Er stjerna v?r skinny?
F?rst har vi lyst til ? finne ut av hva temperaturen inni kjernen til stjerna v?r er. For ? gj?re dette trenger vi et uttrykk for massen til planeten som funksjon av radien dens, M(r). Hvorfor dette er n?dvendig, vil du etterhvert oppdage. Men ah, shit, det er litt vanskelig. Vi m? gj?re noen antagelser for ? f? til det her! Antagelsene vi har gjort er listet opp her:
- Stjerna har en uniform massetetthet. Det vil si at det er lik konsentrasjon av masse overalt i stjerna.
- Stjerna best?r av en ideell gass (Ideell gass: forklaring).
- Stjerna er i hydrostatisk likevekt (Hydrostatisk likevekt: forklaring).
- Vi antar forel?pig at stjerna kun best?r av protoner, slik at midlere molekylvekt \(\mu = 1\) (Midlere molekylvekt: forklaring).
Ved hjelp av den f?rste antagelsen kan vi skrive massen til stjerna som:
\(\begin{align} M(r) &= \rho(r) V(r) \\ &= \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \end{align}\)
der V(r) er volumet til stjerna som funksjon av radien. Vi kjenner allerede til stjernas massetetthet ved overflaten, s? siden vi antok uniform massetetthet, bruker vi denne verdien som en konstant for hele stjerna.
Du kommer til ? legge merke til at det vi gj?r her er ganske likt som det vi gjorde da vi modellerte atmosf?ren til planeten Narnia. Da gjorde vi en del av de samme antagelsene ogs?.
Er stjerna v?r hot?
N? har vi det vi trenger for ? finne temperaturen i kjernen til stjerna! Siden vi antok at stjerna best?r av en ideell gass, kan vi ta utgangspunkt i *drumroll* ideell gass-lov. Husker du den? Den g?r som f?lger:
\(P = \frac{\rho k T}{\mu m_H}\)
P er da trykket i gassen, k er Boltzmanns konstant, T er temperaturen i gassen, \(m_H\) er massen til et hydrogenatom, og de andre variablene er som definert tidligere. I v?rt tilfelle er det bare trykket og temperaturen i gassen som avhenger av radien, s? derfor vil vi fremover skrive disse som hhv. \(P(r)\) og \(T(r)\). Vi deriverer rakker'n mhp. radien:
\(\begin{align} \frac{d}{dr}P(r) &= \frac{d}{dr}(\frac{\rho_0 k T(r)}{\mu m_H}) \\ &=\frac{\rho_0 k}{\mu m_H} \cdot \frac{d}{dr} T(r) \end{align}\)
Siden vi antok at stjerna er i hydrostatisk likevekt, s? vil dette uttrykket gjelde:
\(\frac{dP}{dr} = -\rho(r) g(r) = -\rho_0 g(r)\)
Der vi i den siste overgangen har brukt at stjerna har uniform massetetthet. P er fremdeles trykk, og g(r) er tyngdeakselerasjonen p? stjerna. N? ser du kanskje hvor vi vil hen? N? kommer det magiske. Vi kombinerer den deriverte versjonen av ideell gass-lov med uttrykket for hydrostatisk likevekt:
\(\begin{align} \frac{\rho_0 k}{\mu m_H} \cdot \frac{d}{dr} T(r) &= -\rho_0 g(r) \\ \frac{d}{dr} T(r) &= -g(r) \frac{\mu m_H}{k}\\ &= -\frac{4}{3}G\pi \frac{\rho_0 \mu m_H}{k} r~~~~(1) \end{align}\)
Her er G gravitasjonskonstanten, og den kommer inn fordi vi i siste overgang skriver om tyngdeakselerasjonen g(r). I tillegg setter vi inn i den uttrykket for M(r) som vi fant tidligere. Det blir slik:
