Vi utforsker stjerna v?r

Bright like a diamond

Stjerner er fascinerende og ikke minst vakre objekter. If?lge NASA, s? er det omtrent ¨¦n kvadrillion (1 etterfulgt av 24 nuller) stjerner i universet, og stjerna i v?rt solsystem er ¨¦n av dem. Stjerner er gigantiske ansamlinger av gass, og det fins mange forskjellige typer stjerner i universet med forskjellige egenskaper.

 

Stjerneliv og stjerned?d

Stjerner kategoriseres ofte ved hjelp av et Hertzprung-Russel diagram (HR-diagram). Her kategoriseres stjerner etter luminositet og temperatur. Vi har snakket en del om luminositet tidligere, i tilfelle du trenger en oppfriskning p? temaet.

Dette diagrammet viser hvordan stjerner utvikler seg fra de blir f?dt til de d?r. Den lange linja i HR-diagrammet kalles hovedserien, og de er her de fleste stjerner befinner seg. Stjerner som brenner hydrogen i kjernen befinner seg her, blant annet sola i Melkeveien, som befinner seg omtrent midt p? hovedserien. Det er massen til stjerna som bestemmer hvor p? hovedserien den havner, siden st?rre stjerner er varmere og mer lyssterke. Til h?yre i diagrammet har vi kjemper og superkjemper. Disse stjernene befant seg en gang i hovedserien, men n?r de har brent opp alt hydrogenet s? blir de til kjemper. Disse stjernene er veldig lyssterke, men kj?lige p? overflaten. I denne delen av diagrammet s? har vi r?de kjemper, som er i sin siste fase av livssyklusen sin. Til venstre i diagrammet har vi hvite dverger. Disse har veldig h?y overflatetemperatur, men lav luminositet. Disse stjernene er veldig sm? og produserer ikke lenger energi via fusjon, slik at de blir kaldere og kaldere med tiden.

HR-diagrammet viser derfor en stjernes utvikling: n?r en stjerne f?des fra en stjernet?ke, s? begynner fusjonen og stjerna befinner seg p? hovedserien. Etter lang tid s? vil det v?re tomt for hydrogen i kjernen, og andre grunnstoffet begynner ? fusjonere istedet. Da vil stjerna utvikle seg til en r?d kjempe eller en superkjempe. Den siste fasen er stjerned?d, hvor vi klassifiserer stjerna som en hvit dverg.

 

Hvilken type stjerne er v?r stjerne?

Vi har lyst ? finne ut hvor i HR-diagrammet v?r stjerne h?rer til. Vi vil alts? finne ut om stjerna v?r h?rer til i hovedserien, om den er en hvit dverg eller en kjempe. For ? finne ut av dette, s? m? vi finne luminositeten til stjerna v?r, alts? hvor mye energi som sendes ut per sekund, m?lt i watt. Tiden flyr og det gj?r av og til hukommelsen ogs?. La meg lynkjapt fortelle om luminositet:

Luminositeten til en stjerne forteller oss hvor lyssterk den er, eller mer teknisk sagt hvor mye energi i form av elektromagnetisk str?ling en stjerne sender ut per sekund. Du husker kanskje at fluks er mengden energi gjennom en flate per sekund (\(\text W / \text m^2\)), alts? energi per areal per tid. Luminositeten er derfor det samme som fluks ganger areal, \(L = F\cdot A\). Fluksen f?r vi fra Stefan-Boltzmanns lov:

\(F = \sigma T^4\)     \((1)\)

hvor \(\sigma = 6.67 \cdot 10^{-8} \text W / \text m^2 \text K^4\)  er Stefan-Boltzmanns konstant og \(T \) er overflatetemperaturen til et svart legeme (vi antar her at stjerner er svarte legemer som ikke reflekterer lys). Vi setter inn for fluksen og f?r at luminositeten er:

\(L = F \cdot A = \sigma T^4 4\pi R^2\)   \((2)\)

hvor \(A = 4\pi R^2\) er overflatearealet til stjerna og \(R\) er radiusen.

