For ? finne ut hvilke planeter som kunne ha hatt liv, hadde det f?rst v?rt fint ? finne en planets temperatur. Vi Det har seg s?nn at effekten per areal (ogs? kjent som fluks) er proporsjonal med temperaturen i fjerdepotens. Hvorfor? Husker du Stefan-Boltzmanns lov?
\(F = \sigma T^4\)
Her er \(\sigma\) Stefan-Boltzmanns konstant og T temperaturen. Vi kan kun bruke denne likningen om det er et svart legeme vi snakker om. Et svart legeme er et legeme som absorberer all str?ling. Vi approksimerer stjernene som perfekte svarte legemer fordi de ofte sender ut mesteparten av str?lingen sin i en viss b?lgelengde, dette betyr at stjernen har absorbert all (eller mesteparten) av str?lingen, og sendt det ut etter en veldig kjent svartlegemestr?lingsgraf.
Kilde: svartlegemestr?ling
La oss n? se p? hvordan vi l?ser for effekten en distanse langt unna, la oss si en planet. Hva ville s? effekten v?rt ut til en slik distanse? Vi vet at fluksen til en stjerne kan skrives ved Stefan-Boltzmanns lov, og det har seg slik at fluksen er definert som effekt per areal. Kan vi s? ikke bare gj?re arealet st?rre? Det er det vi gj?r, vi deler effekten vi fikk p? et st?rre areal som tilsvarer overflaten av et skall som g?r igjennom himmelegemet for ? finne ut effekten fra stjernen til den distansen. Vi har s? flyttet fluksen fra det som kommer ut av stjernen til det som n?r oss.
Fluksen vil alts? avta jo lengre vekk fra stjernen man er, s? vi m? regne oss tilbake til den totale effekten fra stjernen for ? f? den motatte fluksen langt borte.
\(L_s = F_s*A_s\)
Vi finner effekten (L, ogs? kalt luminositet) fra stjernen og ser hva fluksen p? en vilk?rlig distanse r er:
\(F_d = \frac{\sigma T_s^4*A_s}{A_r} = \frac{\sigma T_s^4(4\pi R_s^2)}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}\)
Hvor arealet er overflaten til en kule. Vi ser at hvis arealet p? en kule har samme radius som stjernen, vil vi komme tilbake til fluksen til stjernen. Denne fluksen sier oss fint lite da, vi trenger et faktisk objekt ? kunne absorbere denne fluksen f?r vi kan si hvor stor effekt stjernen utgir p? den. Det b?r jo ikke v?re vanskeligere enn ? s? gange ut fluksen vi har igjen med et areal for ? finne ut eksakt? Men hva er egentlig absorbert av en kule i verdensrommet? La oss se litt n?rmere p? dette.
Dette er det vi tenker oss en planet vil se ut som. Det virker ganske umulig ? trekke fram en god konklusjon hva arealet av planeten som faktisk absorberer lyset? La oss skifte perspektiv til hva lyset fra stjernen ser:
Lyset vil jo bare se en sirkel! Uten skyggeleggingen ser man jo kun en sirkel, dette vil s? arealet absorbert v?re dersom vi antar at alle fotonene fra stjernen kommer mot planeten parallelt. Fra s? stor distanse som vi er fra kan vi godt anta at disse fotonene kommer faktisk ganske parallelt. Dermed kan vi regne oss til den motatte effekten ved ? gange fluksen med det gitte arealet:
\(L_p = F_d*\pi*R_p^2 = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}*\pi R_p^2\)
Planeten, likt med stjernen, skal s? ogs? gi fra seg en fluks, ettersom de reflekterer stjernelyset. Stjernelyset er jo svartlegemestr?ling, og vi kan s? anta at planeten har absorbert all str?lingen, som et svart legeme gj?r. Vi vet s? at planeten m? dermed sende ut svartlegemestr?ling fordi den er et svart legeme. Fra dette kan vi jo finne planetens fluks effekten som n?r planeten, men med en antakelse at all den effekten blir spredt utover hele overflaten til planeten. Vi bruker til slutt Stefan-Boltzmanns lov for ? s? finne temperaturen til planeten .
