enn TORTA i x-retning, "ser" sola at TORTA er p? vei mot sola. Da har romsonden v?r negativ fart i forhold til sola. Ved samme resonnement for y-retningen finner vi ut at TORTAs fart i forhold til sola m? f?lge uttrykket ovenfor.

N?r vi setter inn tall f?r vi at fartskomponentene blir:

• \(v_{x\_TORTA}\approx -14281 km/t\approx -0.8368 AU/?r\)
• \(v_{y\_TORTA}\approx 111572 km/t \approx 6.538 AU/?r\) 

Vi suuuuser avg?rde gjennom rommet alts?!!! (Merk at dette er farten rett etter oppskytning).

Da har vi funnet en metode for ? beregne hastigheten til TORTA relativt til sola!! WOW, det f?les som en liten bragd. N? kan vi lage oss et klarere bilde av TORTAs ferd mot Armando. Da kan vi jo simulere hypotetiske baner, forhindre at vi kr?sjer med sm? legemer i rommet, kartlegge posisjon steg for steg osv. Dette er et stort fremskritt alts?!

?n ting er farten ved et gitt tidspunkt, men hva med posisjonen til TORTA?? Har dere h?rt om trilaterasjon kanskje? Hvis ikke, m??? dere trykke p? denne linken!!!