Vi ser fra \((2)\) at luminositeten avhenger av overflatetemperaturen og radiusen til stjerna v?r. Vi har med oss avanserte m?leinstrumenter, slik at vi har disse m?lingene:

Masse:	\(6.65711689\cdot 10^{30} \ \text{kg}\) / \(3.34784972 \ \text M_\odot\)
Radius:	\( 1 \ 719 \ 671 \ 963.168477 \ \text{m} \)
Overflatetemperatur:	\(10 \ 428.6385 \ \text K\)

 

Vi finner luminositeten til stjerna

Vi har alle de kjente st?rrelsene vi trenger til ? regne ut hvor lyssterk stjerna v?r er. Vi setter inn for radius og overflatetemperatur i \((2)\) og finner luminositeten:

\(L = 6.67 \cdot 10^{-8} \text W / \text m^2 \text K^4 \cdot \ (10428.6385 \ \text K)^4 \cdot 4 \pi ( 1719671963.1684773 \ \text{m})^2 \approx 2.4924\cdot 10^{28} \ \text W\)

Vi kan uttrykke dette ved luminositet i forhold til solas luminositet, som er \(L_\odot = 8.846 \cdot 10^{26} \ \text W\):

\(L = \frac{L}{L_\odot} \approx 64.81 \ L_\odot\)

Stjerna v?r er alts? nesten 65 ganger mer lyssterk enn sola i Melkeveien! Jammen er det lyst p? Casjoh.

Vi har plottet v?r stjerne inn i HR-diagrammet for ? se hvilken type stjerne v?r stjerne er:

Stjerna i v?rt solsystem er alts? en hovedserie-stjerne med ganske h?y temperatur og luminositet. Men s? nysgjerrige som vi er, s? stopper vi ikke her. Vi vil finne ut s? mye som mulig om stjerna v?r. Vi kan hoppe videre til ? studere masseprofilen og kjernetemperaturen til stjerna.

 

Stjerner er enkle...

Eller, vi bestemmer at de skal v?re det. For ? kunne si noe om temperaturen i kjernen, s? m? vi f?rst vite noe om tettheten til stjerna. Vi begynner med en rekke antagelser:

• Sf?risk symmetri: vi antar at tettheten har sf?risk symmetri og at den kun vil avhenge av avstanden \(r\) til sentrum av stjerna. 
• Uniform tetthet: vi antar at tettheten er uniform, slik at den er det samme over hele stjerna. Alts? er \(\rho (r) = \rho_0\). 
• Hydrostatisk likevekt: stjerna antas ? v?re i hydrostatisk likevekt. Det vil si at tyngdekraften som trekker massen inn mot sentrum og trykkraften som presser massen utover, er like store og motsatt rettet slik at disse balanserer hverandre ut. Dette hindrer at stjerna ekspanderer eller imploderer, slik at den er stabil.  
• Ideell gass: vi antar at stjerna best?r av ideelle gasser, slik at vi kan bruke den ideelle gassloven. Massive stjerner med h?y kjernetemperatur har str?lingstrykk, men vi ser bort fra dette i v?r modell. 
• Kun protoner: vi ansl?r at stjerna kun best?r av protoner, hvor hydrogenmassen er \(m_H = 1.673 \cdot 10^{-27} \ \text{kg}\)

 

En liten oppfriskning

Vi har forklart flere av disse konseptene i detalj n?r vi modellerte atmosf?ren rundt Casjoh, og den samme forklaringen gjelder her. Likevel s? minner vi dere p? den ideelle gassloven:

\(P = nkT\)     \((3)\)

hvor \(n\) er antall partikler per volum (m?lt i \(\frac{1}{\text m^3}\)), \(k= 1.38\cdot 10^{-23} \ \text{J/K}\) er Boltzmanns konstant og \(T\) er temperaturen vi ser p? m?lt i Kelvin.

Siden tettheten er uniform, s? er det like mange protoner overalt i hele volumet av stjerna. Vi vet at tettheten er gitt ved \(\rho_0 = \frac{M}{V} \implies M = \rho_0 V\). Videre er den totale massen \(M\) sammensatt av \(N\) protoner med masse \(\mu m_H\), hvor \(\mu = 1\) er den midlere molekylmassen til hydrogen, slik at \(N = \frac{M}{m_H}\). Da er partikkeltettheten:

\(n = N\frac{1 }{V} = \frac{M}{\mu m_H} \frac{1}{V} = \frac{\rho_0}{\mu m_H}\)    \((4)\)

Dette slenger vi inn i den ideelle gassloven og f?r at :

\(P = \frac{\rho_0 kT}{\mu m_H}\)    \((5)\)

hvor \(\rho_0\) er tettheten til gassen stjerna best?r av, \(k\) er Boltzmanns konstant, \(T\) er temperaturen, \(\mu=1\) er midlere molekylvekt til hydrogenatomet (m?lt i hydrogenmasser) og \(m_H\) er massen til hydrogenatomet.

Vi minner dere ogs? p? ligningen for hydrostatisk likevekt:

\(\frac{dP}{dr} = -\rho(r)g(r)\)    \((6)\)

hvor \(P\) er trykket, \(\rho(r) = \rho_0\) er tettheten til stjerna og \(g(r)\) er tyngdeakselerasjonen p? stjerna. 

