Sola beveger p? seg??

Frem til n? har vi kun sett p? kreftene som virker fra sola p? planetene i solsystemet v?rt. N? er det alts? p? tide ? se hvordan sola blir p?virket av den tyngste planeten i BLABLA, nemlig planet nummer 6 - Forlan. Forlan har en periodetid p? litt under 90 ?r og en masse som tilsvarer litt under 7 tusendeler av massen til sola deres. I kg blir det \(1.4*10^{27}\) kg. Satt i perspektiv veier planeten deres jorda rundt \(6.0*10^{24}\) kg. Forlan er alts? en tung, tung planet! Og hva vet vi om tunge ting? Jo, tyngdefeltet deres blir sterkere! Derfor vil vi se hvordan sola blir p?virket av tyngdefeltet til planeten Forlan. Det gj?r vi ved ? simulere banene deres og tegne dem i samme koordinatsystem.

F?rst m? vi kjapt presentere et nytt konsept for dere, nemlig massesenteret. Se for deg at du skal balansere en blyant p? fingeren. For de aller fleste blyanter kan du balansere den ved ? holde fingeren under midtpunktet. Dette punktet kalles massesenteret til blyanten. Hvis du har en slik en fancy blyant med viskel?r p? enden, innser du kanskje fort at du m? flytte fingeren n?rmere den tunge enden med viskel?ret for ? holde blyanten i balanse - massesenteret har flyttet seg n?rmere den tunge enden! Jo tyngre viskel?ret er, jo n?rmere viskel?ret flytter massesenteret seg. Det samme gjelder for sola og planeten. Hvis dere unders?ker posisjonen til massesenteret mellom sola og planetene i solsystemet deres, vil dere ofte oppdage at massesenteret befinner seg inni sola! Det er nettopp fordi sola er s? utrolig mye tyngre enn planeten.

Men selv om sola er mye tyngre betyr det ikke at den ikke beveger seg! Dette kommer tydelig frem n?r vi plasserer oss i et nytt referansesystem, nemlig referansesystemet til massesenteret. N?r vi er i dette referansesystemet vil massesenteret v?re i ro, og vi observerer stjernen og planeten g? i bane rundt det samme punktet! Bevegelsen er riktignok ikke veldig stor, s? vi sier at stjernen "wobbler" littegrann. Men det som er ekstra kult er at vi kan estimere massen til planeten som f?r stjerna til ? wobble ut fra amplituden til wobblingen! Dette er en metode man bruker i astrofysikk for ? finne massen til ekstrasolare planeter, det vil si planeter som g?r i bane rundt andre stjerner enn v?r egen! Ok, nok prat - la oss se p? banene!

Vi advarte dere - wobblingen er ikke spesielt stor! Hvis vi zoomer inn en del ganger f?r vi likevel se at sola faktisk beveger p? seg her!

Her ser vi at sola faktisk g?r i en fin liten sirkul?r bane om massesenteret. Forlan har en periodetid p? 90 ?r, s? p? denne perioden beveger stjernen seg i en sirkel med radius p? omtrent 0.008 AU. Det tilsvarer omtrent 1.2 millioner kilometer! Vi blir fortsatt overveldet av hvor stort verdensrommet er...

Selv om Forlan er den tyngste planeten i solsystemet v?rt, er alts? ikke den gravitasjonelle trekkraften p? sola spesielt stor. Det har selvf?lgelig ogs? noe med at Forlan g?r i bane ganske langt unna sola. Dere vet jo godt allerede at tyngdekraften er omvendt proporsjonal med kvadrat av avstanden! Kanskje vi f?r st?rre effekt hvis vi unders?ker effekten av trekkraften fra planeten n?rmest sola, Kallypso?

Nei, Kallypso er s? lett at solas bane om massesenteret fortsatt bare er en liten prikk. Hvis vi zommer inn mer ser vi at solbanen n? faktisk er enda mindre:

Vi ser at sola trekkes enda mindre p? av Kallypso en av Forlan. Dette er fordi Kallypso er mye lettere enn Forlan!

