Posisjonen til TORTA

Oioioi, dette virker vanskelig dere. Det er helt sentralt for romferden v?r at vi klarer ? beregne TORTAs posisjon i forhold til sola, ellers flyr vi jo gjennom rommet s? ? si i blinde! Dette er noe vi bare m??? f? til! Vi f?r rett og slett pr?ve ? angripe dette problemet steg for steg...

F?rst har vi metoden vi kan anvende; trilaterasjon. Trilaterasjon er et fancy navn p? det ? beregne posisjonen til et legeme ved ? bruke legemets avstand til posisjoner vi allerede kjenner fra f?r. I v?rt tilfelle handler det om ? beregne posisjonen til TORTA ut ifra avstanden TORTA har til de andre planetene i solsystemet. Og her ser vi med en gang et fremskritt! Vi har jo allerede simulert planetbanene, s? posisjonene til planetene ved ulike tidspunkter kjenner vi fra f?r! Ikke s? verst start dette alts?!

S? vi kjenner posisjonen til planetene fra f?r. Hva med avstanden mellom TORTA og planetene? Her kan vi nok en gang takke det fantastiske teamet p? Thestral som var med p? ? bygge TORTA, for raketten v?r er faktisk utstyrt med en magisk radar som m?ler avstanden fra midten av planetene, til TORTA!!! Hvis dere leser dette, ingeni?rer fra Thestral, vi er eeevig takknemlige for utstyret dere lagde til oss!

OK, men hvordan fungerer trilaterasjon i praksis for v?rt tilfelle? Folkens, dette er s? kult!! Heng i!!

Som nevnt, kjenner vi avstanden mellom TORTA og alle planetene. Vi kjenner ogs? til hvilket punkt planetene er i. Det vi gj?r da, er at vi for de tre n?rmeste planetene (vi ?ker dette tallet senere), utenom Thestral, tegner en sirkel med planeten i sentrum og radius lik avstanden mellom planeten og TORTA. Torta vil nemlig alltid befinne seg p? n?yaktig ett punkt p? hver sirkel, og dette punktet er jo det samme for alle tre sirkler! N?r vi har tre punkter som er samsvarende p? alle sirkelbuer, betyr det i praksis at vi har et skj?ringspunkt (se figur 1).

Dette virker jo ikke s? verst da! For ? tegne sirklene trenger vi ? kjenne til formelen for en sirkel:

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\)

Her blir \(x_0\) og \(y_0\) henholdsvis x- og y-koordinaten til planeten og \(r\) er radiusen til sirkelen (avstanden mellom planeten og TORTA). Da har vi det vi trenger for ? tegne sirklene rundt planetene! 

N? trenger vi bare en metode for ? finne skj?ringspunktet mellom to sirkler. Vi lager en hjelpefigur!

N?r vi ser p? figuren, hvilke st?rrelser kjenner vi fra f?r? Jo, vi kjenner posisjonen til planetene, s? \(S_0=(x_0, y_0)\) og \(S_1=(x_1, y_1)\) er kjent. Da kan vi ogs? finne avstanden mellom disse punktene:

\(d=a+b=|S_1-S_0|\)

Videre kan vi bruke Pytagoras' setning for ? finne sammenhengene vi trenger. Denne forventer vi at dere kan fra f?r!

\(a^2+h^2=r_0^2\) (1)

\(b^2+h^2=r_1^2\) (2)

Her er \(a\), \(b\) og \(h\) katetene i de to rettvinklede trekantene i figur 2. Legg merke til at begge trekantene deler en katet, \(h\). \(r_0\) og \(r_1\) er henholdsvis radiusen til sirkelen med sentrum \(S_0\) og sirkelen med sentru \(S_1\). Vi skriver om (1):

\(a^2=r_0^2-h^2\)

Fra (2) f?r vi at \(h^2=r_1^2-b^2\), slik at \(a^2\) da blir:

\(a^2=r_0^2-(r_1^2-b^2)\)

Vi bruker at \(d=a+b \to b=d-a\)

\(a^2=r_0^2-r_1^2+(d-a)^2\). Dette l?ser vi for \(a\), slik at vi f?r:

\(a=\frac{r_0^2-r_1^2+d^2}{2d}\)

Med dette kan vi finne punktet \(P_2=(x_2, y_2)\). Her m? vi gj?re bittelitt vektorregning, men dette er dere kjent med fra skolen! Vi har at vektoren fra \(S_0\) til \(S_1\) er gitt som \(\vec{d}=(x_1-x_0, y_1-y_0)\). Vi definerer s? en enhetsvektor for \(\vec{d}\) som vi kaller \(\hat{d}\). Denne har lengde 1 og peker i samme retning som \(\vec{d}\). Enhetsvektoren er definert som

\(\hat{d}=\frac{\vec{d}}{d}=\frac{(x_1-x_0,y_1-y_0)}{d}\)

Hvor \(d\) bare er avstanden mellom \(S_0\) og \(S_1\). For ? finne punktet \(P_2\) m? vi g? fra \(S_0\) til \(P_2\) i retning \(\vec{d}\) og \(a\) langt. For ? finne \(x_2\) og \(y_2\) legger vi derfor til den strekningen vi m? g? fra \(S_0\) til \(P_2\):

