SPELLKILLERJKs lover bevist???

 Vi begynner med Keplers andre lov. Hvis dere har glemt hvordan den s? ut, g? gjerne tilbake i bloggen. Her viser vi den p? nytt med en illustrasjon:

Loven sier alts? at planeten utspenner et like stort areal over samme tid, uansett hvor i banen den er (se figur 1). Vi sjekker om dette stemmer for banen til Thestral!

Siden banen til Thestral er veldig sirkul?r blir bredden til de utspente arealene veldig like. Med det blotte ?yet ser det jammen meg ut som at arealene er like store, og at Keplers andre lov fortsatt ikke har blitt brutt her heller! Hva sier tallene da?

Det ser ut til at teorien stemmer med det vi m?ler! Thestral beveger seg i snitt fortere ved perihelion enn aphelion, og forflytter seg dermed en lengre strekning. Med 3 desimaler ser vi ogs? at arealene som spennes ut er like store. Hvor mange desimaler trenger vi f?r de spriker fra hverandre?

Arealene er tilsynelatende like helt ned til milliarddelen! Teoretisk sett skal de selvf?lgelig v?re helt identiske, men gitt at disse tallene kommer fra observasjoner vi har gjort, er det superbra!

Vi burde imidlertid gj?re noen vurderinger av resultatene her. N?r vi beregner snittfarten har vi for eksempel summert fartene ved hver tidssteg, og delt denne summen p? antall tidssteg vi har m?lt over. Men snittfarten kan jo ogs? beregnes p? enkelt vis med:

\(\bar{v}=\frac{buelengde}{tid}\)

Vi sjekker om vi n? f?r samme resultat, ved ? dele strekningen forflyttet fra tabellen over, med tiden vi m?ler over (her er det 4 m?neder).

Gjennomsnittsfartene samsvarer!! Det var bra.

Vi sier oss imidlertid ikke forn?yde der, for vi kan gj?re enda en ting for ? sjekke om metoden vi bruker gj?r det vi faktisk ?nsker at den skal gj?re. Vi tar n? kun utgangspunkt i aphelion, og ser hvor stort areal planeten utspenner i l?pet av en hel periodetid. Er dere ikke enige at hvis planeten begynner i aphelion, og beveger seg en hel periode, b?r den spenne over arealet til hele banen? Vi sjekker det!

Det ser bra ut dette! Planeten utspenner hele arealet til banen i l?pet av en periode. Det b?r ogs? bety at kodens beregning av det utspente arealet m? samsvare med det analytiske resultatet for arealet til banen... Eller?

Det riktige arelaet finner vi med formelen for arealet til en ellipse:

\(A=\pi ab\)

Hvor \(a\) og \(b\) er henholdvis store og lille halvakse. Vi sammenlikner analytisk og numerisk beregnet areal:

Hmmm... her har det jo skjedd noe rart! Vi beregner dobbelt s? stort areal! Vi m? revurdere metoden v?r her. Det virker som at m?ten vi beregner arealet p?, gj?r at det blir dobbelt s? stort! Frem til n? har vi beregnet det som arealet til en sirkelsektor:

\(A=\frac{\theta}{2}r^2\)

Hvor \(\theta\) er vinkelen i sirkelsektoren og \(r\) radiusen til sirkelen. Man skulle tro at dette ga riktig resultat... Hmmm vi m? finne en annen m?te ? beregne arealet p?. JA! Hva om vi bruker vektorregning i stedet? Den r-en vi m? bruke i formelen er jo en gjennomsnittlig r mellom de to r-ene vi sjekker arealet over. Det kan jo hende denne ikke blir helt presis i lengden? Hva om vi i stedet tegner en trekant med origo og de to etterf?lgende posisjonene til planeten som hj?rner?

