Som du husker er Tvillingparadokset ofte ganske misforst?tt. S? hvordan skal vi avkle det sanne paradokset? Du gjettet det kanskje - vi trenger ? bruke generell relativitetsteori! Disclaimer: Vi kommer i dette tankeeksperimentet til ? neglisjere det faktum at mennesker som regel ikke blir noe s?rlig over 100 ?r gamle.
Situasjonen
I forrige bloggpost fant vi at det tok hele 396 ?r p? Homey sett fra Lisa sitt system for Lisa ? hoppe over i den andre heisen (bytte referansesystem). Da hadde vi antatt at hun gjorde dette hoppet momentant, alts? at ikke noe tid gikk fra hun var i den ene "heisen" til hun var i den andre. N? m? vi sett litt nytt p? det. Se for deg at du sitter p? Destiny. Lisa sitter i romskipet sitt, Apollo-Out, og reiser fra Destiny. Du observerer at hun reiser avg?rde med konstant retardasjon (negativ akselerasjon) g. Alts?, sagt litt enklere, bremser hun. Hun bremser opp helt til farten hennes er lik 0. Da har hun kommet seg litt forbi Destiny, til et punkt vi skal kalle \(t_{tp}\) ("turningpoint"). Du ser at hun fortsetter med negativ akselerasjon etter hun n?r \(t_{tp}\), og n?r hun kommer tilbake mot deg igjen har hun igjen den farten hun startet med.
Vi er n? interessert i ? finne ut av hvor mye tid Lisa mener har passert for deg i l?pet av denne perioden. Husker du eventene B og B' fra tidligere? Hvis ikke, g? tilbake til forrige bloggpost og repeter dem. N? skal vi nemlig tenke oss at vi har to tilsvarende serier av eventer, Y og Y', som skjer mens Lisa bytter heis (akselererer). De er definert slik:
- Y = Et event som skjer ved posisjonen til romskipet Apollo-Out
- Y' = Et event som skjer samtidig som Y (i romskip-systemet), men i posisjonen til planeten Homey.
Henger du med? Merk deg at eventene Y' skjer i samme referansesystem som Lisa er i, men alltid ved Homey. Du kan se for deg at dette er en annen astronaut. Han fikk ikke bli med p? tur, men er stuck med ? lese av klokka p? Homey.
Tabell 1. Koordinater for eventer:
| Y | Y' | |||
| Planetsystemet | \(x_Y = L_0 + v_0(t_Y-t_B) + \frac{1}{2}g(t_Y-t_B)^2\) | \(t_Y = t_Y\) | \(x_{Y'} = 0\) | \(t_{Y'} = t_Y - x_Yv(t_Y)\) |
| Romskipsystemet | \(x'_Y = 0\) | \(t'_Y = t'_Y\) | \(x'_{Y'} = \frac{-x_Y}{\gamma (t_Y)}\) | \(t'_{Y'} = t'_Y\) |
Obs! N?r vi skriver \(\gamma (t_Y)\) mener vi \(\frac{1}{\sqrt{1-v(t_Y)^2}}\). Vi antar s? at \(g = -0.1 m/s^2\). For ? f? denne i relativistiske enheter, m? vi dele p? lysfarten c. I planetsystemet kommer romskipet til Lisa fram til vendepunktet \(t_p\) ved \(t_{tp} = t_B - \frac{v_0}{g} = 296 ~?r\). Siden reisen til Destiny tar 202 ?r, s? vil det da ta 94 ?r p? Homey sine klokker for Lisa ? reise fra Destiny til vendepunktet. N?r \(t_Y = t_{tp}\), m? jo tida \(t_{Y'}\) v?re den samme som \(t_Y\). Vi kan se det fra formelen for \(t_{Y'}\) som st?r ?verst til h?yre i tabellen. For n?r raketten er i vendepunktet, vet vi at farten dens er null. Da forsvinner det siste leddet i uttrykket, og vi ender opp med et resultat som forteller oss at raketten er i vendepunktet ved samme tidspunkt i begge systemene. Det er ikke s? rart. I vendepunktet har jo ikke Lisas romskip noen fart i forhold til deg p? planeten. Dermed kan vi si at Lisa/raketten akkurat da er i samme referansesystem som deg/planetene! Du og Lisa vil alts? v?re helt enige om n?r Lisa er kommet til vendepunktet.
Metoden
Metodene vi bruker for ? l?se denne problemstillingen, er de samme som vi brukte i Tvillingsparadoks I.
Tiden flyr!
Vi plotter hvordan tiden forl?per p? Homey sett fra rakettsystemet, som funksjon av tidas forl?p i planetsystemet. Vi plotter her bare tiden fram til raketten n?r vendepunktet. Ta en kikk:
Vi ser at det skjer noe veldig interessant etter ca. 200 ?r i planetsystemet. Tida p? Homey begynner da ? g? mye raskere enn da hun hadde konstant fart. Tidligere fant vi at det tok 202 ?r for Lisa ? reise fra Homey til Destiny. Etter dette begynner Lisas rakett ? bremse. N?r hun har kommet fram til vendepunktet er farten null. Husker du at Lisa brukte 94 ?r fra Destiny til vendepunktet (i planetsystemet)? Ser du hvordan dette fremkommer i plottet?