Masseprofilen til stjerna v?r

For ? avklare, s? betyr masseprofil simpelthen den totale massen innenfor en sf?re med radius \(r\). Vi vet hva den totale massen til stjerna er, men vi er interessert i ? vite massen innenfor en radius \(r<R\). Siden tettheten er uniform, s? er denne:

 \(\rho_0 = \frac{M}{V}\)    \((7)\)

hvor \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\) er volumet av stjerna. Vi kan finne masseprofilen ved dette integralet:

\(M(r) = \int_0^r \rho(r')dr'\)

hvor \(dr'\) er arealet av et tynt kuleskall, s? dette betyr bare at vi summerer all massen innenfor radiusen \(r\).

Siden vi er s? heldige og har antatt at tettheten er uniform, s? reduseres dette integralet til

\(M(r) = \frac{4}{3}\rho_0 \pi r^3\)    \((8)\)

Dette er det samme som ? l?se \((7)\) for \(M(r)\). Hvis vi setter inn \(R\) i denne ligningen s? f?r vi den totale massen \(M\). 

 

Varmere blir det ikke

Kjernen i stjerna et det varmeste punktet. En stjerne kan ha en kjernetemperatur p? flere millioner grader, mens den er "kj?lig" p? overflaten. Kjernen i stjerna er varmest fordi tyngdekraften vil "trekke" all massen inn mot midten som skaper h?y trykk og h?y temperatur. Eksempelvis s? har Sola en kjernetemperatur p? 15 millioner grader celsius mens overflatetemperaturen er bare 5500 grader celsius! 

N? som vi kjenner masseprofilen til stjerna, s? vil vi finne ut hva kjernetemperaturen er. Her f?r vi bruk for det vi vet om trykket og gassene inne i stjerna. Som dere vet n?, s? er trykk og temperatur relatert gjennom den ideelle gassloven \((5)\). Hvis vi deriverer denne ligningen med hensyn p? avstanden \(r\), s? f?r vi en nyttig sammenheng:

\(\frac{dP}{dr} =\frac{d}{dr}\left( \frac{\rho_0kT(r)}{\mu m_H}\right) = \frac{\rho_0 k}{\mu m_H}\frac{dT(r)}{dr}\)   \((9)\)

hvor vi har byttet ut \(T \) med \(T(r)\) siden denne er avhengig av \(r\). 

Vi vet at siden stjerna er i hydrostatisk likevekt, s? endringen i trykket v?re lik ligning \((6)\). Vi ?nsker ? finne endringen i temperaturen, slik at hvis vi setter ligning \((9)\) og \((6)\) lik hverandre s? vi f?r at:

\( -\rho_0 g(r) = \frac{\rho_0 k}{\mu m_H}\frac{dT(r)}{dr } \implies \frac{dT(r)}{dr} = -\frac{g(r)\mu m_H}{k} \)    \((10)\)

N? har vi nesten det vi trenger! Vi m? bare finne et uttrykk for tyngdeakselerasjonen \(g(r)\) som funksjon av avstanden \(r\) til sentrum av stjerna. Siden vi vil vite tyngdeakselerasjonen inni stjerna, s? m? vi ta hensyn til masseprofilen, siden vi har masse \(M(r)\) i en avstand \(r\) fra sentrum. Her f?r vi bruk for Newtons gravitasjonslov igjen (denne er jammen ikke dum!), slik at tyngdeakselerasjonen er gitt av
\(g(r) = \frac{\text GM(r)}{r^2} = \frac{4}{3}\text G\rho_0\pi r\)    \((11)\)

hvor \(\text G = 6.67 \cdot 10^{-11} \ \text m^3 \text{kg}^{-1} \text s^{-2}\) er gravitasjonskonstanten, og vi har satt inn uttrykket \(M(r)\) for masseprofilen til stjerna. 

