Det har g?tt noen uker siden vi sendte Michelle ut i verdensrommet. Vi forst?r det om dere lesere har blitt bekymret over at vi ikke har publisert s?rlig mange oppdateringer om hvordan det g?r med henne der ute. Men frykt ikke, vi har fulgt med helt siden hun forlot. Vi har skrevet en logg som inneholder alt av viktige hendelser helt siden oppskytning. F?r vi tar en titt p? loggen m? vi forklare hvordan vi kan f? Michelle til ? f?lge ruten vi planla, som skulle ta henne frem til naboplaneten Vicinus.
N?r vi planla reisen tok vi utgangspunkt i datasimuleringer. Slike simuleringer vil alltid v?re utsatt for regnefeil som gj?r at virkeligheten kan bli litt annerledes enn forventet. Heldigvis har vi utstyrt Michelle med hjelpemidler som kan hjelpe henne ? orientere seg der ute. Det gj?r at vi kan f?lge med p? om hun beveger seg slik vi forventet eller ikke. Dersom hun beveger seg annerledes, har hun rakettmotorer med ekstra drivstoff som vi kan bruke til ? f? henne inn p? riktig kurs igjen.
F?r hun rekker ? komme seg ut av banen vi planla m? hun f? en hastighet som er annerledes enn forventet. Derfor kan vi hele tiden f?lge med p? hastigheten hennes og se om den stemmer overens med slik vi planla at den skulle v?re. Dersom den ikke stemmer, kan vi beregne og utf?re den n?dvendige boosten for ? f? henne inn i riktig bane igjen.
Den n?dvendige boosten er enkel ? regne ut n?r man jobber med vektorer. Dersom Michelle burde hatt hastigheten \(\vec{v}_0\) i et punkt, men istedenfor har en hastighet \(\vec{v}\) kan vi beregne forskjellen \(\Delta \vec{v} = \vec{v}_0 - \vec{v}\). Denne forskjellen er n?yaktig den boosten vi trenger for ? gi Michelle riktig hastighet, slik at hun f?lger banen vi planla.
Hvis vi gj?r ting riktig, klarer vi ? korrigere bevegelsen slik at vi kan f?lge n?yaktig den planen vi har lagt opp til for ? f? Michelle frem til Vicinus. Men vi vil ikke at hun skal lande der med én gang. F?rst vil vi f? henne inn i en stabil bane rundt planeten, slik at vi kan se etter gode steder ? lande mens vi studerer atmosf?ren. Jo mer sirkul?r banen er, jo mer stabil vil den v?re. Da gjelder det at tyngdeakselerasjonen er en sentripetalakselerasjon:
\(m \frac{v_{stabil}^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}\)
der m er massen til Michelle, M er massen til Vicinus, v er Michelles hastighet relativt til Vicinus og r er avstanden mellom dem. Da f?r vi at hastigheten for en stabil bane er:
\(v_{stabil} = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)
Merk at dette er relativt til Vicinus i tangentiell retning. Her kommer en liten utfordring til leserne. Klarer du ? bruke figuren til h?yre til ? vise at hastigheten p? vektorform blir f?lgende uttrykk?
\(\vec{v}_{stabil} = [-\sqrt{\frac{GM}{r}} \sin{\theta}, \sqrt{\frac{GM}{r}} \cos{\theta}]\)
Til slutt m? vi konvertere til solsystemets referansesystem. Da m? vi plusse p? hastigheten til Vicinus, siden Michelle skal bevege seg sammen med Vicinus gjennom solsystemet:
\(\vec{v}_{stabil} = [-\sqrt{\frac{GM}{r}} \sin{\theta}, \sqrt{\frac{GM}{r}} \cos{\theta}] + \vec{v}_{vicinus}\)
Siden vi har beregnet planetbanene fra f?r, vet vi hvilken hastighet Vicinus kommer til ? ha n?r vi kommer frem. Vi har allerede regnet ut at Michelle m? komme seg innenfor en avstand
\(l = | \vec{r}_* | \sqrt{\frac{M_p}{10M_*}}\)
for at gravitasjonskraften fra Vicinus skal dominere over gravitasjonskraften fra sola. Merk at \(| \vec{r}_* |\) er avstanden til stjerna, \(M_p\) er massen til Vicinus og \(M_*\) er massen til sola. Det betyr at med én gang vi kommer innenfor denne avstanden, utf?rer vi en boost
\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_{stabil} - \vec{v}\)
S? lenge vi f?r gjort alt dette riktig, b?r det v?re nok til ? f? Michelle inn i en stabil bane rundt Vicinus. Med alt dette i bakhodet er vi klare til ? ta en titt p? loggen med alt vi har gjort i l?pet av Michelles reise mot Vicinus:
Logg: Michelles reise mot Vicinus
Dag 0. Loggf?rer: William Eivik Olsen. Tidspunkt: t = 0.5997 ?r siden vi forlot jorden.
