Atmosf?remodellen skal hjelpe oss, som sagt i en tidligere bloggpost, ? s?rge for at landingen blir s? trygg som mulig. Vi vil jo nemlig ikke at raketten skal brenne opp eller at vi skal miste kontroll.
La oss n? grave oss ned i termofysikken og finne de relevante formlene for ? l?se dette. Vi vil s? gjerne finne trykket og massetettheten gitt som en funksjon av h?yden. Hva er n? uttrykket for dette?
\(P = nkT = \frac{\rho kT}{m}\)
Kanskje du har sett den f?r? Dette er likningen for den ideelle gassloven. Som er antakelsen vi fortsatt holder p? i modelleringen. Dermed er det ? relatere dette trykket til h?yden som er gitt som:
\(\mathrm{d}P = -\rho(h)\cdot g(h)\cdot \mathrm{d}h\)
Dette er kjent som en differensiallikning. En differensiallikning er en likning som krever et forrige steg for ? l?se det neste, den m? s? ofte l?ses systematisk, med r? styrke. Vi er derimot fysikere og ikke matematikere, og har lov til ? gj?re de villeste forenklinger for ? komme i m?l. Dette blir nok tungt ? l?se, men vi skal nok f? resultater!
Vi gj?r en antakelse at atmosf?ren kan deles opp i to deler, en adiabatisk og isoterm. Adiabatisk betyr at vi har et lukket system hvor varme ikke kan komme til eller forlate systemet. Isoterm betyr det det h?res ut som, en konstant temperatur. Vi antar n?r temperaturen blir halvparten av overflatetemperaturen, som vi fant i en forrige bloggpost, s? blir atmosf?ren isoterm, men n?rmere overflaten er den adiabatisk.
Isoterm
La oss n? l?se for en isoterm atmosf?re ettersom det blir litt enklere ? l?se differensiallikningen med konstant temperatur. En annen antakelse vi velger ? ta er at gravitasjonskonstanten er konstant, dette er mer for ? ikke f? et veldig stygt uttrykk for den analytiske l?sningen. Vi f?r s?:
\(\rho = \frac{PkT}{m}\)
\(\mathrm{d}P = -\frac{Pm}{kT}\cdot g\cdot \mathrm{d}h\)
\(\frac{1}{P}\mathrm{d}P = -\frac{mg}{kT}\cdot \mathrm{d}h\)
Vi gj?r s? dermed integralet p? begge sider og f?r:
\(\int\frac{1}{P}\mathrm{d}P = -\frac{mg}{kT} \int \: \mathrm{d}h\)
\(\ln{P}+c_1 = -\frac{m g}{kT} + c_2\)
\(P = C_0e^{-\frac{mgh}{kT}}\)
Vi har ogs? at skalah?yden, som er avstanden der lufttrykket avtar med en faktor \(e\) som:
\(h_0 = \frac{kT}{g m}\)
Og f?r s?:
\(P(h) = C_0e^{-\frac{h}{h_0}}\)
Hva blir s? konstanten for den generelle l?sningen, vi l?ser for h = 0:
\(C_0 = P_0\)
Dermed blir det endelige uttrykket for den isoterme delen:
\(P(h) = P_0e^{-\frac{h}{h_0}}\)
Vi finner massetettheten som en funksjon av h?yden ved ? gange med \(\frac{kT}{m}\):
\(\rho(h) = \rho_0e^{-\frac{h}{h_0}}\)
Adiabatisk
For den adiabatiske delen har vi en annen likning som skal hjelpe oss ? l?se differensiallikningen:
\(P^{1-\gamma}T^\gamma = c\)
Hvor c er en konstant og γ er den adiabatiske indeksen. Vi antar at denne indeksen er lik 1.4 da de fleste gasser har denne indeksen. Vi kan s? uttrykke den varierende temperaturen som:
\(T = c^{\frac{1}{\gamma}}P^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\)
Som vi kan sette inn i differensiallikningen:
\(\mathrm{d}P = -\frac{Pm}{k c^{\frac{1}{\gamma}}P^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}\cdot g\cdot \mathrm{d}h\)
\(\mathrm{d}P = -\frac{P^{\frac{1}{\gamma}}m}{k c^{\frac{1}{\gamma}}}\cdot g\cdot \mathrm{d}h\)
\(P^{-\frac{1}{\gamma}}\mathrm{d}P = -\frac{m}{k c^{\frac{1}{\gamma}}}\cdot g\cdot \mathrm{d}h\)
\(\int P^{-\frac{1}{\gamma}}\mathrm{d}P = -\frac{m}{k c^{\frac{1}{\gamma}}}\cdot g \int \: \mathrm{d}h\)
\(\frac{\gamma}{\gamma-1} P^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + c_1 = -\frac{mgh}{k c^{\frac{1}{\gamma}}} + c_2\)
\(P(h) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\left(-\frac{mgh}{k c^{\frac{1}{\gamma}}} + C\right)\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}\)
Vi finner s? uttrykk for temperaturen ved ? sette P tilbake inn i den adiabatiske loven:
\(T(h) = c^{\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\left(-\frac{mgh}{k c^{\frac{1}{\gamma}}} + C\right)\)
S? kan vi finne C ved ? l?se for h=0:
\(C = \frac{\gamma\cdot T_0}{(\gamma-1)\cdot c^{\frac{1}{\gamma}}}\)
Og da er det jo bare ? bruke den ideelle gassloven for ? finne massetettheten!
\(\rho(h) = \frac{kT\left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\cdot\left(-\frac{mgh}{k c^{\frac{1}{\gamma}}} + C\right)\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}}{m}\)
Og vi har at initialverdiene er massetettheten (ρ0) ved starten av den isoterme modellen og overflatetemperaturen (T0) for den adiabatiske. Vi kan s? plotte disse funksjonene for ? f? modellen av atmosf?ren:
Det kan kanskje v?re vanskelig ? se n?r de to modellene brukes i grafene, s? her er de vist i forskjellig farge:
Denne modellen for atmosf?ren er langt fra perfekt, vi kunne ha tatt med i antakelse at gravitasjonskonstanten endrer seg ved h?yden. Det kan ogs? godt hende at gassene vi fant i atmosf?reanalysen ga gale tall. Begge disse vil ha effekt p? hvordan kurven ser ut. Det er heller ikke helt riktig ? anta at atmosf?ren er adiabatisk og isoterm. Disse vil ogs? gi oss andre verdier. Allikevel, er dette en grei nok modell til ? simulere atmosf?ren.