Vi skal n? unders?ke det beryktede tvillingparadokset! Vi har et tvillingpar, hvor den ene er en astronaut. Astronauten reiser vekk p? romskipet sitt med n?r lysfart til en planet langt vekk. N?r astronauten kommer tilbake, hvor gamle er hver av tvillingene da? Vi vil n? alts? unders?ke hvordan tid vil oppleves forskjellig, n?r vi har et system som beveger seg med en hastighet relativt til et annet system.
Situasjonen
Vi har en ganske kompleks situasjon p? ferde, s? jeg tenker vi starter med ? dyppe t?rne litt i tvillingparadokset f?r vi etter hvert tar et dypdykk! Jeg vil starte med ? introdusere den generelle situasjonen f?r jeg presenterer to m?ter ? oppfatte den p?.
Astronauten Lisa reiser fra hennes hjemplanet Homey til planeten Destiny, som er 200 lys?r unna. Hvis du ikke visste det fra f?r, s? vil et lys?r bety avstanden lyset beveger seg p? et ?r. Vi definerer denne avstanden, alts? 200 lys?r, som \(L_0\). Lisa reiser p? romskipet Apollo-Out med farten \(v=0.99c\), alts? \(99\%\) av lysfarten. Planetene beveger seg ikke relativt til hverandre, s? de er derfor i samme referansesystem. Vi vet ogs? at Lisa har en tvilling p? Homey.
Den f?rste m?ten ? se denne situasjonen p? er ? se p? referansesystemet til planetene som det umarkerte labsystemet \((x,t)\). Homey vil her v?re i origo, og Destiny vil v?re 200 lys?r unna i positiv x-retning. Referansesystemet til Apollo-Out vil har markerte koordinater \((x',t')\), hvor Apollo-Out alltid vil v?re i origo. Vi har et event A, som skjer ved \(x = x' = 0\) og \(t = t' = 0\), som er at Apollo-Out forlater Homey. Videre har vi event B, som er at Apollo-Out ankommer Destiny. N?r Lisa ankommer Destiny snur hun umiddelbart, og starter p? hjemturen med en fart \(v = 0.99c\). En generell tegning av dette systemet kan du se i figur 1, men v?r obs p? at st?rrelsesforholdene ikke er n?yaktige.
Den andre m?ten ? se denne situasjonen p? er ? se p? referansesystemet til Apollo-Out som det umarkerte labsystemet \((x,t)\). Her vil da planetenes referansesystem v?re det bevegende markerte systemet \((x',t')\). Fra Lisa sitt synspunkt kan man da se p? event A som at Homey forlater Lisa med en fart \(v = 0.99c\). Videre kan man her se p? event B som at Destiny ankommer Apollo-Out med en fart \(v = 0.99c\). Vi har lov ? bytte rollene p? referansesystemene p? denne m?ten p? grunn av prinsipper ved relativitet, og vi b?r fremdeles komme frem til like resultater.
| Tilfelle 1 | Tilfelle 2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Planeter | Apollo-Out | Apollo-Out | Planeter | |||||
| Event | \(x\) | \(t\) | \(x'\) | \(t'\) | \(x\) | \(t\) | \(x'\) | \(t'\) |
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | \(L_0\) | \(t_{B1}\) | 0 | \(t_{B1}'\) | 0 | \(t_{B1}'\) | \(L_0\) | \(t_{B2}'\) |
Som du kan se i tabell 1, s? er vi interessert i ? finne tiden det tar for Lisa ? ankomme Destiny i begge referansesystemene, og i begge tilfellene. Vi vet derimot at for Lisa, s? vil reisen ta like lang tid i begge tilfellene, og vi er derfor interessert i hvordan tiden vil oppfattes for de p? Homey.
Nyttige og interessante konsepter
Jeg vil aller f?rst introdusere noen nye konsepter for dere. Som vi fant ut i forrige innlegg, s? er samtidighet et relativt begrep, og i spesiell relativitetsteori s? har vi flere interessante konsepter slik som dette. Vi bruker n? rom og tid som koordinater, og avstander i et slikt koordinatsystem vil v?re likt for alle referansesystemer. Alts? avstanden mellom to eventer i tidrommet, kalt tidromsavstanden, er invariant og er derfor likt for alle referansesystemer. Men v?r obs p? at vi ikke m?ler tidromsavstander p? helt vanlig m?te! Vi kan nemlig finne et tidromsintervall p? f?lgende m?te:
\((\Delta s)^2 = (\Delta t)^2 - ((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2)\)
Legg merke til minus-tegnet mellom tid og rom!
