Den beboelige sonen...

Solsystemet v?rt ser slik ut:

Den neste hjemplaneten v?r kan alts? hverken v?re Forlan eller Diego - disse er jo gassplaneter! Hvilke av planetene er i den beboelige sonen da? Hva er den beboelige sonen, lurer dere kanskje p? da? Den beboelige sonen er det omr?det hvor en planet kan ha flytende vann! Vi m? v?re ?rlige ? si at vi fra Thestral har litt traumer med flytende vann... Men det er jo ingen tvil om at det er helt n?dvendig for ? kunne leve der.

Hvorvidt en planet er i den beboelige sonen avhenger hovedsakelig av planetens avstand fra sola. Er den for n?rme sola blir det for varmt, og vannet fordamper; er den for langt unna blir det for kaldt, og vannet fryser. Planeten m? ligge i det perfekte "sweet spottet"! Vi trenger alts? ? regne ut temperaturen til planetene i solsystemet v?rt!

Det kan virke som en stor og vanskelig oppgave, men vi bryter det ned til enklere steg. Vi begynner med ? se p? solstr?lene. Det vil jo v?re slik at en planet veldig n?rme sola mottar mer solenergi enn en planet lenger unna sola. Dette kan vi sette ord p? litt mer formelt. Vi presenterer en st?rrelse som kanskje er ukjent for de fleste av dere lesere, nemlig fluks! Fluks er st?rrelsen p? str?mmen av noe gjennom en flate. Det kan v?re en str?m av vann, lys, partikler, og, ikke minst energi! Hvis vi finner et uttrykk som beskriver fluksen av energi fra stjerna mottatt ved en vilk?rlig avstand, \(r\), tar vi et godt steg i riktig retning mot ? kunne beregne planetenes temperaturer.

Fluks er definert som:

\(F=\frac{dE}{dAdt}\)

Hvor \(F\) er fluksen, gitt som energien \(dE\) som str?mmer gjennom et areal \(dA\) i l?pet av tiden \(dt\). Den beskriver alts? en slags tetthet av energi p? en flate. Dersom flaten er veldig stor blir tettheten lavere. Dersom flaten er veldig liten blir det h?yere energitetthet.

N?r vi gj?r beregninger av fluksen fra stjerna antar vi at den er et sort legeme, som er et legeme som absorberer all str?ling som faller p? det. Trykk her hvis du vil lese mer om sorte legemer! N?r vi gj?r denne antakelsen sier Stefan-Boltzmanns lov at fluksen ut fra stjerna kan skrives som: 

\(F=\sigma T^4\)

Hvor \(\sigma\) er en konstant og \(T\) er temperaturen til stjerna. Dette er et viktig uttrykk som vi f?r bruk for veldig snart. F?rst skal vi introduserer enda en st?rrelse, kjent som luminositeten. Luminositet likner litt p? fluks, bare at den ikke inkluderer arealet til legemet som str?ler ut, eller arealet til legemet som mottar str?ling. Luminositet ser i stedet kun p? hvor mye energi som str?ler ut per tidsenhetet.

\(L=\frac{dE}{dt}\).

Husker dere definisjonen av fluks? Den sa at \(F=\frac{dE}{dAdt}\). Ser dere da at luminositeten blir fluks ganget med et areal? Dette er en nyttig sammenheng! N? har vi all matematikken vi trenger, bli med p? et morsomt resonnement! 

Vi plasserer stjerna i midten av en stooor kule med radius \(r\). 