Yesda! Da har vi utrykket som beskriver hvordan temperaturen i stjerna endrer seg som funksjon av \(r\). Ved ? sette \((11)\) inn i \((10)\) f?r vi da at:

\(\frac{dT(r)}{dr} = -\frac{4\pi}{3} \text G \rho_0 \frac{ \mu m_H }{k}r\)    \((12)\)

hvor alle st?rrelsene er de samme som er beskrevet tidligere. Skj?nner du hva som kommer n?? Jo, vi m? s?klart integrere over hele radiusen til stjerna for ? finne uttrykket for temperaturen:

\(\begin{align} T_c &= \int_0^R \frac{dT(r)}{dr} \\ &= \int_0^R -\frac{4\pi}{3} \text G \rho_0 \frac{ \mu m_H }{k}r \ dr \\ &= -\frac{4\pi}{3} \text G \rho_0 \frac{ \mu m_H }{k} \int_0^R r \ dr \\ &= -\frac{4\pi}{3} \text G \rho_0 \frac{ \mu m_H }{k} \left[\frac{1}{2} r^2 \right]_0^R \\ T(R)-T(0) &= -\frac{2\pi}{3} \text G \rho_0 \frac{ \mu m_H }{k}R^2 \\ \implies T_c &= T(0) = T(R) + \frac{2\pi}{3} \text G \rho_0 \frac{\mu m_H}{k} R^2 \ \ \ \ \ \ \ \ (13) \end{align}\)

hvor \(T_c = T(0)\) er kjernetemperaturen til stjerna.

 

Kjernetemperaturen til stjerna v?r

N? gjenst?r det bare ? sette inn verdier i uttrykket vi omsider har kommet frem til for temperaturen inni stjerna. Vi vet at temperaturen ved overflaten er \(T(R) \approx 15 \ 661 \ 021.7389 \ \text K \). Tettheten til stjerna er \(\rho_0 = \frac{M}{V} \approx 312.5077 \ \text{kg}/\text m^3\). Da f?r vi ved ? sette inn alle tall at

\(T_c = 15 \ 661 \ 021.7389 \ \text K \)

Vi ser at kjernetemperaturen er veldig mye st?rre enn overflatetemperaturen, hele 1500 ganger st?rre faktisk! Men vi legger likevel merke til at dette er omtrent den samme kjernetemepraturen som Sola har, men stjerna v?r er 3.35 ganger tyngre enn sola! Dette kommer av at tettheten v?r er relativt lav, fordi vi har mye st?rre radius enn sola. Vi har en tetthet p? omtrent \(312 \ \text{kg} / \text m^3\) mens sola har en tetthet tilsvarende \(1400 \ \text{kg} / \text m^3\). Dette betyr at trykket er lavere i v?r stjernes kjerne enn i solas kjerne,  selv om stjerna v?r er tyngre enn sola. Lavere trykk i kjernen resulterer i lavere temperatur. I tillegg s? har vi antatt at sola best?r kun av hydrogen, mens Sola best?r av en blanding av hydrogen og helium. Denne antagelsen kan p?virke hvor effektivt stjerna v?r fusjonerer, fordi stjerna er sammensatt av andre grunnstoffer enn sola. 

N? har vi funnet ut litt om stjerna v?r. Eller, vi har gjort en rekke antagelser og regnet ut den teoretiske luminositeten og kjernetemperaturen. Vi har lyst til ? g? litt mer i dybden enn dette og se p? energiproduksjonen i stjerna v?r. 

 

Hvorfor lyser stjerner?

Stjerner lyser p? grunn av kjernereaksjonene som frigj?r store mengde energi. De er kilden til lys, varme og liv - og det er nettopp derfor vi vil vite mer om stjerna v?r. Den er jo faktisk grunnen til at vi er her i utgangspunktet! 

For mange er stjerner bare sm? lysende prikker som dekorerer nattehimmelen. Men for oss fysikere er de mye mer enn det. Stjerner er enorme energikilder, med mange komplekse prosesser som vi n? tenker ? analysere. N? skal vi dyppe t?rne litt ned i kjernefysikken, og se p? hva som skjer i det indre av stjerna v?r!

N?r vi forst?r hvordan stjerna v?r produserer energi gjennom kjernereaksjonene i kjernen, s? kan vi bruke denne kunnskapen til ? beregne stjernas luminositet atter en gang. F?r vi et mer n?yaktig svar enn tidligere tror du?

 

En modell av stjernas indre

Siden det som skjer inni en stjerne er komplekse saker, s? m? gj?re noen forenklinger f?rst. Det er mange typer kjernereaksjoner som kan skje i det indre av en stjerne, og akkurat hvilke reaksjoner som skjer er i stor grad bestemt av kjernetemperaturen til stjerna. Det er spesielt to tilfeller:

1. Kalde kjerner (\(T_c <90\cdot 10^6 \ \text K\)):

Her produseres energi via \(\text{pp}\)-kjeden som er proton-proton-fusjon, og \(\text{CNO}\)-syklusen hvor karbon, nitrogen og oksygen er katalysatorer. I dette tilfellet antas kjernen ? best? av \(74.5 \ \%\) hydrogen, \(25.3 \ \%\) helium og sm? mengder karbon, oksygen og nitrogen.