\(F_p = \frac{L_p}{4\pi R_p^2} = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{4\pi R_p^2 r^2}*\pi R_p^2\)
\(T_p = \frac{T_s\sqrt{R_s}}{4^{\frac{1}{4}}\sqrt{r^2}}\)
| Planetene i synkende rekkef?lge fra stjernen | Temperatur i Kelvin | Temperatur i Celsius |
|---|---|---|
| Planet 4 | 434.16 | 161.01 |
| Planet 0 (Hjemplaneten v?r!) | 348.25 | 75.1 |
| Planet 1 | 276.69 | 3.54 |
| Planet 6 | 235.82 | -37.33 |
| Planet 3 | 191.35 | -81.8 |
| Planet 5 | 118.05 | -155.1 |
| Planet 2 | 100.85 | -172.3 |
Det var da utrolig varmt p? planeten vi kom fra, tror nok vi hadde kokt levende, spesielt p? ekvator. Likevel s? skal det v?re mulig for flytende vann ? finnes der som indikerer p? liv. Ser vi derimot p? Planet 1, s? likner det mer p? et mer komfortabelt sted ? v?re og virker godt innenfor den beboelige sonen. Vi kan s? si at dette blir nok den planeten som vi har st?rst interesse ? bes?ke. Av praktiske ?rsaker er det ogs? vanskelig ? n? de andre planetene p? grunn av de store avstandene. Det er mange utfordringer n?r det kommer til ? n? planeter med st?rre bane enn v?res egen, deriblant det faktumet av at man ofte blir n?dt til ? ta seg omveier for ? n? de ytre planetene.
V?r rakett kan ikke bare bruke sitt eget drivstoff og vil potensielt bli n?dt til ? l?ne litt bevegelsesmengde fra noen andre planeter for ? ?ke sin egen fart. Dette blir ofte referert til som slingshot method, se her slingshot, dersom du er interessert. Poenget er at planeter som er n?rmere oss er ogs? lettere ? n?, og som du kan se p? bildet under vil du se at planeten med den rosa banen ogs? kunne ha v?rt et alternativ, men p? grunn av den store avstanden mellom den og den oransje s? er det usikkert p? om vi vil kunne n? den selv etter ? ha brukt slingshot metoden. Det er nok mulig, men det blir muligens ganske vanskelig, og krever st?rre presisjon enn det vi muligens vil klare ? oppn?.
Som vi spurte tidligere, var vi jo interessert i hvilke av planetene som kunne ha liv. En av de mest fundamentale ?rsakene til liv, er jo flytende vann. Vi er jo selv allerde ganske avhengig av dette, s? det gir mening at det er her vi ville begynt ? se etter liv. Vi kaller den distansen fra stjernen hvor vann er flytende for den beboelige sonen. La oss plotte den beboelige sonen ved ? sette temperaturen der vann er flytende og se hvor stor denne sonen faktisk er. Vi kan omskrive formelen vi l?ste ovenfor for ? finne distanse. Vi setter s? at temperaturen for flytende vann er mellom 260-390 K. La oss ogs? sette en feilmargin p? \(\pm\) 15 grader, vi har jo allerede antatt at alt vi s? p? var svarte legemer, s? det kan godt v?re at vi har noen feilberegninger og en planet faktisk kan ha h?yere eller lavere temperatur. Det er i bunn og grunn mange faktorer som teller p? en planets temperatur, som atmosf?ren, hvor forskjellige komposisjoner kan ha en betydning av hvor mye varme som unnslipper. Et eksempel p? dette i virkeligheten er Venus, som har en tykk atmosf?re av karbodioksid. Dette gj?r temperaturen til Venus p? 475°, som er h?yere en Merkur p? 430°. Kilder: Merkur, Venus
Vi omskriver s? formelen for temperaturen til planeten for distansen vi m? v?re for at planeten skal ha en viss temperatur. Vi kan dermed sette Tp til ? v?re temperaturen til flytende vann.