Vi antar at stjerna sender ut jevnt fordelt str?ling fra alle punkter p? overflaten, slik at hvert punkt p? den store kula mottar like mye str?ling. Dette kan vi uttrykke som fluks! Fluksen gjennom denne kula med radius \(r\) tilsvarer alts? fluksen mottatt fra stjerna ved en vilk?rlig avstand \(r\). Med et slikt uttrykk kan vi jo enkelt beregne fluksen mottatt ved planetene i solsystemet v?r! Vi begynner med ? repetere formelen for overflatearelet til en kule. Stjerna er jo en kule som str?ler ut i alle retninger! Arealet til stjerna blir:

\(A=4\pi R^2\), hvor \(R\) er radiusen til stjerna. Vi kan da finne at luminositeten til stjerna blir:

\(L=\frac{dE}{dt}=\frac{dE}{dAdt}\cdot dA=F\cdot dA=\sigma T^4\cdot 4\pi R^2\)

Hvor vi har brukt at \(F=\frac{dE}{dAdt}=\sigma T^4\), hvor \(T\) er temperaturen til sola. Til slutt erstatter vi \(dA\) med \(4\pi R^2\), hvor \(R\) er radiusen til sola. Her ser vi at luminositeten til sola er avhengig av b?de temperaturen og radiusen. Jo st?rre temperatur og jo st?rre radius, jo st?rre luminositet!

Fra dette uttrykket kan vi enkelt finne fluksen gjennom den store kula! Det gj?r vi ved ? dele luminositeten til stjerna p? arealet til kula. Tenk p? det som at vi "sm?rer" luminositeten jevnt over hele den store kula. Da blir fluksen inn gjennom kula:

\(F_{inn}=\frac{L}{4\pi r^2}=\frac{\sigma T^44\pi R^2}{4\pi r^2}=\sigma T^4 \frac{R^2}{r^2}\)

Her er alts? \(\sigma\) en konstant, \(T\) er temperaturen til stjerna, \(R\) er radiusen til stjerna og \(r\) er avstanden til stjerna. N? vet vi hvor stor fluks som mottas ved en vilk?rlig avstand \(r\) fra stjerna! Her ser vi alts? tydelig at fluksen minker n?r avstanden til stjerna ?ker - som vi forventet! Dette er igjen et veldig nyttig uttrykk fordi fluksen som mottas ved planetens avstand fra stjerna gir oss en indikasjon p? tettheten til stjerne-energien som n?r ut til denne avstanden. Vi trenger denne informasjonen for ? beregne temperaturen til den nye hjemplaneten v?r!

Det er ogs? viktig for oss n?r vi skal bygge solcellepanelene p? landingssonden: Denne trenger jo str?m n?r vi ankommer den nye hjemplaneten v?r, og hvis vi da ikke har store nok solcellepaneler sliter vi litt...

Landingssonden v?r har to solcellepaneler som til sammen m? ha en effekt, \(P\), p? minst 40 W for at alle systemer ombord skal fungere. Med uttrykket vi fant for fluksen blir det en enkel sak ? finne effekten! Vi antar at avstanden mellom stjerna og sonden er tiln?rmet lik avstanden mellom stjerna og planeten. I tillegg vet vi at panelene har en effektivitet p? 12 %. La oss se p? enhetene!

• \([F]=\frac{J}{m^2s}\)
• \([P]=W=J/s\)
• \([P/F]=\frac{J}{s}\cdot \frac{m^2s}{J}=m^2\)

Hvis vi har en effekt og deler denne p? fluksen, ser vi alts? at vi f?r arealet til omr?det som mottar str?ling! Siden solcellepanelene har en effektivitet p? 12%, m? vi gange med en faktor 0.12. Vi kan tenke p? det som at det i praksis kun er 12% av fluksen som faktisk blir brukt til ? produsere energi.

Det m? bety at uttrykket for arealet til solcellepanelene m? se slik ut:

\(F_{inn}\cdot A\cdot 0.12=40 W \to A=\frac{40W}{F_{inn}\cdot 0.12}=\frac{40W}{\frac{L}{4\pi r^2}\cdot 0.12}\)

Hvor \(A\) er arealet til solcellepanelene og \(F_{inn}\) er fluksen mottat fra sola med luminositet \(L\) ved en avstand \(r\). Faktoren \(0.12\) kommer fra det faktum at panelene har en effektivitet p? 12%. Fra dette uttrykket ser vi at arealet til solcellepanelene minker dersom sola har stor luminositet, eller at arealet ?ker dersom avstanden \(r\) ?ker. Dette gir mening! Jo mer energi sola sender ut, jo mindre trenger solcellepanelene ? v?re. N?r vi vet hvilken planet vi skal sikte oss inn p? er det bare ? sette inn avstanden \(r\) og finne arealet!