2. Varme kjerner (\(T_c >90\cdot 10^6 \ \text K\)):

Ved h?yere temperaturer s? dominerer \(3\alpha\)-prosessen, som er en prosess hvor helium smelter sammen og danner karbon. I dette tilfelle antas kjernen ? best? av \(20 \ \%\) hydrogen og \(80 \ \%\) helium. 

Vi kjenner til kjernetemperaturen til stjerna v?r, som er omtrent \(T_c = ????15 \cdot 10^6 \ \text K\). Dermed vil vi bruke tilfelle nr. 1, hvor vi antar at stjerna produserer energi gjennom \(\text{pp}\)-kjeden og \(\text{CNO}\)-syklusen. Vi trenger noen betingelser ? forholde oss til:

• vi antar at alle kjernereaksjoner skjer innenfor en sf?re med radius \(0.2 R\), hvor \(R\) er stjernas totale radius
• vi antar at tettheten til kjernen er uniform og at kjernetemperaturen \(T_c\) vi har funnet er den samme i hele kjernen

 

Energiproduksjon og luminositet

N? har vi lerretet v?rt klart. Vi har antatt basert p? kjernetemperaturen at stjernas kjerne best?r av \(74.5 \ \%\) oksygen, \(26.3 \ \%\) helium og \(0.2 \ \%\) karbon, oksygen og nitrogen. Kjernefysikken i det indre av en stjerne er mest sannsynlig litt nytt for dere, s? vi skal forklare hva vi mener med \(\text{pp}\)-kjeden og \(\text{CNO}\)-syklusen i detalj. Som du vet fra Fysikk 2 s? er fusjon en prosess hvor to atomkjerner sl?r seg sammen til ¨¦n kjerne. N?r to lette atomer, slik som hydrogen, sl?r seg sammen, s? frigj?res energi.  P? den andre siden vil det kreve energi ? f? to tunge atomkjerner til ? sl? seg sammen. Det er p? grunn av fusjon at stjerner frigj?r energi. 

 

proton-proton kjeden - hydrogenfusjon

\(\text{pp}\)-kjeden er en fusjonsprosess hvor hydrogen blir konvertert til helium og er mest effektiv ved temperaturer p? omtrent 15 millioner Kelvin. Det fins flere typer \(\text{pp}\)-kjeder, men den vi skal se p? er den mest vanlige. To protoner vil g? sammen og danne deuterium (en isotop av hydrogen med ett proton og ett n?ytron i kjernen) via fusjon. For at dette skal kunne skje, s? m? vi ha h?y nok temperatur til at protonene har s? h?y kinetisk energi at de overvinner de frast?tende kreftene mellom hverandre (like landinger st?ter hverandre bort). Vi kan forklare \(\text{pp}\)-kjeden i korte trekk slik:

\( \begin{aligned} {}^{1}_{1}\text{H} + {}^{1}_{1}\text{H} &\rightarrow {}^{2}_{1}\text{H} + {}^{0}_{0}\overline{\text{e}} + {}^{0}_{0}\nu_e, \\ {}^{2}_{1}\text{H} + {}^{1}_{1}\text{H} &\rightarrow {}^{3}_{2}\text{He} + {}^{0}_{0}\gamma, \\ {}^{3}_{2}\text{He} + {}^{3}_{2}\text{He} &\rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + 2 \times {}^{1}_{1}\text{H}. \end{aligned} \)

hvor \(^0_0 \nu_e\) er elektronet assosiert med n?ytrino, \(^0_0\gamma\) er foton og \(^0_0 \overline e\) er positron. Alts?:

• to protoner smelter sammen og danner deuterium, som er en isotop av hydrogen, samtidig s? vil det bli frigjort prositron og n?ytrino.
• deuterium smelter sammen med et proton og danner \(^3\text H\) (to protoner og ett n?ytron) samtidig som det frigj?res gammastr?ling (fotoner). Dette er en stabil isotop av hydrogen.
• til slutt smelter to \(^3\text H\)-kjerner sammen og danner \(^4\text{He}\), samtidig som det blir frigjort store mengder energi.

Det er denne prosessen som gj?r at stjerna "skinner" og er i live.   Effektiviteten til \(\text{pp}\)-kjeden er bare \(0.007\), slik at bare \(0.7\ \%\) av massen i hver reaksjon blir omgjort til energi. Vi kan beskrive energiutbyttet (\(\text W / \text{kg}\)), alts? hvor mye energi som produseres per sekund per kilogram slik :

\(\varepsilon_\text{pp} \approx \varepsilon_{0,\text{pp}}X^2_H \rho T_6^4\)     \((14)\)

hvor \(\varepsilon_{0,\text{pp}}= 1.08 \cdot 10^{-12} \ \text W \text m^3 \text{kg}^{-2}\) er en konstant. \(X_H\) er andelen hydrogen, \(\rho\) er tettheten i kjernen og \(T_6\) er temperaturen m?lt i millioner Kelvin (6 st?r for \(10^6\)).