Videre har vi at lengder vil observeres forskjellig hvis vi har en relativ hastighet mellom observat?rer. Hvis et legeme med lengde \(L_0\) beveger seg med en konstant hastighet \(v\) relativt til en observat?r, s? vil observat?ren oppleve at denne lengden er kortere enn hva han hadde opplevd hvis legemet sto i ro. Denne lengden blir nemlig lengdekontrahert, og den observerte lengden vil v?re gitt ved:
\(L = \dfrac{L_0}{\gamma}\)
Hvor \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}\), som er den s?kalte Lorentzfaktoren. Vi har ogs? at tid vil oppleves forskjellig hvis vi har en relativ hastighet mellom observat?rer. En observat?r som er i ro i labsystemet vil oppleve en tidsdilatasjon for et tidsintervall mellom eventer som skjer i et system som beveger seg med en konstant hastighet \(v\) relativt til observat?ren. Alts? et tidsintervall for observat?ren i labsystemet vil oppleves som lenger en tidsintervallet for en observat?r i det bevegende systemet. Denne tidsdilatasjonen er gitt ved:
\(\Delta t = \gamma \Delta t'\)
Hvor det umerkede tidsintervallet er tiden m?lt av observat?ren i labsystemet, og det merkede tidsintervallet er tiden m?lt av observat?ren i det bevegende systemet.
Videre har vi en forbindelse mellom koordinatene til to referansesystemer som har en konstant relativ hastighet \(v\) mellom hverandre. Denne forbindelsen er kalt Lorentztransformasjonene, og er gitt ved:
\(\begin{align} t &= v\gamma x' + \gamma t' \\ x &= \gamma x' + v\gamma t' \\ y &= y' \\ z &= z' \end{align}\)
Vi kan ogs? skrive disse transformasjonene p? invers form, og da f?r vi:
\(\begin{align} t' &= -v\gamma x + \gamma t \\ x' &= \gamma x - v\gamma t \\ y' &= y \\ z' &= z \end{align}\)
Disse nye konseptene blir straks ? komme til nytte n?r vi skal unders?ke tvillingparadokset!
Vi oppdager et paradoks
Vi har lyst ? unders?ke hvor lang tid det tar for astronauten Lisa ? reise fra Homey til Destiny og tilbake, b?de i hennes eget referansesystem og for planetenes referansesystem. I planetenes referansesystem, kan vi finne tiden det tar for Lisa ? reise til Destiny simpelthen ved bruk av gode, gamle \(strekning = fart \cdot tid\). Slik f?r vi at Lisa bruker 202 ?r fra Homey til Destiny, m?lt p? Homey sine klokker. Ved symmetri f?r vi at det vil ta like lang tid for Lisa p? hjemturen. Dermed f?r vi at Lisa kommer tilbake til Homey etter 404 ?r, p? Homey sine klokker. For ? finne tiden det tar p? Lisa sin klokke, s? kan vi bruke tidsdilatasjon. Dermed f?r vi at Lisa ankommer Destiny etter 28,5 ?r, p? hennes egen klokke. Ved symmetri f?r vi at det tar like lang tid p? hjemturen. Dermed f?r vi at Lisa kommer hjem til Homey etter 57 ?r, m?lt p? hennes egen klokke.
Vi bytter n? rolle p? hvilket system som er labsystemet, og vi ser n? p? situasjonen som at Homey reiser fra Lisa, og etter hvert vil Destiny ankomme Lisa. For Lisa, s? vil tiden det tar for Destiny ? ankomme henne fremdeles v?re 28,5 ?r. Vi vil n? bruke tidsdilatasjon for ? finne tiden det tar for Destiny ? ankomme Lisa, m?lt p? Homey sine klokker. Vi f?r da at Destiny ankommer Lisa etter 4 ?r, m?lt p? Homey sine klokker. Dette h?res kanskje ut som et paradoks, men vi er nemlig ikke kommet helt dit enda! Dette resultatet en faktisk konsistent, og vi skal vise dette litt senere!
Ved symmetri f?r vi at Lisa er tilbake p? Homey etter 57 ?r m?lt p? hennes egen klokke, og 8 ?r m?lt p? Homey sine klokker. N? har vi kommet frem til paradokset! Det skal nemlig v?re mulig ? bytte roller mellom hvilket system som er labsystemet, og fremdeles komme frem til samme resultat. Her har vi derimot f?rst kommet frem til at Lisa bruker 404 ?r p? hele reisen p? Homey sine klokker, s? fikk vi etterp? at denne reisen bare tok 8 ?r p? samme klokker! Denne forskjellen oppsto n?r vi byttet rolle p? hvilket system som var labsystemet, og n?r vi unders?kte hele reisen til Lisa.