Men vi har enda ikke funnet ut noe mer om planetenes temperaturer! Dette handler om energi, og vi har jo funnet et uttrykk for solenergi-tettheten ved en vilk?rlig avstand fra sola. Men vi har ikke funnet n?yaktig hvor mye energi en planet med radius \(R\) mottar ved en avstand \(r\) fra stjerna! La oss pr?ve ? gj?re det da!

F?rst m? vi tenke p? hvordan lysstr?lene fordeler seg over planetens overflate. Trenger vi ? ta hensyn til planetens krumning?

Forestill deg at du st?r i et m?rkt rom med en lommelykt i h?nden. Du sikter lommelykten mot noe rart som triller langs gulvet, og ser at det er en ball du sparket borti. N?r lyset treffer ballen vil den delen av ballen som vender mot lommelykten bli opplyst. Sett fra lommelyktens perspektiv ser ballen ut som en lysende sirkel, selv om den egentlig er en kule. Dette skyldes at det bare er det projiserte arealet, alts? "skyggebildet" av kula sett forfra, som mottar lys. Det samme gjelder for en planet som mottar str?ling fra en stjerne: Den energien planeten mottar, fordeles over det projiserte arealet sett fra stjerna, som er en sirkel med samme radius som planeten. Derfor kan vi beregne mottatt energi som om den treffer et areal p? \(\pi R^2\), der \(R\) er planetens radius. Vi trenger alts? ikke ? ta hensyn til krumningen! Ouff, det var deilig...

For ? finne totalenergien som mottas per tidsenhet for en planet ved en gitt avstand fra sola, kan vi ta uttrykket vi fant for fluksen som treffer et legeme en avstand \(r\) fra sola og gange det med arealet til legemet:

\(P_{inn}=F_{inn}\cdot A\)

Hvor \(P_{inn}\) er energien planeten mottar per tidsenhet, \(F_{inn}\) er fluksen fra stjerna og \(A\) er arealet til planeten. Vi vet at \(F_{inn}=\frac{L}{4\pi r^2}\), hvor \(L\) er luminositeten til stjerna og \(r\) avstanden mellom planeten og stjerna. Videre har vi at \(A= \pi R^2\) er tverrsnittarealet (det projiserte arealet) til planeten, med \(R\) som radiusen til planeten. Da f?r vi at totalenergien som mottas per tidsenhet for en planet ved en gitt avstand fra stjerna, blir:

\(P_{inn}=\frac{L}{4\pi r^2}\cdot \pi R^2=L\frac{R^2}{4r^2}\)

Som enhetsmessig gir mening, ettersom enheten til luminositeten er \(\frac{J}{s}\). Det virker dessuten ogs? logisk at energien planeten mottar avtar dersom avstanden ?ker, eller at energien ?ker dersom planeten blir st?rre (da er det jo et st?rre areal som mottar energi). 

Ut fra dette uttrykket kan vi vurdere temperaturen til planetene i solsystemet v?rt! Husker dere Stefan-Boltzmanns lov? Den sier at fluksen utsendt fra et sort legeme er 

\(F=\sigma T^4\)

Med \(\sigma \) som en konstant og \(T\) temperaturen til legemet. S? vi antar at ogs? planetene er sorte legemer! Les mer om sorte legemer her!!! Vi antar at netto str?ling fra planeten er null, slik at den utstr?ler like mye som den mottar. Da m? energien utstr?lt fra planeten per tidsenhet v?re like stor som energien den mottar per tidsenhet:

\(P_{ut}=P_{inn}\)

Men n?r planeten str?ler ut energien, str?ler den ut energien i alle retninger. Da tar vi hensyn til at den er en kule:

\(P_{ut}=F\cdot A=\sigma T^4\cdot 4\pi R^2\)

Hvor \(T\) er temperaturen til planeten, \(\sigma \) er en konstant og \(R\) er radiusen til planeten.