Hmm... kan vi v?re sikre p? om disse resultatene er riktige da? Er det noen verdier vi kan sjekke om stemmer? Hva er det vi vet om denne typen systemer? JO! Vi vet at energien skal v?re bevart! Hvis vi bare hadde en formel som gir oss energien til systemet...

- Direkte fra Torta. Davy G. er fortvilet, han klarer ikke ? finne energien i to-legeme-problemet.

Davy G.: DET G?R IKKE!!!! Jeg skj?nner ikke greia, hvordan skal jeg finne energien? Det hele er jo helt h?pl?st!! ?kke vits ? pr?ve ? skj?nne noe av de solbanene, vi f?r jo ikke sjekka om energien er bevart engang... (en t?re renner ned hans kinn)

Prof. Elmi: eeeehhhmmm Davy? Jeg tror jeg har en ide... Denne er kanskje p? niv? med rakettmotorideen!!! Bare ta det heeeelt med ro, jeg fikser det.

Vi fil finne totalenergien til et system med to masser. Vi ser for oss at vi har massene \(m_1\) og \(m_2\), med hver sin retningsvektor \(\vec{r_2}\) og \(\vec{r_2}\) som peker fra origo til massene. Hvis vi definerer \(v_1=\dot{\vec{r_1}}\) og \(v_2=\dot{\vec{r_2}}\), kan vi skrive totalenergien i systemet med de to massene som

\(E=E_k+E_p=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2+U(r)\)

Hvor \(U(r)\) er potensialet mellom dem.

Vi er i verdensrommet og tar n? kun hensyn til de to massene, det vil si at den eneste kraften som virker p? dem er gravitasjonskraften dem imellom. Vi skriver den relative avstanden mellom massene som \(r=|\vec{r}|=|\vec{r_2}-\vec{r_1}|\). Gravitasjonskraften er gitt fra Newtons gravitasjonslov:

\(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\)

Hvor \(G\) er gravitasjonskonstanten og \(r\) er den relative avstanden mellom massene \(m_1\) og \(m_2\). 

Vi vet at \(F=-\nabla U\), slik at den potensielle energien til systemet m? v?re gitt ved:

\(U(\vec{r_1}, \vec{r_2})=-G\frac{m_1m_2}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|}=G\frac{m_1m_2}{r}\).

Vi introduserer n? et nytt punkt, nemlig massesenteret. Vektoren til massesenteret er gitt ved:

\(\vec{R}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}}{m_1+m_2}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}}{M}\)

Hvor M er den totale massen til de to legemene \(M=m_1+m_2\). Vi kan n? uttrykke \(\vec{r_1}\) og \(\vec{r_2}\) med massesentervektoren og vektoren for den relative avstanden.

\(\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}\)

\(\vec{r_2}=\vec{r}+\vec{r_1}\)

\(\vec{R}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}}{M}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2(\vec{r}+\vec{r_1})}{M}\)

som gir at

\(\vec{r_1}=\vec{R}-\frac{m_2\vec{r}}{M}\)

P? samme vis f?r vi at \(\vec{r_2}=\vec{R}+\frac{m_1\vec{r}}{M}\).

Vi deriverer de nye uttrykkene vi har f?tt

\(\dot{\vec{r_1}}=v_1=\dot{\vec{R}}-\frac{m_2\dot{\vec{r}}}{M}\)

\(\dot{\vec{r_2}}=v_2=\dot{\vec{R}}+\frac{m_1\dot{\vec{r}}}{M}\)

Vi f?r da at den kinetiske energien er gitt ved:

\(\begin{equation} \begin{split} E_k &= \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \\ &= \frac{1}{2} ( m_1 [\dot{\vec{R}} - \frac{m_2}{M} \dot{\vec{r}}]^2 + m_2[ \dot{\vec{R}} + \frac{m_1}{M} \dot{\vec{r}} ]^2) \\ &= \frac{1}{2} M \dot{\vec{R}} ^2 + \frac{1}{2} \mu \dot{\vec{r}} ^2 \end{split} \end{equation}\)

Hvor vi definerer den reduserte massen, \(\mu=\frac{m_1m_2}{M}\).