\(r = \frac{T_s^2R_s}{2T_p^2}\)
Legger vi dette inn i plottet v?rt for planetbanene, vil vi kunne se en beboelig sone. La oss zoome inn og se bort ifra Planet 5 og 2 ettersom de er s? langt unna og gj?r sonen ganske usynlig.
Vi ser s? nemlig at det stemmer at b?de Planet 0 og Planet 1 befinner seg i den beboelige sonen. Vi kan s? ogs? se at Planet 6 av og til krysser s? vidt inn i denne sonen f?r den forlater den.
? nei! Vi tok jo aldri i betraktning hvordan rakettens instrumenter skal fungere? Vi kunne ha brukt rakettdrivstoff, men det er jo en mye enklere m?te ? l?se dette p?. Stjel litt energi fra stjernens utstr?ling, ogs? kjent som solcellepaneler. Disse vil kun v?re effektive n?rme en stjerne, men vi hadde jo kun tenkt ? bes?ke naboplaneten v?r, s? det kan nok l?nne seg ? bruke dette. Hvordan vet vi s? hvor store solcellepanel vi b?r ha for ? lande p? planeten? Som vi s? tidligere, kunne vi jo bare bruke fluksen fra stjernen s? gange med arealet for ? f? effekten. La oss gj?re dette, men si at solcellepanelene m? generere minst 40W. Solcellepanel er heller ikke 100% effektiv, s? la oss si effekten p? disse panelene er kun 12%. Det vil si at vi trenger ? samle inn mer enn 40W for at instrumentene skal fungere. La oss bruke det vi vet om fluks og effekt til ? l?se problemet. Vi omskriver formelen vi hadde at fluksen til en vilk?rlig distanse slik at vi finner arealet den m? ha for at vi skal ha en viss effekt vi skal generere.
\(F_d = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}\)
\(A = L/F_d\)
\(A = \frac{\frac{40}{0.12}}{\frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}} = \frac{40r^2}{0.12\sigma T_s^4R_s^2}\)
Hvis distansen fra stjernen er p? planeten vi skal bes?ke, setter vi bare inn den halve storaksen. Ved hjelp av et skript l?ser vi dette raskt:
The Solar Panel needs to be 0.251 m? for a distance 12 AU.
Vent n? et sekund, \(0,25\ m?\) ??? Det var da utrolig lite i forhold til hva en ville brukt p? jorden. Et solcellepanel p? jorden ville laget 200W om vi hadde en kvadratmeter av det, og disse solcellepanelene er en del mer effektiv enn det vi bruker! Vi trengte jo \(333,33\ W\) for ? holde instrumentene v?re i gang! Dette kan jo bare bety en ting, og det er at fluksen til stjernen v?r er en
del st?rre enn v?rt eget solsystem. La oss gj?re en rask sammenlikning av solen og v?r egen stjernes fluks p? en distanse lik jordens (1 AU).
| solen | v?r stjerne | |
|---|---|---|
| Fluks | \(1369,35\ Wm^{-2}\) | \(191318,37\ Wm^{-2}\) |
Oida, da var det mysteriet l?st. V?r stjerne har en langt, LANGT st?rre fluks enn det solen har. For ? sammenlikne kan vi ta fluksen fra v?r stjerne og dele p? fluksen fra solen og da f?r vi at fluksen er rundt 139.71 ganger st?rre enn solen sin flux fra samme avstand. Kanskje 0,25 m? h?res rimelig ut p? en distanse ca. 12 AU vekk fra stjernen allikevel?
Til neste blogg-post