\(g(r) = G \frac{M(r)}{r^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho_0 r\)
Okay, vi er ikke ferdige helt enda. For ? finne et uttrykk for temperaturen i stjerna, m? vi integrere uttrykk (1). Vi integrerer det fra sentrum av stjerna (radius r = 0), til overflaten ved radius r = R:
\(\begin{align} T(R) - T(0) &= \int_{0}^{R} -\frac{4}{3}G\pi \frac{\rho_0 \mu m_H}{k} r ~dr \\ &= -\frac{4}{3}G\pi \frac{\rho_0 \mu m_H}{k} \int_{0}^{R}r ~dr \\ &= -\frac{2}{3}G\pi \frac{\rho_0 \mu m_H}{k} R^2 \\ &= T(R) \end{align}\)
Vi ser fra uttrykket over at \(T(R) - T(0) = T(R)\), noe som betyr at kjernetemperaturen \(T_c\) i stjerna v?r kan uttrykkes som:
\(\begin{align} T_c = T(0) &= T(R) - T(R) \\ &= T(R) + \frac{2}{3}G\pi \frac{\rho_0 \mu m_H}{k} R^2 \end{align}\)
Hvis vi setter inn tall i dette uttrykket over finner vi at kjernetemperaturen til stjerna v?r er \(T_c = 1.2 \cdot 10^6 \) Kelvin. Ganske varm med andre ord! Men det kunne v?rt verre. Sola i solsystemet har til sammenligning en kjernetemperatur p? rundt \(15 \cdot 10^6\) Kelvin.
Ingrediensene til v?r stjernes kjerne
Noe g?y vi kan gj?re med temperaturen vi fant for stjernas kjerne, er ? estimere hva slags grunnstoffer den best?r av. Siden kjernetemperaturen \(T_c < 90 \cdot 10^6 K\), kan vi gj?re disse antagelsene:
- Energiproduksjonen i kjernen kommer som f?lge av proton-proton-kjeden (pp-kjeden for short) og CNO-syklusen. I disse prosessene blir hydrogen omgjort til helium.
- Kjernen best?r av 74.5% Hydrogen, 25.3% Helium og 0.2% Karbon, Oksygen og Nitrogen.
Vi unders?ker hvordan disse prosessene fungerer:
| Prosess | Energiproduksjon per masse | Verdier som inng?r i uttrykkene |
|---|---|---|
| Pp-kjeden | \(\begin{align} \epsilon_{pp} &≈ \epsilon_{0, ~pp} X_{H}^2 \rho T_6^4 \\ &≈ 9 \cdot 10^{-8} W/kg \end{align}\) | \(\epsilon_{0, ~pp} = 1.08 \cdot 10^{-12} ~Wm^3/kg^2\) |
| \(\begin{align} X_H &= 3.725 \cdot \frac{m_H}{m_H + m_{He} + m_C + m_O + m_N} \\ &≈ 0.0798 \end{align}\) | ||
| \(T_6 ≈ 12.26\) | ||
| CNO-syklusen | \(\begin{align} \epsilon_{CNO} &= \epsilon_{0, ~CNO} X_{H} X_{CNO} \rho T_6^{20} \\ &≈ 4 \cdot 10^{-10} W/kg \end{align}\) | \(\epsilon_{0, ~CNO} = 8.24 \cdot 10^{-31} ~Wm^3/kg^2\) |
| \(X_H ≈ 0.0798 \) | ||
| \(\begin{align} X_{CNO} &= \frac{M_{CNO}}{M} \\ &= 0.002 \end{align}\) | ||
| \(T_6 ≈ 12.26\) |
Siden disse to prosessene st?r for energiproduksjonen i stjerna, kan vi lage et estimat p? hva luminositeten til stjerna v?r er. I forrige innlegg fant vi at den hadde luminositet \(L ≈ 3 \cdot 10^{27}\)W. N?r vi n? estimerer den p? nytt, b?r vi jo egentlig finne det samme tallet. Eller noe rundt der omkring i alle fall. La oss sjekke hva vi f?r. Vi bruker at andelen luminositet L per masse m som funksjon av radius er gitt som \(\epsilon(r) = \frac{dL}{dm}\). Vi vet at et lite masse-element dm kan skrives som \(dm = 4 \pi r^2 \cdot dr \cdot \rho(r)\), der vi har