Aller f?rst vil vi anta at vi ikke har noen kunnskap om spesiell relativitetsteori! N? skal vi unders?ke konseptet samtidighet, ved ? studere hendelser fra to forskjellige referansesystemer. Vi er nysgjerrige p? om to hendelser vil skje samtidig i begge systemer hvis de skjer samtidig i en av de. Det eneste vi vet er at vi har empirisk bevis p? at lysets hastighet er lik for alle observat?rer. La oss n? unders?ke litt, og se om vi klarer ? gjenoppdage hva Einstein fant ut!
Situasjonen
Vi skal n? unders?ke en romskipsduell som skjer like ved Narnia, planeten Frodo og Sam nylig landet p?! Vi har to romskip som beveger seg med lik hastighet i forhold til bakken, og dermed med null hastighet i forhold til hverandre. I referansesystemet til romskipene s? skyter begge samtidig en laserstr?le mot den andre. Vi definerer event A som at det venstre romskipet skyter laserstr?len, og event B som at det h?yre romskipet skyter laserstr?len. I tilfelle du ikke vet, s? er et event en hendelse som skjer i en gitt posisjon til en gitt tid.
Videre s? vil disse laserstr?lene treffe romskipene og de vil eksplodere! Vi definerer event C som at det venstre romskipet blir truffet, og event D som at det h?yre romskipet blir truffet. I tillegg s? har vi en observat?r M som er midt mellom romskipene og som beveger seg med lik hastighet som de. Derfor vil observat?r M st? i ro i referansesystemet til romskipene.
I figur 1 kan du se en tegning av hvordan systemet vil se ut i referansesystemet til romskipene ved tid 0. Vi betegner avstanden mellom romskipene som \(L\). I figuren er ikke st?rrelsesforholdet riktig i forhold til virkeligheten, men den gir deg fremdeles en forst?else av hva som skjer.
Vi vet at romskipene skyter samtidig i deres referansesystem. Siden observat?r M er midt mellom romskipene og er i ro i deres referansesystem, s? vil hun observere at event A og B skjer samtidig. Dette er fordi lyshastigheten er lik for alle observat?rer, s? lyset vil bruke like lang tid p? ? n? henne fra b?de det venstre og h?yre romskipet. Hvis hun derimot hadde v?rt plassert litt forskj?vet fra midtpunktet mellom romskipene, s? hadde hun ikke observert event A og B samtidig. Ettersom lyset fra det ene eventet da ville brukt lenger tid p? ? n? henne enn fra det andre. Vi har n? en hendelse med en gitt posisjon og tid, at observat?ren observerer lyset fra event A og B samtidig. Vi har alts? enda et event, som vi betegner som M.
Men husk p? at vi har to referansesystemer! Vi har romskipenes referansesystem, hvor vi vil bruke markerte koordinater \((x',t')\). Her vil romskipene st? i ro, og planeten beveger seg relativt til dem. Ogs? har vi referansesystemet til planeten, hvor vi vil bruke umarkerte koordinater \((x,t)\). Her vil romskipene bevege seg med en lik fart \(v\) relativt til planeten. Vi har at event A tar sted ved \(x = x' = 0\) og \(t = t' = 0\) i begge referansesystemene. Vi setter opp en tabell for ? f? litt system p? alle eventene vi har!
| Romskip-system | Planet-system | |||
|---|---|---|---|---|
| Event | \(x\) | \(t\) | \(x'\) | \(t'\) |
| A | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | \(x_B\) | \(t_B\) | \(L\) | 0 |
| C | \(x_C\) | \(t_C\) | 0 | \(t_C'\) |
| D | \(x_D\) | \(t_D\) | \(L\) | \(t_C'\) |
| M | \(x_M\) | \(t_M\) | \(L/2\) | \(L/2\) |
Som du ser i tabell 1, og som du nok merket n?r vi definerte koordinatsystemene, s? bruker vi x-posisjon og tid som koordinater. Dette er fordi all bevegelse bare foreg?r i x-retning, og vi har med tid som et koordinat fordi vi vil studere om det er forskjeller i tid mellom referansesystemer. I tabellen s? kan du se at vi har en del ukjente koordinater for referansesystemet til planeten, og disse skal vi straks unders?ke. I koordinatene for referansesystemet til romskipene, s? kan du se at event C og D vil skje samtidig. Dette er fordi systemet er i ro, og n?r begge romskipene skutte samtidig, og laserstr?lene beveger seg med lik hastighet, s? vil ogs? eksplosjonene skje samtidig.