Ok, vi ser for oss at Lisa drar fra Homey, forbi Destiny, til vendepunktet, og s? tilbake til Destiny. Det som egentlig skjer er at Lisa hoppet over i den returnerende "heisen". Men hvor lang tid tar det her p? Homey for observat?rene i den returnerende "heisen"? Vi husker at Lisa mente at det gikk 4 ?r p? Homey f?r hun ankom Destiny. Og s? mente hun at det tok 292 ?r p? Homey fram til vendepunktet. P? grunn av symmetri om vendepunktet, tenker vi at Lisa f?r samme akselerasjon etter dette punktet, helt til hun har samme konstante fart som hun startet med. Alts? helt til hun er framme ved Destiny igjen. Da m? ogs? dette strekket ta 292 ?r. Derfor vil det totalt ta 588 ?r (sett fra observat?rer i den returnerende "heisen") p? Homey sine klokker, til hun er ved Destiny igjen.
S? hvor gammel ble Lisa under reisen? Du husker fra forrige bloggpost at Lisa eldes 57 ?r i l?pet av de to delene av reisen der hun har konstant fart. Men hvor mye eldre blir hun i l?pet av fasen hun er akselerert? For ? finne ut av dette tenker vi oss at vi har et event E som er definert slik: E = N?r rakettens fart blir 0 (sett fra den returnerende heisen). S? tenker vi oss at det er uendelig med romskip-heiser stacka opp? hverandre, som beveger seg fra vendepunktet til Destiny. Den heisen som er n?rmest vendepunktet har ingen fart, og s? ?ker det opp til den som er n?rmest Destiny, som har farten \(v_0 = 0.99c\). N?r Lisa beveger seg "ned" mot Destiny, kan vi da se for oss at hun egentlig bare hopper fra heis til heis. Vi ser for oss at hun tilbringer bittelitt tid i hver av heisene, en tid vi kaller \(\Delta t'\). Og hun akselererer stegvis idet hun bytter heis, fordi neste heis har litt st?rre fart enn den forrige.
Vi setter klokkene v?re til 0, og starter dem n?r event E skjer. For ? skille fra t-ene vi har brukt tidligere, der klokkene var satt til 0 idet Lisa dro fra Homey, kaller vi de nye tidene for T (planetsystem) og T' (rakettsystemene). Siden vi ser p? korte ?yeblikk der Lisas rakett har konstant fart kan vi bruke vanlig tidsdilatasjon for ? finne sammenhengen mellom \(\Delta T'\) og \(\Delta T\). Da finner vi ut at Lisa har blitt 75 ?r eldre under akselerasjonsfasen i rakettsystemene.
La oss ta en kjapp oppsummering av resultatene v?re. Her kommer en oversikt over n?r de ulike hendelsene vil skje i hvert av referansesystemene:
- M?lt p? planetsystemets klokke: Du som er i planetsystemet vil p?st? at det tok 202 ?r fra Lisa dro fra Homey, til hun kom fram til Destiny. Du mener s? at hun brukte 94 ?r mellom Destiny og vendepunktet, og s? 94 ?r ned igjen til Destiny. Til slutt mener du at hun brukte 202 ?r hjem til Homey igjen. Derfor mener du at hele sekvensen tok 592 ?r.
- M?lt p? Lisas klokke (rakettsystemet): Lisa mener at hun bruker 28.5 ?r fra Homey til Destiny. Og s? fant vi at hun brukte 75 ?r fra Destiny til vendepunktet. P? grunn av at reisen hennes er symmetrisk om vendepunktet, s? vil hun bruke 75 ?r fra vendepunktet og tilbake til Destiny. Og til slutt vil hun bruke 28.5 ?r p? hjemreisen til Homey. Totalt bruker hun 207 ?r p? reisen.
- M?lt p? klokka til astronauten stasjonert ved Homey (i rakettsystemet): Astronauten mener at det kun gikk 4 ?r p? Homey fra Lisa dro hjemmefra til hun kom fram til Destiny. Han p?st?r ogs? at det gikk 292 ?r for Homey mens hun retarderte fra Destiny til vendepunktet. Og at det tok 292 ?r tilbake til Destiny igjen, f?r det til slutt tok 4 ?r for henne ? vende hjem til Homey. S? totalt mener ogs? han at hele greia tok 592 ?r! S? han her og en observat?r i planetsystemet, vil v?re enige om den totale tiden hele sekvensen tar, men uenige om hvordan tiden fordeles utover de ulike stegene.
Tvillinger, sa du?
S?, hvor relaterer vi alt dette til et sett med tvillinger? Det heter vel ikke Tvillingparadokset uten grunn? Neida, du kan se for deg at astronauten som ble igjen ved Homey og leste av klokka der, var Lisas tvilling. For han gikk det 592 ?r fra hun reise avg?rde, til hun kom tilbake. Men for Lisa tok jo reisen bare 207 ?r. Og de har begge like rett! Hvor mye tid de opplever at passerer er reelt for dem. S? n?r Lisa kommer tilbake til Homey, vil hun faktisk v?re mye yngre enn tvillingen sin! Og hva kommer det av? Jo, Lisa vil bevege seg med en relativ hastighet i forhold til tvillingen sin. P? grunn av tidsdilatasjon vet vi at tiden da vil forl?pe seg annerledes for dem. Moving clocks run slow.