ganger arealeat \(4\pi r^2\) med tykkelsen dr, og f?tt volum. S? ganger vi volumet med massetettheten \(\rho(r)\) og f?r massen som resultat. Men vi husker at vi antok at massetettheten i stjerna var uniform, s? \(\rho(r) = \rho_0\). I tillegg kan vi se fra tabellen at hverken \(\epsilon_{pp}\) eller \(\epsilon_{CNO}\) avhenger av radien, s? vi setter \(\epsilon(r) = \epsilon\). Ved ? sette dette uttrykket for dm inn i uttrykket for luminositet per masse, f?r vi da:
\(\begin{align} \epsilon &= \frac{dL}{4 \pi r^2dr \rho_0} \\ dL &= 4 \pi r^2 \rho_0\epsilon~ dr \\ L &= 4 \pi \rho_0 (\epsilon_{pp} + \epsilon_{CNO}) \int_{0}^{0.2R}r^2 dr \\ &= 0.032 \cdot \pi \rho R^3(\epsilon_{0,~pp}X_H^2 \rho T_6^4 + \epsilon_{0,~CNO} X_H X_{CNO} \rho T_6^{20} ) \\ &≈ 7 \cdot 10^{21} W \end{align}\)
Phew, det her ble mye matte, og vi h?per du ikke har mistet interessen totalt. Hvis du trenger ? v?kne litt, kan det hende du gj?r det n?. For ta en kikk p? den estimerte luminositeten. Den er enormt mye mindre enn den vi fant tidligere! Luminositeten vi fant tidligere er 428 571 ganger st?rre enn den estimerte! Kan dette stemme? Har vi gjort noe feil? Vi kan kjapt gj?re et lite estimat for overflatetemperaturen til stjerna ved hjelp av den estimerte luminositeten. Ved \(T_{estimert} = \sqrt[4]{\frac{L_{estimert}}{4\sigma \pi r^2 }} ≈ 297 K\). Aiaiai, dette blir helt feil det ogs?. Vi vet at overflatetemperaturen p? stjerna er 7533 K. Hvorfor f?r vi et s?pass stort avvik?
Selvransakelse
Etter ? ha g?tt gjennom utregningene v?re gang p? gang, finner vi ikke noen ?penbare feil. Vi m?tte ogs? granske antagelsene v?re. Det er mye som tyder p? at alle disse kanskje ikke er helt gyldige. Spesielt dette med at vi antar konstant massetetthet i stjerna. Vi vet at dette ikke stemmer i virkeligheten, og at massetettheten i kjernen til en stjerne vil v?re mye h?yere enn i de ytterste lagene. Vi fant noen tall p? massetettheten til sola i Solsystemet. Den hadde visst en tetthet p? omkring 160 \(g/cm^3\)i kjernen (kilde), og \(10^{-9} g/cm^3\) p? overflaten (kilde). Hvis disse tallene bare halvveis stemmer, s? er det fremdeles en veldig stor differanse mellom dem. Siden massetettheten varierer s? mye for sola, er det nok ikke usannsynlig at den varierer mye for v?r stjerne ogs?. Vi antok ogs? helt i starten at stjerna bare besto av protoner, slik at midlere molekylvekt ble \(\mu = 1\). Vi vet at dette ikke er helt sant, det er klart at stjerna vil best? av mer enn bare protoner. Og i virkeligheten vil midlere molekylvekt variere innad i stjerna ogs?. Basert p? temperaturen vi fant for stjerna, anslo vi at kjernen besto av 74.5% Hydrogen, 25.3% Helium og 0.2% Karbon, Oksygen og Nitrogen. Denne sammensetningen gir heller en midlere molekylvekt p? \(\mu ≈ 1.8\). Litt ulikt den vi anslo alts?. Vi tror likevel ikke at denne faktoren har p?virket resultatene s? mye. Den burde ikke gjort s? stort utslag i alle fall.
