V?r stjernes f?dsel

Vi vil n? se p? stjernen v?r, og se hva vi kan vite om dets f?dsel, livsl?p og om den passer inn med de andre stjernene som vi kjenner.

La oss begynne med noe kjent, nemlig Hertzsprung-Russell diagrammet. Hvis du ikke allerede vet er dette en systematisk oversikt over stjernene som kan hjelpe oss med ? klassifisere og vite en rekke informasjon om stjernen. Denne informasjonen kan si oss blant annet hvor i livsl?pet stjernen er. Hvordan skal vi plassere stjernen v?r p? Hertzsprung-Russell diagrammet? Jo, la oss se hva aksene er p? et vilk?rlig diagram.

Vi m? s? vite luminositeten og temperaturen til stjernen. Stjernens temperatur vet vi allerede, som er 11696,4 K, som betyr at den er en stjerne av klasse B. Og har fra Wikipedia at den er s? en spesiell stjerne, bare 0,13% av alle stjerner befinner seg her. Vi kan s? allerede ha oss en ide hvor stjernen v?r ligger.

Sp?rsm?let blir s? om den ligger ved de hvite dvergene p? den nederste rekken, eller i den store hovedserien som ligger midt i bildet. Gigantene og supergigantene i ?vre h?yre hj?rne er nok ganske usannsynlig, men vi f?r se p? tallene og finne ut hvor stjernen v?r h?rer hjemme.

Hvordan finner vi s? luminositeten? Husker du fra en forrige bloggpost hvor vi fant temperaturen p? planetene? Jo, vi hadde jo nemlig at luminositeten var oppgitt med fluksen ganget med hele overflaten til stjernen. Fluksen, var jo igjen gitt ved Stefan-Boltzmanns flukslov.

\(F_s = \sigma T_s^4\\ L_s = F_s\cdot A_s \\ L_s = \sigma T_s^4\cdot A_s \\ L_s = 5.3804347\cdot10^{28} \mathrm{W}\)

Vi m? s? normalisere dette slik at sola (ja, den i solsystemet ditt!) blir 1, akkurat slik vi gjorde med naturlige enheter. Hva var n? solas luminositet? Ah, nemlig, den er \(3.846\cdot10^{26}\). Som gir:

\(L_N = \frac{5.3804347\cdot10^{28}}{3.846\cdot10^{26}} \approx 139.896 \frac{\mathrm{W}}{L_\bigodot} = 1.39 \cdot 10^2 \frac{\mathrm{W}}{L_\bigodot}\)

Vi kan s? plotte stjernen v?r p? HR-diagrammet.

Den ligger s? i hovedserien! Dette er hvor de fleste stjerner befinner seg i midten av livsl?pet sitt, men... hvor lenge lever egentlig stjernen v?r? For ? svare p? dette resonnerer vi f?rst litt.

Vi vet at en stjerne vil holde seg p? hovedserien s? lenge den ikke har brukt 10% av hydrogenet i seg. Hva skjer s? n?r 10% av hydrogenet har blitt brukt opp? Stjernen vil begynne ? fusjonere heliumet til karbon, dette kommer ut fra den midlere molekylvekten som vi har snakket om i en forrige bloggpost. Den ideelle gassloven sier s? at trykket vil synke, og dermed vil den hydrostatiske likevekten ikke gjelde, og m? s? likestille seg p? en ny likevekt (vi snakket mye om dette n?r vi modellerte atmosf?ren). Dette skjer ved at tyngdekraften presser stjernen enda mer kompakt, og det blir varmt nok i kjernen til ? fusjonere helium til karbon. Det er s? vanskelig ? si n?yaktig hvor lang tid en stjerne vil holde seg p? hovedserien, men vi kan gj?re noen forenklinger. Vi antar at fra de m?tene varme kan transporteres, skjer kun str?ling. Dermed kan vi benytte oss av at formelen at 10% av massen blir s? energien:

\(E = 0.1mc^2\)

Men vent!! Det er jo ikke s?nn at hele hydrogenatomet blir gjort om til energi! Vi m? s? ha den energien som er dannet per fusjon fra hydrogen til helium. Finner s? fram at denne skalaren er 0.7%.