 

CNO-syklusen - en uendelig loop

I denne prosessen er karbon, nitrogen og oksygen katalysatorer som hjelper til med ? effektivisere \(\text{pp}\)-kjeden. At disse er katalysatorer betyr at de ikke blir oppbrukt, men brukes igjen og igjen. Prosessen kan forklares slik:

\( \begin{aligned} {}^{12}_{6}\text{C} + {}^{1}_{1}\text{H} &\rightarrow {}^{13}_{7}\text{N} + {}^{0}_{0}\gamma, \\ {}^{13}_{7}\text{N} &\rightarrow {}^{13}_{6}\text{C} + {}^{0}_{0}\overline{\text{e}} + {}^{0}_{0}\nu_e, \\ {}^{13}_{6}\text{C} + {}^{1}_{1}\text{H} &\rightarrow {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{0}_{0}\gamma, \\ {}^{14}_{7}\text{N} + {}^{1}_{1}\text{H} &\rightarrow {}^{15}_{8}\text{O} + {}^{0}_{0}\gamma, \\ {}^{15}_{8}\text{O} &\rightarrow {}^{15}_{7}\text{N} + {}^{0}_{0}\overline{\text{e}} + {}^{0}_{0}\nu_e, \\ {}^{15}_{7}\text{N} + {}^{1}_{1}\text{H} &\rightarrow {}^{12}_{6}\text{C} + {}^{4}_{2}\text{He}. \end{aligned} \)

Alts?:

• karbonisotopen \(^{12}\text C\) smelter sammen med et proton og danner \(^{13} \text N\)
• \(^{13}\text N\) blir omgjort til \(^{13}\text C\) via betahenfall
• prosessen fortsetter i flere trinn, til vi til slutt ender med at \(^{15}\text N\) blir om til \(^{12} \text C\) og \(^4\text{He}\), slik at syklusen starter p? nytt. 

Denne syklusen er mest effektiv ved 20 millioner Kelvin. Effektiviteten til syklusen (som m?les i \(\text{W/kg}\)) beskrives slik:

\(\varepsilon_\text{CNO} = \varepsilon_{0,\text{CNO}} X_HX_\text{CNO}\rho T_6^{20}\)   \((15)\)

hvor \(\varepsilon_{0,\text{CNO}} = 8.24 \cdot 10^{-31} \ \text W \text m^3 / \text{kg}^2\) er en konstant, \(\rho\) er tettheten i kjernen, \(T_6\) er temperatur m?lt i millioner Kelvin og \(X_\text{CNO} = \frac{M_\text{CNO}}{M}\) er andelen av karbon, nitrogen og oksygen.

 

Vi estimerer luminositeten

N? vil vi estimere luminositeten til stjerna v?r ved ? bruke modellen vi n? har formulert for stjernas kjerne. Fra antagelsene v?re s? kjenner vi andelen av hydrogen, karbon, nitrogen og oksygen i kjernen:

\(\begin{align} X_H &= 0.745 \\ X_\text{CNO} &= 0.002 \\ X_\text{He}& = 0.253 \end{align}\)

For ? finne luminositeten, s? m? vi f?rst regne ut effektiviteten til de to reaksjonene som skjer, \(\varepsilon_{0,\text{pp}}\) og \(\varepsilon_{0, \text{CNO}}\). Vi antok tidligere at tettheten er uniform i hele stjerna, og at hele stjerna er sammensatt av protoner. Vi vet n? basert p? kjernetemperaturen at kjernen best?r av andre grunnstoffer enn hydrogen. Men vi kommer til ? bruke tettheten fra antagelsen v?r tidligere, siden vi ikke kjenner til massen eller trykket i kjernen. Da blir

\(\varepsilon_\text{pp} = 1.1269\cdot 10^{-5}\ \text{W/kg} \\ \varepsilon_\text{CNO} = 3.0226 \cdot 10^{-7} \ \text{W/kg}\)

La oss se p? en liten infinitesimal del \(dV\) av volumet til kjernen med radius \(r\). Dette lille volumet har masse

\(dm = dV \rho(r) = dV\rho_0\)   \((16)\)

