Den siste forberedelsen vi vil gj?re (i hvert fall denne gang) er ? finne ut av hvor n?rme destinasjonen v?r vi m? v?re for ? ta bilde av den. For ? gj?re dette, m? vi f?rst vite litt om kameraet v?rt. Akkurat hvordan kameraet v?rt ser ut, er ikke bestemt enda, men vi kan anta at det er kvadratisk, alts? at dimensjonene p? bildet er likt p? begge akser.
Vi definerer P som antall piksler kameraet har langs hver akse, og F som antall radianer i kameraets synsfelt, eller "field of view". P er ganske selvforklarende, men F krever litt ekstra forklaring.
P? figur 1) kan vi se et kamera fra siden. Et kamera tar bilder ved ? fange opp lys, som betyr at kameraet m? slippe lyset inn. Vinkelen F er alts? vinkelen som bestemmer hvor stor denne ?pningen er (se figur 1), s? jo st?rre F, jo lenger kan man se langs hver akse (dersom man utvider F, vil man kunne se h?yere opp og lavere ned!). Kostnaden for ? ?ke F, er at F er uavhengig av antall piksler, som betyr at hver piksel m? dekke mer lys, alts? vil kvaliteten p? bildet g? ned.
Med v?re kvadratiske dimensjoner f?r vi \(P \times P\) piksler og \(F \times F\) synsfelt, som gir oss f?lgende bilde:
P? figur 2) kan vi se at kameraets synsfelt krummer en vinkel f for hver piksel. Siden vi har like store st?rrelser p? begge aksene, kan vi finne dette forholdet! Vi f?r \(f = \frac F P\) (Du kan tenke p? det som at vi p? hver akse har en total vinkel F, som fordeles over P piksler!)
Vi ?nsker ? kunne ta bilde av v?r destinasjonplanet, og man sier som regel at man kan se et objekt p? et bilde dersom det er st?rre enn 1 piksel i st?rrelse, s? vi m? finne ut hvor n?rme planeten vi m? v?re for at den gj?r dette.
Dersom vi har planeten innenfor kameraets synsfelt (se figur 3)), og vi ser p? de to vektorene som g?r fra kameraet til planetens sentrum, og fra kameraet til planetens nordpol (se figur 3)), har vi at disse vektorene danner en vinkel mellom seg. Vi kaller denne vinkelen \(\theta\). Siden vi n? vet at hver piksel tar opp \(f\) radianer, vet vi at dersom \(\theta \geq f\), at planeten vil ta opp mer enn en piksel p? bildet! Vi trenger alts? bare ? finne denne \(\theta \) (her har vi faktisk hoppet over et litt teknisk steg, som du kan lese om i 3. del her).
Dersom vi definerer \(L\) og \(R\) som lengden fra planeten til kamera og planetens radius (se figur 3)), vet vi fra trigonometrien at \(\tan \theta = \frac R L\). Planeten vil v?re langt unna, s? vi vet at denne vinkelen vil v?re veldig liten, og da har vi et lite triks vi fysikere liker ? bruke. Det har seg slik at funksjonene \(f(x) = \tan x\) og \(g(x) = x\) oppf?rer seg nesten helt likt n?r x er veldig n?rme 0. Dermed sier vi at \(\tan \theta = \theta\), s? lenge \(\theta\) er liten. Denne aproksimasjonen kaller vi sm?vinkelapproksimasjonen.
For at planeten skal v?re synlig (st?rre en en piksel) har vi da at
\(\theta \geq f \Leftrightarrow\\ \frac R L \geq \frac F P \Leftrightarrow \\ \frac {RP} F \geq L\)
Vi snur p? denne ulikheten, s? vi f?r L p? venstre side (og s? m? vi huske at dette n? er en tiln?rming siden vi bruker sm?vinkelapproksimasjonen), og f?r
\(L \lesssim \frac {RP} F\)
Dette er alts? hvor n?rme vi m? v?re for ? kunne ta bilder av planeten.
P? tide ? g? videre.
Logg inn for ? kommentere