\(x_2 = x_0+ a\cdot\hat{d}_x = x_0 +  a\cdot \frac{(x_1-x_0)}{d}\)

\(y_2 = y_0+ a\cdot\hat{d}_y=y_0+ a\cdot\frac{(y_1-y_0)}{d}\)

Men n? da? N? er vi i \(P_2\) og vil g? til skj?ringspunktene. Som dere ser fra figur 1 befinner disse seg vinkelrett ovenfor eller nedenfor \(d\). Vi trenger alts? en enhetsvektor som peker normalt (vinkelrett) p? \(d\), og en faktor som indikerer hvor langt vi m? g?. Denne siste faktoren kjenner vi jo fra f?r, dette er jo bare \(h\)! For ? g? til skj?ringspunktene fra \(P_2\) trenger vi alts? ? g? en lengde \(h\). Det eneste vi da mangler er en enhetsvektor som st?r vinkelrett p? \(d\). Dette er faktisk ikke s? vanskelig! Vi vet nemlig at prikkproduktet av to vektorer som st?r vinkelrett p? hverandre m? vi bli null!

Da trenger vi bare ? "snu" litt p? enhetsvektoren vi fant for \(\vec{d}\).

\(\hat{d}_{normalt}\cdot \hat{d}=\frac{(y_1-y_0, -x_1+x_0)}{d}\cdot\frac{(x_1-x_0, y_1-y_0)}{d}=0\)

Det holder ? se p? tellerne:

\((y_1-y_0)(x_1-x_0)+(-x_1+x_0)(y_1-y_0)=0\)

Det blir null! S? enhetsvektoren \(\hat{d}_{normalt}=\frac{(y_1-y_0, -x_1+x_0)}{d}\) st?r normalt p? \(\hat{d}\). Da kan vi bruke denne for ? g? fra \(P_2\) til skj?ringspunktene!

For ? g? til \(P_3\) fra \(P_2\), tar vi koordinatene til \(P_2\) og legger til strekningen vi m? g? (med retning) til \(P_3\). Se figur 1 hvis det er uklart!

\(x_3=x_2 + h\cdot\hat{d}_{x\_normalt}=x_2 + h\cdot\frac{(y_1-y_0)}{d}\) 

\(y_3=y_2 + h\cdot\hat{d}_{y\_normalt}=y_2 - h\cdot\frac{(x_1-x_0)}{d}\) 

For ? g? til \(P_4\) fra \(P_2\), tar vi koordinatene til \(P_2\) og legger til strekningen vi m? g? (med retning) til \(P_4\). Se figur 1 hvis det er uklart! Her blir fortegnet negativt fordi vi g?r i motsatt retning enn i stad. Da m? vi snu enhetsvektoren, og dette gj?r vi ved ? endre fortegnet. 

\(x_4=x_2 - h\cdot\hat{d}_{x\_normalt}=x_2 - h\cdot\frac{(y_1-y_0)}{d}\)

\(y_4=y_2 - h\cdot\hat{d}_{y\_normalt}=y_2 + h\cdot\frac{(x_1-x_0)}{d}\) 

Legg merke til fortegnene her. For strukturens skyld gj?r vi slik at vi har samme tellere \((y_1-y_0)\) og \((x_1-x_0)\) over \(d\) som da vi fant \(P_2\).

Med denne metoden finner vi alle skj?ringspunktene mellom de tre sirklene. Da vil det bli maksimalt 6 punkter. Til slutt sammenlikner vi punktene og sjekker hvilke som samsvarer. Av de 6 punktene vil 3 av dem v?re like! Vi visualiserer det for dere:

N?r vi bruker posisjonen til 3 andre planeter finner vi at posisjonen til TORTA rett etter oppskytning er (4.41 AU, 2.60 AU). Hva om vi bruker 5 planeter da? Da ser det slik ut:

N?r vi bruker alle de andre 7 planetene som ikke er Thestral, f?r vi dette plottet:

Jo flere planeter vi bruker for ? beregne posisjonen, jo mer n?yaktig blir estimatet v?rt. Vi sammenlikner de tre resultatene.

Hva kan vi si om dette da? Vi ser jo at de fem f?rste desimalene samsvarer i alle tre tilfeller for x-koordinaten. Etter de fem f?rste desimalene blir det derimot litt mer uklart. Vi kan se p? tendensen her, som gir oss en indikasjon p? at den sjette desimalen kan ligge p? rundt 3. S? hvor mye er egentlig 0.000001 AU? Jo, det tilsvarer omtrent 150000 m, eller 150 km. P? planeten deres jorda er 150 km kanskje en del, men i astronomisk skala er det ganske sm?tt assa! Vi sier oss absolutt forn?yde med det forel?pig. Med den analytiske tiln?rmingen vi har gjort her, har vi jo tross alt gjort en viktig jobb for ? redusere un?yaktighetene s? mye som mulig. 

Vi har klart det igjen! Utfordringen virket f?rst stor og tung, men med sterkt p?gangsmot fant vi til slutt en metode for ? beregne TORTAs posisjon i forhold til sola!! N? trenger vi ikke ? v?re redde for ? bevege oss i blinde gjennom rommet - vi har st?lkontroll p? hvor vi er!!