For ? finne hvor vi skal reise m? finne ut hvilke planeter det er mest sannsynlig ? finne nissen p?, da trenger vi tempraturene.
Fra tidligere har vi at all energien en planet absorberer (per sekund) fra stjernens str?ling er gitt ved
\(I = \frac{T_\star^4 \sigma r_\star^2}{R_p^2} \pi r_p^2\)
der \(T_\star\) er stjernens overflatetemperatur, \(r_\star\) er stjernens radius, \(r_p\) er planetens radius, \(R_p\) er planetens distanse fra stjernen, og \(\sigma\) er Boltzmanns-konstanten.
Vi ?nsker n? ? finne overflatetemperaturen til planetene, slik at vi kan finne ut hvilke av planetene i solsystemet v?rt som er beboelige. For ? gj?re dette, antar vi at planetene er sorte legemer (dette er ikke sant, men det gir oss en god nok approksimasjon), og vi vil ogs? anta at temperaturen er lik over hele planeten (igjen, ikke helt riktig, men gir oss fortsatt gode resultater).
Siden vi n? har antatt at planetene er sorte legemer, kan vi n? snu p? Stefan-Boltzmanns lov, denne gangen for ? finne ut hva temperaturen er:
\(F = \sigma T^4 \rightarrow T = \sqrt[4]{\frac F \sigma}\)
For ? bruke denne loven trenger vi at temperaturen er konstant ved planeten (som vi antar), og vi m? vite utg?ende fluks, mens vi bare har tilgang til inng?ende fluks. For ? finne den utg?ende fluksen, bruker vi det at temperaturen er konstant og energi er bevart, som betyr at inng?ende intensitet er lik utg?ende intensitet! Siden vi har inng?ende intensitet, kan vi da finne utg?ende fluks ved ? dele p? hele overflatearealet til planeten:
\(F = \frac I {A_p} = \frac{\frac{T_\star^4 \sigma r_\star^2}{R_p^2} \pi r_p^2}{4\pi r_p^2} = \frac{T_\star^4 \sigma r_\star^2}{4R_p^2}\)
Med dette kan vi finne et utrykk for planetenes temperaturer:
\(T_p = \sqrt[4]{\frac{\frac{T_\star^4 \sigma r_\star^2}{4R_p^2}}{\sigma}} = \sqrt[4]{\frac{T_\star^4 r_\star^2}{4R_p^2}} = \sqrt[4]{\frac{r_\star^2}{4R_p^2}}T_\star\)
Til slutt, vil vi fjerne fjerde-roten:
\(T_p = \sqrt[4]{\frac{r_\star^2}{4R_p^2}}T_\star = \sqrt{\frac{\sqrt {r_\star^2}}{\sqrt {4R_p^2}}}T_\star = \sqrt{\frac{r_\star}{2R_p}}T_\star\)
N? har vi en modell for planetenes overflatetemperatur! Denne modellen kan vi l?re mye interessant fra.
F?rst, kan vi se at b?de \(r_\star\) og \(T_\star\) er konstante for et gitt solsystem. Det er alts? bare \(R_p\), distansen fra stjernen, som bestemmer hvor h?y planetenes temperaturer er i forhold til hverandre. Samtidig ser vi at planetenes st?rrelser er helt irrelevante ovenfor planetenes temperaturer. Dette er grunnen til at vi kaller omr?det der liv kan oppst? for den "beboelige sone", det er alts? et omr?de i forhold til stjernen!
P? figur 1) kan vi se et eksempel p? dette. S? lenge planetene ligger innenfor det oransje beltet, vil de v?re beboelige!
I utrykket kan vi ogs? se at temperaturen er gitt ved \(R_p\), men vi m? huske at denne verdien ikke er konstant! Planetene g?r ikke i perfekte sirkelbaner, s? distansen fra stjernen vil endre seg i l?pet av banen. Heldigvis har vi en database vi har beregnet tidligere, med posisjonene til planetene over tid, s? alt vi trenger ? gj?re, er ? beregne temperaturen for hver av disse posisjonene!
Vi har valgt beboelige temperaturer til ? v?re alle temperaturer mellom 260K og 390K, slik at vi kan garantere flytende vann (egentlig fryser vann ved 273K og koker ved 373K, men vi tillater litt slingringsmonn her).
P? figur 2) kan vi se at to av planetene i solsystemet v?rt faller innenfor den beboelige sonen. Den f?rste, indeksert som Planet 1, er v?r planet, som er forventet (vi bor tross alt der). Den andre planeten, indeksert som Planet 2, er v?r n?rmeste nabo, og er noe kaldere enn det v?r planet er (som man kan se p? figur 2)).
N? er det p? tide for oss ? velge en planet ? reise til (selv om vi ikke har s? mange gode valg).
Logg inn for ? kommentere