Vi vet at luminositet er m?lt i \(\text{W}\) og at den lille kulen vi ser p? vil ha luminositet \(dL\). Vi har denne sammenhengen:

\(\frac{dL}{dm} = \varepsilon_\text{tot} = \varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO}\)

Siden vi kjenner st?rrelsen p? kjernen, men ikke massen, s? vil vi uttrykke \(dm\) ved hjelp av \(dr\). Er du enig i at vi kan skrive at \(dm = \rho_0 \cdot dV = \rho_0 \cdot 4\pi r^2 dr\)? Is?fall s? er dette uttrykket for luminositeten:

\( \frac{dL}{dm} = \varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO} \implies \frac{dL}{dr} = \rho_0 4\pi r^2 (\varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO}) \)      \((16)\)

For ? oppklare: vi vet at det er kjernereaksjonene som er kilden til luminositeten, slik at vi kan finne luminositeten til stjerna ved ? integrere uttrykket \((16)\) fra \(r = 0\) til \(r = 0.2R\). Da f?r vi at:

\(\begin{align} \int_0^{0.2R} \frac{dL}{dr} &= \int_0^{0.2R} 4\pi\rho_0 r^2 (\varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO}) \ dr \\ L &= 4\pi \rho_0(\varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO}) \left[ \frac{1}{3}r^3 \right]_0^{0.2R} \\ \implies L &= \frac{4\pi}{3} \rho_0 (\varepsilon_\text{pp} + \varepsilon_\text{CNO}) (0.2R)^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (17) \end{align} \)     

Vi regner ut denne til ? v?re omtrent \(6.163 \cdot 10^{23}\ \text W\). F?r vi kommenterer resultatet, s? regner vi ogs? ut overflatetemperaturen basert p? den estimerte luminositeten (vi snur ligning \((2)\)):

\(T = \sqrt[4]{\frac{L}{4\pi R^2 \sigma}}\)     \((18)\)

hvor \(L\) er den estimerte luminositeten, \(R\) er radiusen til stjerna og \(\sigma\) er Stefan-Boltzmanns konstant.

Vi setter inn verdien for den estimerte luminositeten og finner at den estimerte overflatetemperaturen er \(735.375 \ \text K\). 

For ? gi deg litt oversikt, her er verdiene vi snakker om:

	Teoretisk	Estimert	Forhold \(\left( \frac{\text{teoretisk}}{\text{estimert}} \right)\)	Relativ feil
Luminositet	\(2.4924 \cdot 10^{28} \ \text W\)	\(6.1624 \cdot 10^{23} \ \text W\)	\(\sim 40445\)	\(99.9975 \ \%\)
Overflatetemperatur	\(10428.65\ \text K\)	\(735.38 \ \text K\)	\(\sim 14.1814\)	\(92.9485 \ \%\)

Basert p? luminositeten vi estimerte, s? har vi plottet stjerna inn i HR-diagrammet p? nytt. Ta en titt:

 

Her er det noe som ikke stemmer...

Luminositeten vi estimerer ved ? studere kjernereaksjonene er dramatisk lavere enn den teoretiske luminositeten. Vi ser at den teoretiske luminositeten er hele 40445 ganger st?rre enn den estimerte! Dette f?rer til at vi f?r en overflatetemperatur p? \(735 \ \text K\), men vi vet at den faktisk er \(10428 \ \text K\)! Det er ?penbart noe riv ruskende galt her, men hva er det som har g?tt galt?

Jo, her er det den lange listen v?r med antagelser som er fallgruven. Antagelsene v?re er sv?rt urimelige i forhold til virkeligheten, og gj?r at v? feil et veldig feilaktig svar. Siden modellen er bygd med disse antagelsene som grunnmur, s? blir resultatene feil. Her m? vi v?re kritiske:

Uniform tetthet

Vi har antatt at tettheten i stjerna v?r er uniform, slik at den er det samme b?de i og utenfor kjernen. Dette er ikke forenelig med virkeligheten i det hele tatt. Som referanse s? kan vi se p? solen som har en tetthet p? \(1.5 \cdot 10^5 \ \text {kg} / \text m^3\) i kjernen, mens vi i v?re beregninger bruker \(\rho_0 = 312 \ \text{kg} / \text m^3\), som er dramatisk lavere. Kjernen i en stjerne har generelt mye h?yere tetthet enn noen andre steder i stjerna. Kjernen er det mest kompakte stedet i stjerna, og tettheten avtar med avstanden til sentrum. S? n?r vi antar at tettheten er konstant, s? f?r dette konsekvenser for b?de massefordelingen og energiproduksjonen i kjernen. Det ville forsterket modellen v?r betydelig hvis vi tok hensyn til at tettheten i kjernen er mye st?rre enn ellers. 