Siden vi n? er i referansesystemet til massesenteret mellom legemene kommer det til ? forenkle uttrykket v?rt ytterligere. Fra klassisk mekanikk har vi l?rt at den totale bevegelsesmengden til de to massene er slik at det er som om den totale massen \(M\)er samlet i massesenteret og f?lger det mens det beveger seg:

\({\vec{P}}=M\dot{\vec{R}}\)

Hvor \({\vec{P}}\)er den totale bevegelsesmengden til systemet. Vi vet at den totale bevegelsesmengden skal v?re konstant, slik at:

\(\dot{\vec{R}}=konstant\).

N?r vi da velger et referansesystem hvor massesenteret er i ro, kan vi sette\(\dot{\vec{R}}=\vec{0}\). Dermed f?r vi at: 

\(E_k=\frac{1}{2} M \dot{\vec{R}} ^2 + \frac{1}{2} \mu \dot{\vec{r}} ^2=\frac{1}{2}\mu \dot{\vec{r}}^2\)

Vi har alts? forel?pig at den totale energien i systemet er

\(E=\frac{1}{2}\mu v^2-G\frac{m_1m_2}{r}\)

Hvor vi har satt \(v=\dot{\vec{r}}\). Vi skriver om \(m_1m_2\) med \(M\) og \(\mu\):

\(m_1m_2=(m_1+m_2)\cdot\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}=M\mu\)

Dermed har vi at den totale energien til to-legeme-systemet med stjerna og planeten er:

\(E=\frac{1}{2}\mu v^2-\frac{GM\mu}{r}\)

Hvor \(\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\) er den reduserte massen, \(v\) er den relative farten, \(r\) er den relative avstanden, \(G\) er gravitasjonskonstanten og \(M\) er den totale massen til systemet.

WOW, prof. Elmi!!! Flaks at vi har en professor ombord p? raketten! N? kan vi sjekke om energien er bevart i systemet med sola og planeten!! Vi bruker uttrykket for ? plotte energiendringen over tid. Vi har st?rre tro p? at Forlan gir oss mer interessante resultater siden det er den tyngste planeten. F?rst, veldig kort, hva ser vi etter? For det f?rste vil vi at energien skal v?re negativ fordi de er bundet i bane om hverandre og ikke "stikker av". De er p? en m?te "fanget" av den potensielle energien. For det andre vil vi at eventuelle endringer i energien skal v?re bittebittesm?! Ok, la oss se!

Ved f?rste ?yekast kan det virke som at vi har gjort noen feil her, ettersom energien ikke er en rett strek... Men ikke fortvil! Det er faktisk ikke s? verst dette her! Energien er negativ slik vi ?nsket, det er bra. Vi unders?ker hvilke tallverdier vi har med ? gj?re her:

Energiuttrykket til prof. Elmi viser oss dermed at vi tilsynelatende har klart ? beregne sol- og planetbanen slik at energien er utrolig n?rt ved ? v?re bevart! Her kan vi ogs? takke Leap-frog-integrasjon, som er kjent for ? bevare energien i systemene den brukes for ? simulere. Vi kan med andre ord v?re ganske sikre p? at vi har klart ? simulere et to-legeme-system, best?ende av sola og planeten, hvor energien er bevart. 

Det er alts? ingen tvil - planetene f?r sola til ? bevege seg! Dette er superinteressant kunnskap ? ha n?r vi unders?ker fjerne stjerner, og hvorvidt de har planeter som g?r i bane rundt dem. Vi vil jo kunne observere hvordan disse planetene flytter p? stjerna! Mer om dette senere i bloggen!

I neste innlegg skjer det noe sykt...