Da bruker vi formelen for arealet av en trekant p? vektorform:

\(A=\frac{1}{2}|\vec{r_0}\times\vec{r_1|}\)

Hvor \(\vec{r_0}\) og \(\vec{r_1}\) er vektorene som utspenner arealet. Vi ser hva som skjer n?r vi beregner arealet p? denne m?ten. Forh?pentligvis blir det bedre n?!!!

JADDAAA!!! N? ble det riktig!! Ouff s? utrolig deilig! Vektorer assa, man skal ikke undervurdere dem.

Men da m? vi vel endre p? resultatene for utspent areal ved aphelion og perihelion i l?pet av 4 m?neder? 

Her ble faktisk resultatene helt like som med den f?rste metoden. Det tyder p? at det er n?r vi beveger oss en hel runde at det blir tr?bbel med den forrige metoden. OK, vi kan si oss forn?yd med Keplers andre lov. Den stemmer jo utrolig godt med det vi m?ler!!! 

N? gjenst?r det ? sjekke Keplers tredje lov... Kanskje vi finner noe uvanlig her? Keplers tredje lov gir oss en formel for ? beregne periodetiden til en planet, alts? tiden den bruker p? ¨¦n runde rundt sola. Vi repeterer fort hvordan denne s? ut:

\(P^2 = \frac{4\pi^2}{\gamma (M_s+m_p)}a^3\)

Hvor vi har at \(P\) er periodetiden i ?r, \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten, \(a\) er store halvakse, \(M_s\)  er massen til stjerna og \(m_p\) er massen til planeten. NB! Vi regner n? alle avstander, som store halvakse, i AU (astronomiske enheter). Da m? ogs? gravitasjonskonstanten v?re i AU-enheter!

Dette uttrykket er faktisk ikke det originale uttrykket Kepler kom frem til i sin tid, men et korrigert uttrykk som Newton kunne utlede med sin nye gravitasjonslov. Keplers opprinnelige uttrykk var mye enklere:

\(P^2=a^3\)

Hvor \(a\) fortsatt er store halvakse. Kommer vi til ? finne en tydelig forskjell mellom disse ulike versjonene? N? skal vi nemlig sammenlikne periodetidene vi f?r fra disse to uttrykkene, og periodetiden vi f?r n?r vi simulerer banen til hver planet!

Vi kaller Newtons korrigerte versjonen for \(P_{korrigert}\), Keplers originale versjon for \(P_{original}\) og tiden vi selv finner numerisk for \(P\).

Som dere ser er det stor variasjon i solsystemet v?rt! Thestral bruker litt over 7 ?r p? en runde rundt sola, mens planet nr. 8, bedre kjent som Mertesacker, bruker nesten 230 ?r p? en hel runde!! Ser vi p? Keplers originale versjon er spriket ganske stort fra de to andre. Det er en klar m?lbar forskjell i periodetidene, som tyder p? at dette uttrykket rett og slett ble litt for simplelt. Det holder ikke ? bare se p? store halvakse! 

Men j?ss se p? tallene da! Newtons korrigerte versjon av Keplers tredje lov stemmer med tallene vi finner numerisk n?rmest p? en prikk! La oss pr?ve ? g? enda litt n?rmere og finne den absolutte usikkerheten mellom disse to:

Avvikene er generelt ganske sm?, som tyder p? at vi har valgt en god integrasjonsmetode! Som nevnt tidligere har vi brukt Leap-frog - en litt mer avansert m?te ? integrere numerisk p? enn Euler-metoden. 

Etter alle disse betraktningene ser det jammen meg ut som at Keplers lover fortsatt gjelder - ogs? for Thestral! Vi kan vel p? en m?te si at vi har bevist dem i praksis??? N? har dere i hvert fall l?rt mye om hvordan disse lovene kan benyttes for ? n?rmere unders?ke planetene i solsystemet deres, vi h?per dere pr?ver ? gj?re det selv! V?r utforsking av solsystemet tar imidlertid ikke slutt her, bli med videre p? ferden!