Men er egentlig rollene i begge disse tilfellene identiske, slik at vi kan bytte p? de? Vi tenker oss litt n?yere om hva som egentlig vil skje i begge tilfellene. Vi vet at observat?rene p? Homey alltid vil v?re i samme referansesystem, men hva med Lisa? N?r hun ankommer Destiny m? hun nemlig akselerere for ? endre fartsretning, for ? kunne reise tilbake til Homey. Lisa vil alts? ikke ha konstant hastighet relativt til Homey, som var en betingelse for ? kunne bruke tidsdilatasjon! Dermed er ikke metoden v?r her gyldig, siden rollene ikke er identiske, og vi kan derfor ikke bytte p? hvilket system som er labsystemet slik vi har gjort. For ? kunne l?se dette m? vi ta hensyn til akselerasjon, og da kommer generell relativitet inn i bildet. Eventuelt kan vi se p? situasjonen som en uendelig rekke med "free float frames", systemer med konstant hastighet, slik at vi kan bruke spesiell relativitet p? disse. Med dette vil vi komme tilbake til senere! Vi vil n? utvide situasjonen v?r, slik at vi kan ta en n?rmere titt p? tvillingparadokset.
Situasjon II
Vi utvider n? den forrige situasjonen slik at vi kan unders?ke tvillingparadokset n?rmere, ved ? introdusere enda en planet og astronaut inn i miksen. Den tredje planeten, som heter Beyond, er 400 lys?r unna Homey i positiv x-retning, som vil si 200 lys?r unna Destiny. Astronauten Peter reiser fra Beyond p? romskipet Apollo-In med en fart \(v = -0.99c\), alts? \(99\%\) av lysfarten i retning mot Homey.
Vi har n? tre referansesystemer. Planetenes referansesystem vil ha umarkerte koordinater \((x,t)\), hvor Homey vil v?re i origo med Destiny 200 lys?r unna og Beyond 400 lys?r unna, begge i positiv x-retning. Referansesystemet til Apollo-Out, som beveger seg fra Homey til Destiny, vil ha markerte koordinater \((x',t')\), hvor Lisa og romskipet alltid vil v?re i origo. Referansesystemet til Apollo-In, som beveger seg fra Beyond til Homey, vil ha dobbelt-markerte koordinater \((x'',t'')\), hvor Peter og romskipet alltid vil v?re i origo.
Vi vil n? introdusere en ny m?te ? se situasjonen p?. Istedenfor ? tenke p? situasjonen som ett romskip som reiser fra Homey, vil vi se p? det som en rekke av uendelig mange romskip, som alle reiser med samme fart i samme retning. I alle romskipene f?r og etter Lisa, s? vil det v?re andre observat?rer. Vi kan tenke p? denne lange rekken av romskip som en heis. Vi vil her ha to heiser, den ene heisen fra Homey til Beyond, som vil kaller for 'utg?ende heis', og som vil ha markerte koordinater \((x',t')\). Den andre heisen vil g? fra Beyond til Homey, og vi kaller denne for 'returnerende heis', og denne vil ha dobbelt-markerte koordinater \((x'',t'')\). En generell tegning av dette systemet kan du se i figur 2, men v?r obs p? at st?rrelsesforholdene ikke er n?yaktige.
N? gjelder det ? holde tunga rett i munnen, for n? skal jeg introdusere en rekke nye eventer. Vi har event A, som er at Lisa hopper p? den utg?ende heisen ved Homey, og dette skjer ved \(x = x' = 0\) og \(t = t' = 0\). Videre har vi event B, som er at Lisa ankommer Destiny og hopper fra den utg?ende heisen til den returnerende heisen. Vi definerer event B' som at n?r Lisa ankommer Destiny (i den utg?ende heisen sitt referansesystem) s? vil en astronaut i samme heis, men i et annet romskip, passere Homey ved posisjonen \(x_{B'} = 0\). Denne astronauten vil alts? v?re i samme referansesystem som Lisa, og klokkene deres vil v?re synkroniserte. Event B' er at denne astronauten ser p? klokkene p? Homey mens hans passerer, og sender et lyssignal som blir observert p? Homey. Alts? B' skjer i posisjonen til Homey n?r Lisa ankommer Destiny i hennes eget referansesystem.