Antagelsen om at stjerna er i hydrostatisk likevekt tenker vi er fair. Vi studerer den ikke over lang tid, s? vi forventer at den holder seg stabil, og at formen dens er konstant mens vi unders?ker den. For at dette skal v?re mulig, m? den v?re i hydrostatisk likevekt. Er det rimelig ? anta at stjerna best?r av en ideell gass da? Mja, kanskje. Vi husker at man fint kan anta at de fleste gasser som ikke har ekstremt lave eller h?ye temperaturer er ideelle gasser. Men n? snakker vi om en stjerne da... De er jo kjent for ? v?re varme. Og spesielt inni kjernen til stjerna, der m? det jo v?re ganske h?y temperatur? Og super-h?y tetthet. Og vi vet at partiklene inni der vil interagere. Derfor er kanskje ikke ideell gass-lov helt rimelig ? bruke her. Vi tenkte ogs? over antagelsen om at kjernen besto av den nevnte sammensetningen av grunnstoffer. Kanskje er ikke sammensetningen helt s?nn. Samtidig vet vi at pp-kjeden er mest effektiv ved temperaturer rundt \(T_6 ≈ 15\). CNO-syklusen derimot, er mest effektiv ved temperaturer rundt \(T_6 ≈ 20\). Vi fant at temperaturen i stjerna v?r ga \(T_6 ≈ 12.26 \). Det betyr ikke at kjernereaksjoner ikke vil finne sted i stjerna v?r, men at de vil v?re mindre effektive fordi stjerna v?r har litt lavere temperatur enn det som er optimalt. Kanskje dette kan ha hatt noe ? si for at vi estimerte luminositeten til ? v?re lavere enn den vi regnet ut i tidligere. Men i hovedsak er det nok antagelsen om konstant massetetthet som b?r ha gjort st?rst utslag p? resultatene.
Farvel
Slik slutter reisen v?r gjennom verdensrommet for denne gang. For fire m?neder siden satt vi ? modellerte en rakettmotor, som vi deretter brukte i v?r f?rste simulering av en rakettoppskytning. Etter dette unders?kte vi planetene i solsystemet v?rt, spesielt s? vi p? hva slags baner de hadde rundt stjerna i solsystemet. Senere utforsket vi atmosf?rene p? disse planetene, og s? valgte vi en planet ? sende Frodo og Sam av g?rde til, Narnia. Deretter bygde vi en GPS til raketten deres. Og s? lagde vi utallige simuleringer for reisen fram til destinasjonsplaneten. S? skj?t vi opp raketten. Vi justerte banen underveis, og kastet etterhvert raketten inn i bane rundt Narnia. Da kunne vi unders?ke atmosf?ren dens enda grundigere enn tidligere. Vi fant s? et passende landingssted, og deretter landet vi raketten (et helt annet sted). Oppdraget var utf?rt. Etter ? ha fraktet Frodo og Sam trygt fram til Narnia, f?lte vi et tomrom. Vi trengte en ny utfordring. Vi bestemte oss for ? utforske relativitetsteorien ved ? tvinge Frodo og Sam til ? gj?re relativitetseksperimenter p? Narnia. Slik fikk vi b?de l?rt litt spesiell og generell relativitetsteori. Helt til slutt gjorde vi en liten helsesjekk p? stjerna i solsystemet v?rt, for ? se om vi kunne finne ut noe g?y. Og n? er vi her. Reisen v?r er over, og det eneste som gjenst?r er ? takke deg for f?lget. Det har v?rt en glede ? ha deg med.
"To confine our attention to terrestrial matters would be to limit the human spirit." - Stephen Hawking (Intervju med The New York Times, mai 2011)