Mattenerder

Posisjonsvektor langs x-aksen

N?r vi finner posisjon i solsystemet, sier vi at vektoren \(\vec{R_r}\) peker langs x-aksen f?r vi roterer den, men dette er ikke helt riktig. Siden simulasjonen v?r regner med rotasjonen til planeten rundt seg selv, vil \(\vec{R_r}\) danne en liten vinkel med x-aksen. y-komponenten til \(\vec{R_r}\) vil v?re betydelig mindre enn x-komponenten, men det viser seg at forholdet mellom disse er irrelevant, siden denne y-komponenten ogs? roteres med \(\theta\). Dette betyr at \(\vec{R_r}\) etter rotasjonen beholder denne lille vinkelen som dannes med den vektoren \(\vec{R_r}\)  ville rotert til dersom den l? kun langs x-aksen (se Figur 1).

Rotasjonsmatrise

Vi har fortsatt ikke tenkt til ? forklare helt hvordan matriser fungerer, men vi kan gi en demonstrasjon p? hvordan vi bruker dem rent algebraisk. Vi definerer \(A_\theta\) som

\(A_\theta = \left[\begin{matrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{matrix}\right]\)

og \(\vec{R_r}\) som \(\vec{R_r} =({R_{r_x}},{R_{r_y}})\). N?r vi multipliserer disse sammen, tar vi prikkproduktet av f?rste rad i \(A_\theta\) med \(\vec{R_r}\), og s? prikkproduktet av andre rad i \(A_\theta\) med \(\vec{R_r}\). Vi f?r

\(A_\theta \vec{R_r} = \left[\begin{matrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{matrix}\right] ({R_{r_x}},{R_{r_y}}) = (R_{r_x}\cos \theta - R_{r_y}\sin \theta,R_{r_x}\sin \theta + R_{r_y}\cos \theta)\)

Dette utrykket er alts? \(\vec{R_r}\) rotert med \(\theta\). Dersom vi legger inn \(\theta = 0\), kan vi se at vi bare f?r ut \(\vec{R_r}\) igjen, og dersom vi legger inn \(\theta = \pi\), f?r vi ut \((R_{r_x},-R_{r_y})\), som er vektoren rotert \(90^\circ\) rundt origo. Vi bruker alts? denne metoden for ? rotere vektoren v?r rundt planeten, slik at vi f?r riktig vinkel ut fra overflaten.

Pikselst?rrelser og vinkler

N?r vi beregner hvor n?rme vi m? v?re en planet for ? kunne se den p? et bilde, bruker vi bare vinkelen \(\theta\) som halve planeten tar opp (fra sentrum til nordpol), mens hele planeten tar egentlig opp \(2\theta\) (fra nordpol til s?rpol). Vi ?nsker at hele planeten skal ta opp mer enn en piksel, s? hvorfor bruker vi bare halve?

Svaret kommer fra at pikselantall alltid er heltall, s? for ? garantere at et legeme tar opp mer enn en piksel, m? vi faktisk garantere at den tar opp mer eller lik to! (Vi kan tross alt ikke ha at planeten tar opp 1.3 piksler).

Regnestykket blir da egentlig \(2\theta \geq 2f\), men da forsvinner begge toerne, og vi f?r det samme utrykket vi brukte (eventuelt kan du tenke deg at dersom halve planeten tar opp mer enn 1 piksel, har vi at hele planeten vil ta opp 2).

(Det er ogs? et poeng ? p?peke at vi bruker utrykkene nordpol og s?rpol for ? beskrive topp og bunn av planeten her. Dette er ikke n?dvendigvis riktig, siden vi kan se p? planeten fra hvilken som helst vinkel, slik at nordpol ikke er p? topp og s?rpol ikke er p? bunn. Siden vi har antatt at planeten er en perfekt kule, kan vi regne p? den som om nord er p? topp og s?r er p? bunn, kuler har sf?risk symmetri)