Setter uttrykkene lik hverandre og l?ser for \(T\):

\(P_{ut}=P_{inn}\)

\(\sigma T^4\cdot 4\pi R^2=L\frac{R^2}{4r^2}\)

\(T=(\frac{L}{16\pi\sigma r^2})^{\frac{1}{4}}\)

WOW! Vi har et uttrykk for temperaturen til planetene! Her er \(L\) luminositeten til sola og \(r\) avstanden mellom sola og planeten. Vi ser alts? at temperaturen ?ker jo st?rre luminositet sola har, og at den minker n?r avstanden til sola blir st?rre. Dette gir mening!! (OBS OBS, dette uttrykket er riktignok en forenkling. Vi har ikke tatt hensyn til planetenes atmosf?re og antar dessuten at de er sorte legemener. Dette er ikke helt realistisk! Mer om det litt senere...)

I de forrige blogginnleggene fant vi ut at planetbanene er veldig sirkul?re, slik at avstanden mellom planetene og sola er ganske konstant. Vi kan som en god tiln?rming si at store halvakse \(a\) blir tiln?rmet lik radiusen i banen. Vi bruker dette tallet n?r vi beregner temperaturen til planetene.

For ? beregne temperaturene trenger vi noe informasjon om stjerna og konstanter. Disse har vi m?lt vettu!

N? kan vi beregne temperaturen til planetene i solsystemet v?rt! (Husk p? tiln?rmingene vi har gjort, tallene blir derfor ikke heeelt perfekte!)

WOW, s? mange fine temperaturer! Her legger vi merke til noe ganske interessant. Planeten n?rmest sola, Kallypso, er veldig varm: 287 grader Celsius! Men se ?verst i dette innlegget, den befinner seg jo en avstand 1.7 AU fra sola; den er lenger unna sola enn deres planet jorda! Det m? jo bare bety at sola i solsystemet v?rt er veldig varm og stor! Jepp det er den, bare sjekk her:

Sola v?r er ganske mye st?rre og varmere enn deres sol! Det gj?r for eksempel at planeten v?r Thestral er veldig varm. Det hadde jo v?rt deilig ? komme til et sted med litt mer forfriskende temperatur.... Hva kan vi si om den beboelige sonen n? da? For ? ha flytende vann m? planettemperaturen v?re i omr?det mellom 260-390 K . I solsystemet v?rt er det alts? faktisk bare TO planeter som har flytende vann, og den ene er Thestral... Det betyr at vi ikke har noe valg, vi m? til planeten Armando!!! Ouff den s? litt kald ut, 1 grad Celsius bare! Vi ville jo fors?vidt ha en mer forfriskende planet, men er denne planeten litt vel frisk eller??

Vi m? ikke miste motet her, vi har jo gjort noen forenklinger. Den ene forenklingen er at vi har ansett planetene som sorte legemer, som vil si at de absorberer all str?ling som faller p? dem. I praksis er de jo ikke det, som betyr at de reflekterer noe av str?lingen som faller p? dem (med skyer og andre lyse flater for eksempel). Men det m? jo fors?vidt bety at temperaturen i virkeligheten er lavere enn det vi har funnet her??! ?h, det kan bli kaldt p? Armando.... Men vent! Det er en annen ting vi ikke har tatt hensyn til her, og det er atmosf?ren! Denne er jo superviktig for ? ?ke planettemperaturen, bare tenk p? drivhuseffekten! P? Thestral tenkte vi ikke nok p? drivhuseffekten, og n? er planeten oversv?mt... Forh?pentligvis har Armando en atmosf?re som kan holde p? varmen fra sola! For ? ta et eksempel dere kjenner godt:

If?lge en artikkel har jorda en gjennomsnittlig overflatetemperatur p? \(-13.2^{\circ}\) Celsius F?R man har tatt hensyn til drivhuseffekten. Drivhuseffekten gj?r at jorda har en gjennomsnittlig overflatetemperatur p? \(14^{\circ}\)C! Det er h?p for oss! (If?lge denne artikkelen).