I referansesystemet til romskipene s? har du nok lagt merke til noe underlig med koordinatene. Nemlig at posisjonen og tiden for event M er lik! Dette er fordi vi bruker naturlige enheter, som vil si at vi regner b?de rom og tid i enten sekunder eller meter. Overgangen fra sekunder til meter, og omvendt, skjer via lyshastigheten. Dermed hvis vi omgj?r en tid fra sekunder til meter, s? vil denne avstanden v?re strekningen lyset beveger seg over den gitte tiden.
Hendelsesforl?pet
N? skal vi pr?ve ? unders?ke n?r eventene vil skje i referansesystemet til planeten. Vi husker at i dette systemet s? vil de to romskipene, med observt?r M i midten, bevege seg med en hastighet \(v\) relativt til planeten. Vi vet ogs? at observat?ren M vil observere event A og B samtidig, og at dette er et eget event M. Ved f?rste ?yekast s? kan man tenke seg at event A og B vil skje samtidig i referansesystemet til planeten. La oss unders?ke om dette stemmer!
Vi forestiller oss at begge romskipene hadde skutt samtidig i referansesystemet til planeten. Det h?yre romskipet vil bevege seg vekk fra skuddet som kommer fra det venstre romskipet, mens det venstre romskipet vil bevege seg mot skuddet som kommer fra det h?yre romskipet. I tillegg vil observat?r M bevege seg mot skuddet som kommer fra det h?yre romskipet, og vekk fra skuddet som kommer fra det venstre romskipet. Dermed m? lyset fra event A bevege seg over en lengre strekning enn lyset fra event B for ? n? observat?r M. Da kan hun ikke observere disse eventene samtidig hvis de skjedde samtidig i planetens referansesystem. Siden vi vet at observat?r M vil observere event A og B samtidig, s? kan alts? eventene ikke skje samtidig i planetens referansesystem!
Men hvilket event skjedde da f?rst i planetens referansesystem, A eller B? Vi vet n? at lyset fra event A vil bevege seg over en lengre strekning enn lyset fra B for ? n? observat?r M. Dermed vil lyset fra event A bruke lenger tid p? ? n? observat?ren enn lyset fra B. Derfor m? event A skje f?r event B i referansesystemet til planeten, hvis observat?r M skal kunne observere disse eventene samtidig.
I figur 2 kan du se hvordan event A og B vil v?re forskjellig i referansesystemet til romskipene i forhold til planetens. Denne figuren er ment ? gi deg en bedre forst?else av hva som skjer, men v?r obs p? at st?rrelsesforholdene p? aksene ikke er fullstendig n?yaktig. I denne figuren kan du tydelig se hvorfor event A m? skje f?r event B i planetens referansesystem: Dette er, som sagt, fordi her er romskipene i bevegelse, og lyset fra event A m? bevege seg over en lengre strekning for ? n? observat?r M enn lyset fra event B.
Vi g?r n? videre til ? se p? event C og D, og vi vil unders?ke n?r disse vil skje i planetens referansesystem. Vi vet at disse eventene skjer samtidig i romskipenes referansesystem, men vil de skje samtidig i planetens referansesystem? Siden disse eventene skjer samtidig i plantenes referansesystem, og observat?r M fremdeles er i midten, s? vil hun observere event C og D samtidig. Lyset fra event C vil bruke lenger tid p? ? n? observat?ren enn lyset fra event D i planetens referansesystem. Derfor kan disse eventene ikke skje samtidig i planetens referansesystem hvis observat?ren skal observere eventene samtidig. Men hvilken av romskipene blir da truffet og eksploderer f?rst i planetens referansesystem?
Din aller f?rste tanke er kanskje at det h?yre romskipet blir truffet f?rst, alts? event D, siden vi nylig fant ut at det venstre romskipet skutte f?rst. Men la oss tenke oss litt n?yere om f?r vi sl?r dette fast i stein! Vi vet at lyset fra event C vil bruke lengre tid p? ? n? observat?ren enn lyset fra event D, fordi hun beveger seg mot det h?yre romskipet og vekk fra det venstre. Siden observat?r M vil observere disse eventene samtidig, s? m? event C skje f?r event D i referansesystemet til planeten!