\(E = 0.1mc^2\cdot 0.007\)

Vi husker ogs? at luminositeten er ogs? kjent som effekt, da begge har samme enhet. Vi vet at formelen for effekt er energi over tid, og kan s? omskrive uttrykket for ? finne tiden. Husker s? at v?r stjernes masse er \(3.99035 \mathrm{M_\bigodot} \approx 7.9807\cdot10^{30} \mathrm{kg}\).

\(t_{life} = \frac{0.1mc^2\cdot 0.007}{L_s} \approx 9.33175*10^{15}\mathrm{s} = 2.95908\cdot10^8 \mathrm{yr}\)

295 millioner ?r var ikke s? mye da? Sola lever jo i 10 milliarder ?r, og er 5 milliarder inn i livstiden sin p? hovedserien. Dette betyr at stjernen v?r forlater hovedserien milliarder av ?r f?r solen. Hvordan m?les dette opp mot stjerner som er ca. lik i luminositet og temperatur? To stjerner som ligger n?re er Sirius og Vega. La oss sette opp en fort tabell over disse:

^{Tall hentet fra Wikipedia}

Vi ser at stjernen v?r passer godt inn med de andre stjernene. Den er litt varmere, mer massiv som gir den en st?rre luminositet. Ellers virker den til ? passe bra. Vi m? ogs? huske at Sirius og Vega er begge klasse A stjerner, som ligger under v?r. Hva er s? levetiden til Sirius og Vega? Jo, fra Wikipedia finner vi igjen at Sirius og Vega har en ca. 1 milliard ?r p? hovedserien. S? stjernen v?r d?r ogs? raskere enn disse. Siden vi ogs? har en relasjon at livstiden er omvendt proporsjonal med massen i tredje, kan vi godt se at stjernen v?r passer inn her.

N? som vi har snakket om hvor lenge den lever kommer vi jo tilbake til det f?rste sp?rsm?let; hvordan ble stjernen v?r dannet? Vi skal s? langt tilbake, til den tid stjernen v?r var en gassky flytende i verdensrommet.

Stjernen v?r, slik som alle andre stjerner, ble dannet da en gigantisk molekylsky kollapset. Hvor gigantisk var denne molekylskyen? Jo, det er et godt sp?rsm?l, la oss regne p? det.

Som alltid, f?r vi begynner ? regne p? noe, gj?r vi v?re antakelser. Vi antar at hele molekylskyen g?r til stjernen, dette kan vi godt anta da det meste av massen g?r til stjernen. Bare sola utgj?r 99,8% av all massen i sitt solsystem (kilde)! Vi gj?r ogs? en antakelse om at molekylskyen var best?ende av en uniform gass av 75% hydrogen og 25% helium, og at temperaturen var s? frysende kaldt p? 10 K. Vi f?r s? en midlere molekylvekt p? \(\frac{7}{4}\)u. Hva er det s? som bestemmer om at skyen v?r skal kollapse? Du kan tenke p? dette som n?r vi pr?vde ? komme oss i bane rundt destinasjonen v?r, at vi m?tte v?re p?passelig at v?r kinetiske energi var for h?y, ellers ville ikke den potensielle energien fra planeten klare ? holde oss igjen! Vi forst?r s? nemlig at den potensielle energien m? v?re h?yere enn den kinetiske. Finner s? fra virialteoremet at den kinetiske energien kan maks v?re halvparten av den potensielle:

\(E_k = -\frac{1}{2}E_p\)

Setter vi dette inn i total energi vet vi s? at:

\(E = -\frac{1}{2}E_p + E_p = \frac{1}{2}E_p\)

S? hva blir n? den potensielle energien til hele skyen? Jo vi vet at f?r hver liten partikkel i den, vil det eksistere en liten del av potensiell energi. Vi husker fra konservative felt at vi kan integrere gravitasjonskraften (og sette et minustegn foran!) for ? finne den potensielle energien.