Videre har vi event D, som er at Peter hopper p? den returnerende heisen ved Destiny, og dette skjer ved \(x'' = 0\) og \(t = t'' = 0\). I planetenes referansesystem skjer event A og D samtidig, alts? Lisa og Peter starter reisen sin p? samme tid. Vi har ogs? event B'', som skjer samtidig som event B i referansesystemet til den returnerende heisen. Dette eventet er at en astronaut i den returnerende heisen ved posisjonen til Homey, ser p? klokkene p? Homey og sender et lyssignal som observeres p? Homey. Alts? event B'' skjer n?r Lisa kommer p? den returnerende heisen og m?ter Peter (i den returnerende heisen sitt referansesystem), og det skjer ved posisjonen til Homey.
Dette var jammen meg mye ? holde styr p?! Vi setter alt i en tabell og h?per at det blir litt mer oversiktlig.
| Planeter | Utg?ende | Returnerende | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Event | Beskrivelse | \(x\) | \(t\) | \(x'\) | \(t'\) | \(x''\) | \(t''\) |
| A | Lisa forlater Homey | 0 | 0 | 0 | 0 | \(x_A ''\) | \(t_A''\) |
| B | Lisa ankommer Destiny | \(L_0\) | \(t_B\) | 0 | \(t_B'\) | 0 | \(t_B''\) |
| B' | Lyssignal ved Homey n?r Lisa ankommer Destiny (i utg?ende heis sitt referansesystem) | 0 | \(t_{B'}\) | \(x_{B'}'\) | \(t_B'\) | \(x_{B'}''\) | \(t_{B'}''\) |
| D | Peter forlater Beyond | \(2L_0\) | 0 | \(x_D'\) | \(t_D'\) | 0 | 0 |
| B'' | Lyssignal ved Homey n?r Lisa bytter heis og m?ter Peter (i returnerende heis sitt referansesystem) | 0 | \(t_{B''}\) | \(x_{B''}'\) | \(t_{B''}'\) | \(x_{B''}''\) | \(t_{B}''\) |
Forh?pentligvis er situasjonen litt mer begripelig n? som vi har en tabell tilstede. Som du kan se i tabell 2, s? har vi en del ukjente st?rrelser. Derimot er det ikke alle st?rrelsene vi er interessert i, og de som vi vil finne, kan vi finne ved ? bruke konseptene jeg introduserte tidligere. Vi ser ogs? i tabellen at noen av de ukjente tidene er lik hverandre, alts? \(t_{B'}' = t_B'\) og \(t_{B''}'' = t_B''\), som vil komme til nytte. Vi er n? interessert i ? finne tiden Lisa vil bruke p? hele reisen sin p? hennes egen klokke og p? Homey sine klokker. N? tar vi hensyn til at Lisa bytter referansesystem, alts? hopper p? Peter sitt romskip n?r hun kommer til Destiny.
Klarer vi ? l?se paradokset?
Vi skal se om vi klarer ? l?se dette mystiske paradokset, n? som vi har utvidet situasjonen litt. Vi starter rolig, med ? finne tiden det tar for Lisa ? ankomme Destiny p? Homey sine klokker, alts? \(t_B\). Dette vil fremdeles v?re 202 ?r, slik som vi regnet tidligere. Ved bruk av Lorentztransformasjonene vil vi n? finne tiden det tar for Lisa ? ankomme Destiny p? hennes egen klokke, alts? \(t_B'\). Her f?r vi ogs? likt resultat som tidligere, som vil si reisen tar 28,5 ?r for Lisa.
Vi vil n? unders?ke et av de nye eventene, hvor et lyssignal blir gitt i Homeys posisjon n?r Lisa ankommer Destiny i hennes referansesystem. Vi vil finne n?r dette eventet skjer i referansesystemet til Homey, alts? \(t_{B'}\). Da bruker vi Lorentztransformasjonene, og vi trenger da ogs? ? vite \(x_{B'}'\) og \(t_{B'}'\). Vi finner posisjonen til \(B'\) i Lisa sitt system, alts? \(x_{B'}'\), ved lengdekontraksjon. Videre finner vi tiden \(t_{B'}'\), ved at dette eventet skjer samtidig i Lisa sitt referansesystem som at Lisa ankommer Destiny, alts? \(t_{B'}' = t_B'\). Slik f?r vi at Homey vil observere lyssignalet som indikerer at Lisa har ankommet Destiny i hennes eget referansesystem etter 4 ?r.
V?r obs p? her at Lisa enda ikke har ankommet Destiny p? Homey sine klokker! Det er derimot Lisa som vil observere at det har g?tt 4 ?r p? Homey n?r hun ankommer Destiny. N? kan vi se en sammenheng med de underlige resultatene vi fikk tidligere n?r vi byttet hvilket system som var labsystem. Vi m? jo huske p? at samtidighet er et relativt begrep. Fordi i Lisa sitt system s? vil lyssignalet skje samtidig som n?r hun ankommer Destiny, men i Homey sitt system s? skjer ikke disse to eventene samtidig.