Vi har pr?vd modellen v?r med en tetthet som kan v?re mer realistisk for en stjerne av v?r st?rrelse. Vi har satt kjernetettheten til ? v?re \(\rho = 1\cdot 10^7 \ \text{kg} / \text m^3\) i kjernen. Da f?r vi dette HR-diagrammet:

Vi ser fra Figur 9 at ved ? ?ke tettheten i kjernen, s? f?r vi en luminositet som er i samme st?rrelsesorden som den teoretiske luminositeten. Mer spesifikt s? f?r vi da at \(L = 1.9719 \cdot 10^{28} \ \text W\). Dette er i hvertfall noe n?rmere! Her er det veldig tydelig at v?r antagelse om uniform massetetthet ikke duger. 

 

En forenklet kjernetemperatur

Vi har ogs? bestemt at temperaturen i kjernen er den samme over hele kjernen, som e ren betydelig forenkling. Temperaturen vil generelt varierer voldsomt i en reell stjerne, og i virkeligheten s? vil temperaturen variere med avstanden til sentrum av kjernen. Temperaturen er med p? ? bestemme hvile typer kjernereaksjoner som skjer og p?virker derfor energiproduksjonen. I faktiske kjerneforhold i en kjerne s? vil trykket, tettheten og temperaturen variere, men vi antar i v?r modell at alle disse er konstante. Som vi ser fra formelen for energieffektivitet, s? avhenger \(\varepsilon_\text{pp}\) av \(T_6^4\) og \(\varepsilon_\text{CNO}\) av \(T_6^{20}\), slik at kjernereaksjonene er veldig sensitive for temperaturendringer. En liten endring i temperaturen vil f?re til en stor endring i energiproduksjonen, siden vi har temperatur i fjerde og 20.potens!

 

Hydrostatisk likevekt

Vi har ogs? antatt at stjernas indre er i hydrostatisk likevekt. Dette tenker vi holder, siden vi ikke studerer stjerna over lang tid, og da er det rimelig ? anta at den holder seg stabil over denne perioden. Men, vi har ogs? antatt at stjerna best?r av ideell gass. I stjernas kjerne s? har vi h?y temperatur og tetthet, slik at atomene har h?y energi og beveger seg med h?y hastighet. Siden tettheten er s? h?y s? vil Couloumb-kreftene mellom partiklene bli sterkere og andre faktorer som ikke er forenlig med en ideell gass blir mer dominante. Dette gj?r at det kanskje ikke er s? rimelig ? anta ideell gass inne i kjernen, siden tettheten er h?y og det f?rer til mer interaksjon mellom partiklene, slik at det er mer rimelig ? anta ideell gass i de ytre lagene av stjerna enn i kjernen.

 

Stjerner er kompliserte saker

S?, stjerner er ikke s? enkle som vi har antatt...

Vi har likevel funnet ut mye nyttig om stjerna v?r med en forenklet modell. Vi har et estimat p? luminositeten og kjernetemperaturen til stjerna fra teorien vi utledet innledningsvis. Vi s? at modellen vi satte opp for stjernas indre ga feilaktige svar p? grunn av de grove antagelsene v?re. Men hva betyr dette for v?r forst?else av stjerner?

Jo, vi f?r en smakebit p? hvor kompliserte stjerner er. Det er mange faktorer og kompliserte sammenhenger i det indre av en stjerne. Dynamikken mellom gravitasjon, trykk og temperatur p?virker energiproduksjonen i en stjerne, og det er vanskelig ? beskrive denne dynamikken med forenklede modeller, slik som vi fikk se med v?r modell. Likevel s? sitter vi igjen med et inntrykk av stjerna v?r, som sannsynligvis er en hovedseriestjerne med mange millioner av ?r igjen ? leve. Vi kan derfor leve trygt p? Casjoh s? lenge vi m?tte ?nske.

 

Tid er relativt p? Casjoh

N? som vi vet at stjerna v?r ikke er en tikkende bombe (vi h?per hvertfall vi kan stole p? beregningene v?re), s? har vi allverdens tid til ? utf?re noen kule eksperimenter med relativitet! Dette vil du ikke g? glipp av...

 

Kilder:
https://snl.no/Hertzsprung-Russell-diagrammet

https://science.nasa.gov/sun/facts/

/studier/emner/matnat/astro/AST2000/h24/undervisningsmateriell/lecture_notes/part3c.pdf 

https://snl.no/proton-proton-kjeden

https://snl.no/karbon-nitrogen-oksygen-syklusen