\(\mathrm{d}u = -\frac{GM}{r}\mathrm{d}m\)

Men... hva blir integrasjonsgrensene til m? La oss omskrive litt slik at vi f?r noe annet. Her kommer antakelsen om en uniform gass, vi kan jo bare tenke p? massen som massetettheten ganget med overflaten til et skall med distanse r. Husker du definisjonen av massetetthet?

\(\rho = \frac{m}{V} \\ m = \rho\cdot A\cdot \mathrm{d}r\)

Som gir oss:

\(\mathrm{d}u = -\frac{GM\rho A}{r}\mathrm{d}r\)

Hva er da M? Vi skriver det som lik trykket, ettersom vi antok uniform gass:

\(M = \rho\cdot V\)

Vi f?r s? noe vi kan integrere over n?r vi faktoriserer ut alle konstantene:

\(E_p = -\frac{16}{3}\pi^2 G\rho^2 \int\limits_0^{R}r^4\: \mathrm{d}r \\ E_p = -\frac{16}{15}\pi^2 G\rho^2R^5 = -\frac{16}{15}\pi^2 G\frac{9M^2}{16\pi^2 R^6}R^5 = -\frac{3GM^2}{5R}\)

La oss n? finne den kinetiske energien. Vi bruker formelen for kinetisk energi til en gass:

\(E_k = NkT = \frac{MkT}{\mu m_H}\)\(E_k = \frac{3}{2}nkT = \frac{3MkT}{2\mu m_H}\)

Vi vet fra viralteoremet at:

\(E_k < \frac{1}{2}|E_p|\)

For at den totale energien skal bli null eller gj?re den potensielle energien dominerende. Vi l?ser s? ulikheten og l?ser for radien:

\(\frac{3MkT}{2\mu m_H} < \frac{3GM^2}{10R} \\ R < \frac{GM\mu m_H}{5kT} \)

\(R < 2.229\cdot10^{15}\mathrm{m} = 0.2357 \mathrm{ly}\)

Denne radien er ogs? kjent som Jean-radien, radiusen som er minimal for skyen for at den skal kollapse.

Hvor var s? stjernen v?r p? HR-diagrammet f?r den ble en stjerne? Jo, vi kan jo finne luminositeten p? akkurat samme m?te som f?r:

\(L_{GMC}\approx 3.54306 \cdot 10^{28} \mathrm{W} \\ L_{NGMC} = 92.123 \mathrm{L_\bigodot}\)

Vi ser s? at gasskyen v?r er langt langt borte fra hovedserien.

Vi konkluderer s? med at vi er s? heldig at vi har f?tt veldig unik stjerne av klasse B. S? har vi funnet hvor lenge den vil oppholde seg i hovedserien, og at den passer godt inn med de andre stjernene. Til slutt studerte vi s? noen av minimumskravene for stjernen slik at vi kunne forst? forhistorien dens. Det er likevel mange feilkilder som kan ha oppst?tt. Vi har gjort ganske mange antakelser for ? finne levetiden p? stjernen v?r. Det ? anta konstant temperatur og tetthet, at varmen kun forflytter seg ved str?ling, er tall som vil ha en innvirkning p? den faktiske levetiden. En gassky kan neppe bli forenklet s? mye uten ? f? en del feil. Den var jo mest sannsynlig ikke unform, besto av en annen fordeling av gasser, var heller ikke en sirkel og heller ikke uniform temperatur. Det er ogs? andre krefter som rotasjon, turbulens og magnetisme som vi s? bort ifra. Alle disse har jo s? klart en innvirkning p? radien og luminositeten vi fant.