Vi vil n? se videre p? hvordan hele reisen til Lisa vil arte seg, og vi vil da unders?ke reisen til Peter. Vi bruker tidromsintervall og invarians av tidromsavstand mellom event \(D\) og \(B\) i planetenes og Peter sitt system for ? finne tiden det tar for Lisa ? ankomme Destiny i Peter sitt system, alts? \(t_B''\). Vi f?r at denne tiden er lik tiden det tar for Lisa ? ankomme Destiny p? hennes egen klokke, alts? det tar 28,5 ?r p? Peter sin klokke for Lisa ? ankomme Destiny. Vi vet at n?r Lisa ankommer Destiny, s? vil hun hoppe p? Peter sitt romskip og det vil bli gitt et lyssignal i Homeys posisjon n?r dette skjer p? Peter sin klokke. Dermed har vi at \(t_{B''}'' = t_B''\). Vi bruker s? tidromsintervall og invarians av tidromsavstand mellom event \(D\) og \(B''\) i planetenes og Peter sitt system for ? finne n?r lyssignalet som indikerer at Lisa har byttet romskip vil skje p? Homey sine klokker, alts? \(t_{B''}\). Slik f?r vi at Homey vil observere lyssignalet som sier at Lisa har byttet romskip etter 400 ?r!
Hvordan kan dette gi mening? Vi har alts? at Lisa umiddelbart bytter romskip n?r hun ankommer Destiny i hennes eget referansesystem. N?r hun ankommer Destiny, men f?r hun bytter romskip, observerer hun at det har g?tt 4 ?r p? Homey siden hun dro. Like etter Lisa har byttet romskip, s? retter hun kikkerten p? nytt mot Homey, og da ser hun at det har g?tt 400 ?r p? Homey siden hun dro! Hvordan g?r dette an? Dette er nemlig fordi Lisa har opplevd en akselerasjon n?r hun byttet referansesystem, og da er ikke spesiell relativitet gyldig. Derfor vil hun oppleve dette store hoppet i tid, og vi kan ikke bytte roller p? hvilket system som er labsystem, siden Homey ikke vil oppleve en slik akselerasjon.
Ved symmetri f?r vi at tilbaketuren vil ta 28,5 ?r for Lisa, og p? denne turen vil det g? 4 ?r p? Homey p? hennes klokke. P? Homey sine klokker vil Lisa bruke 202 ?r p? turen dit og p? tilbaketuren, s? 404 ?r totalt. Lisa vil ogs? observere at det totalt har g?tt 404 ?r p? Homey n?r hun kommer hjem, men p? hennes egen klokke s? tok turen 58 ?r totalt.
Hva har vi funnet ut?
Vi hadde astronauten Lisa, som reiste fra hjemplaneten hennes, Homey, til planeten Destiny, som var 200 lys?r unna med n?r lysfart. N?r hun ankom Destiny, s? snudde hun umiddelbart og reiste hjem til Homey med lik fart som tidligere. Hele reisen tok 404 ?r for Homey, og 58 ?r for Lisa. S? Lisa vil v?re hele 346 ?r yngre enn tvillingen sin som ble igjen p? Homey n?r hun kommer tilbake (vi ignorerer at tvillingen nok er d?d innen den tid). Men noe rart skjedde i overgangen n?r Lisa snudde p? Destiny! Like f?r hun snudde observerte hun at det hadde g?tt 4 ?r p? Homey siden hun reiste, og like etter hun snudde observerte hun at det hadde g?tt 400 ?r p? Homey siden hun reiste. Dette mystiske fenomenet oppsto fordi Lisa akselererte ved Destiny, og da er ikke spesiell relativitet gyldig, siden den bare gjelder for konstante hastigheter.
Paradokset vi oppdaget er ofte misforst?tt, siden mange kan tenke seg at paradokset er at Lisa og tvillingen hennes vil ha forskjellig alder n?r hun kommer hjem til Destiny. Paradokset omhandler derimot at vi ikke kan bytte rollene p? referansesystemene! For ? kunne l?se dette problemet n?yaktig, m?tte vi nemlig tatt hensyn til Lisas akselerasjon. Da m?tte vi enten ha tydd til generell relativitet, eller s? kunne vi ha sett p? systemet som en uendelig rekke med "free float frames", og brukt spesiell relativitet p? disse. Dette skal vi se n?rmere p? i neste innlegg, s? f?lg med videre!