I figur 3 kan du se hvordan event C og D vil v?re forskjellig i de ulike referansesystemene. V?r obs p? at st?rrelsesforholdene p? aksene ikke er helt n?yaktig. I denne figuren kan du se hvorfor event C m? skje f?r event D i planetens referansesystem. Dette er, som sagt, fordi romskipene er i bevegelse i referansesystemet til planeten, og lyset fra event C vil ha en lengre reisevei enn lyset fra event D for ? rekke observat?r M.
N? vil vi legge alle disse eventene i et tidromsdiagram, slik at vi kan tydelig se hendelsesforl?pet i hvert av referansesystemene.
I figur 4 kan du se et tidromsdiagram med alle eventene i begge referansesystemer. Som du nok ser, s? st?r ikke aksene i den merkede systemet \(90^{\circ}\) p? hverandre, som du nok er vant til. Dette er fordi referansesystemet til romskipene har har en annen hastighet enn planetens, og da n?r vi tegner de i samme tidromsdiagram, s? m? aksene v?re vridd.
Ved ? se p? aksen for tid i det umerkede systemet, s? kan du tydelig se hvordan hendelsesforl?pet vil g? i plantens referansesystem. Her vil da event A skje f?rst, etterfulgt av B, s? M, C, og til slutt D. I det merkede systemet, s? kan du se at eventene A og B vil skje samtidig, siden linjen mellom de er parallell med posisjons-aksen. Tilsvarende kan du se at event C og D vil skje samtidig i romskipenes referansesystem. Videre kan du se at event A og C vil skje p? samme sted i det merkede systemet, siden linjen mellom de er parallell med tids-aksen. Tilsvarende kan du se at event B og D vil skje p? samme sted i referansesystemet til romskipene.
Et lite tankeeksperiment
F?r vi snart sier oss ferdig for dette innlegget, s? vil jeg gj?re et lite tankeeksperiment. Se for deg at vi ikke har at lyshastigheten er konstant for alle observat?rer. Hva ville skjedd i situasjonen v?r da? Da ville hastigheten til lyset oppf?rt seg som en hvilken som helst vanlig hastighet. Hendelsesforl?pet i referansesystemet til romskipet ville fremdeles v?rt likt, men hva vil n? skje i referansesystemet til planeten? Observat?ren p? planeten ville observert at lyset fra event A ville hatt en hastighet lik lysets hastighet pluss hastigheten til romskipet, og lyset fra event B ville hatt en hastighet lik lysets hastighet. Observat?r M beveger seg fremdeles med en hastighet lik romskipenes. Hvis observat?ren p? planeten ser event A og B samtidig, s? vil lyset fra begge eventene treffe observat?r M samtidig. Dette er fordi lyset fra event A n? har h?yere hastighet enn tilfellet v?r tidligere. Dermed vil samtidighet n? v?re en absolutt st?rrelse, slik at hvis noe skjer samtidig i det ene referansesystem s? vil det skje samtidig i det andre. Dette resultatet f?r vi siden vi forestilte oss at lyshastigheten ikke er konstant for alle observat?rer.
Hva har vi egentlig funnet ut?
Vi hadde to tilfeller av eventer som skjer samtidig i referansesystemet til romskipene, hvor laserskuddene skjedde samtidig, og eksplosjonene skjedde samtidig. I begge disse tilfellene s? skjedde ikke eventene samtidig i planetens referansesystem. Denne forskjellen stammet fra at det ene referansesystemet hadde en hastighet relativt til det andre, mens lyshastigheten er konstant for alle observat?rer. Her fant vi da ut at selv om to eventer skjer samtidig i et referansesystem, s? betyr det ikke at de vil skje samtidig i et annet referansesystem. Alts? samtidighet er et relativt begrep, og det vil v?re forskjeller i tid mellom referansesystemer hvis de har relativ hastighet i forhold til hverandre. Dette kommer fra at lyshastigheten er invariant, og dette er n?yaktig hva Einstein oppdaget!