Hvis drivhuseffekten bidrar med like mange plussgrader p? Armando som p? jorda betyr det at overflatetemperaturen plutselig kan bli p? rundt \(28^{\circ}\)C!! Ooh la la heeeelt sydenstemning jo!

N? er det uansett for sent ? klage! Det er bare ? brette opp ermene og begynne ? forberede alt som forberedes kan f?r landing. Det f?rste vi kan gj?re er ? beregne st?rrelsen p? solcellepanelene p? landingssonden v?r. Vi fant ut at de m?tte ha arealet

\(A=\frac{40W}{F_{inn}\cdot 0.12}=\frac{40W}{\frac{L}{4\pi r^2}\cdot 0.12}\)

Hvor \(L\) er luminositeten til stjerna og \(r\) er avstanden mellom stjernen og Armando. N?r vi setter inn tallene til Armando f?r vi at arealet til solcellepanelene m? v?re minst 

\(A\approx 0.26m^2\)

De m? alts? v?re ganske sm?! Hvert panel blir p? \(0.13 m^2\), som en liten, gammel TV! Det var gode nyheter, vi glemte faktisk mye av solcellepanelene v?re p? Thestral...

Men har vi hatt flaks, eller er det noe galt med utregningen mon tro?? Vi sjekker gjennom uttrykket vi har.

\(A=\frac{40W}{\frac{L}{4\pi r^2}\cdot 0.12}\)

For det f?rste, har det riktig enhet? Plutselig har vi jo oversett noe! Vi lister enhetene opp:

• \([W]=\frac{J}{s}\)
• \([L]=\frac{J}{s}\)
• \([r]=m\)

Da f?r vi at enhetene blir \(\frac{J/s}{J/s\cdot \frac{1}{m^2}}=m^2\). Enheten er riktig! Pffuuf, heldigvis har vi ikke gjort en s? grunnleggende feil som ? tulle med enheter!

Okay, men kan det v?re at noen av faktorene er feilproporsjonert? Vi ser at det eneste som er i v?re hender n?r det gjelder feilproporsjonerte faktorer er faktoren i nevneren: \(\frac{L}{4\pi r^2}\). Denne kan gj?re at arealet vi beregner blir for lite dersom \(L\) er for stor eller \(r\) er for liten.

\(L\) er luminositeten til sola, som vi fant at er \(L=\sigma T^4\cdot 4\pi R^2\), hvor \(T\) er temperaturen til sola og \(R\) er radiusen til sola. Har dette uttrykket riktig enhet mon tro?

• \([\sigma]=\frac{J/s}{m^2K^4}\)
• \([T]=K\)
• \([R]=m\)

Da v?r vi at \([L]=\frac{J/s K^4 m^2}{m^2K^4}=J/s\), som er akkurat det vi ville ha! Enhetene er riktige her ogs?. Luminositeten ser alts? ut til ? v?re riktig. Kan det v?re at avstanden \(r\) mellom stjerna og Armando er for liten? Neppe! Som for beregningen av temperaturen til planetene brukte vi at \(r\) er store halvakse i planetbanen. Siden banen til Armando har lav eksentrisitet, faktisk \(e=0.012\), er den tiln?rmet sirkul?r! Avstanden til stjerna varierer dermed ikke stort. Det virker alts? som at vi har beregnet riktig areal for solcellepanelene v?re! Er det ikke kult at de ikke trenger ? v?re st?rre enn \(0.13 m^2\), selv om panelene har en effektivitet p? 12%! Sola v?r lyser rett og slett utrolig sterkt! 

Men s? g?y, dere! Vi skal til Thestrals naboplanet Armando, kun ett hakk ut i solsystemet v?rt. Deilig ? ikke m?tte reise s? langt da, begynner ? bli litt stiv i ryggen av den trange raketten. Og prof. Elmis promp er like radioaktiv som Tsjernobyl... Det er forresten noe vi m? fortelle dere.