Jeg la nettopp ut det f?rste innlegget p? bloggen v?r for ? forklare prosjektet til de der hjemme p? jorden. Vi har gjennomf?rt n?dvendige tester og simuleringer av motoren til Michelle, som vi kommer til ? skrive blogginnlegg om veldig snart. I tillegg har vi planlagt reisen hennes og installert n?dvendig programvare for at hun skal orientere seg i verdensrommet. Vi kommer til ? prioritere ? forske p? solsystemet f?r vi legger ut blogginnlegg om dette. Planen for reisen er f?lgende:
- Ved t = 0.6 ?r: Skyt opp med vinkel \(\theta = \frac{9}{4}\pi\) fra x-aksen
- Ved t = 0.68 ?r: Boost raketten med 1.84 AU/yr med vinkel \(\theta = \frac{9}{10}\pi\) fra x-aksen. (Dvs. \(\Delta \vec{v} = [-1.87943985, 0.61066702]\) AU/yrs) Bekreft at vi ikke g?r tom for drivstoff under boosten.
- Folde hendene sammen og be om at det her skal g?.
Vi forventer at Michelle n?r frem til Vicinus etter 50 dager. N? gleder vi oss til oppskytning i morgen!
Dag 1. Loggf?rer: William Eivik Olsen. Tidspunkt: t = 0.6 ?r siden vi forlot jorden.
I dag gjennomf?rte vi oppskytningen, og det gikk veldig fint bortsett fra et par sm? problemer. Hastigheten ble ganske annerledes kort tid etter oppskytningen. Derfor ble vi n?dt til ? legge inn en boost omtrent ni timer inn i reisen:
Boost ved t = 0.6001: \(\Delta \vec{v} = [0.42286456, 0.18703384]\) AU/yrs
Hastigheten fikk enda et avvik fra det den skulle v?re allerede ni timer etter dette igjen. Derfor m?tte vi gjennomf?re enda en boost:
Boost ved t = 0.6002: \(\Delta \vec{v} = [0.33340439, 0.1630564]\) AU/yrs
Vi hadde ikke forventet at vi skulle v?re n?dt til ? gjennomf?re to boosts s? kort tid inn i oppskytningen. Dette skyldes sannsynligvis at vi brukte for store tidssteg n?r vi simulerte oppskytningen tidligere. Siden Michelle fortsatt er veldig n?rt hjemplaneten Domum, virker det en ganske stor gravitasjonskraft p? henne. I simuleringen v?r regner vi ut kreftene og oppdaterer posisjonen i diskrete tidssteg. Det gj?r at hvis tidsstegene er for store, rekker hun ? komme seg et stykke vekk fra Domum i hvert tidssteg. Dermed vil ikke gravitasjonskraften f? utf?rt alt det arbeidet den egentlig skulle, og Michelle ser ut til ? komme seg vekk fra Domum med en st?rre fart enn hun burde hatt.
Dersom denne forklaringen stemmer, trenger vi ikke ? bekymre oss for at vi kommer til ? trenge ? sitte oppe dag og natt for ? f?lge med p? at ting g?r som det skal. Bevegelsen ser forel?pig slik ut:
Dag 2. Loggf?rer: Peder Hauge. Tidspunkt: t = 0.6003 ?r siden vi forlot jorden.
Det ser ut til at vi hadde rett i hva som var problemet med simuleringene v?re. N? f?lger Michelle banen ganske n?yaktig slik hun skal.
Dag 18. Loggf?rer: William Eivik Olsen. Tidspunkt: t = 0.65 ?r siden vi forlot jorden.
Michelle har fulgt banen sin veldig fint frem til n?. V?r opprinnelige plan var at vi skulle gjennomf?re en boost ved t = 0.68. For at denne skal fungere som planlagt er det viktig at Michelle har n?yaktig den hastigheten hun skulle hatt. Derfor gjennomf?rer vi en liten korrigerende boost:
Boost ved t = 0.65: \(\Delta \vec{v} = [0.03830461, 0.13076222]\) AU/yrs
Slik ser reisen hennes ut frem til n?:
Dag 29. Loggf?rer: Peder Hauge. Tidspunkt: t = 0.68 ?r siden vi forlot jorden.
N? har vi kommet frem til tidspunktet for boosten vi opprinnelig planla. Siden vi gjorde en korrigerende boost for noen dager siden b?r den planlagte boosten fungerte akkurat som forventet.
Boost ved t = 0.68: \(\Delta \vec{v} = [-1.87943985, 0.61066702]\) AU/yrs
Reisen hittil:
Dag 36. Loggf?rer: Peder Hauge. Tidspunkt: t = 0.7 ?r siden vi forlot jorden
Michelle begynner ? n?rme seg Vicinus. Hun f?lger kursen sin nesten helt perfekt. Vi gj?r en liten korreksjon for ? v?re sikre p? at ting g?r som de skal.
Boost ved t = 0.70: \(\Delta \vec{v} = [0.00866025, 0.005]\) AU/yrs
Reisen hittil:
Dag 50. Loggf?rer: William Eivik Olsen. Tidspunkt: t = 0.737 ?r siden vi forlot jorden
N? har dagen endelig kommet! Michelle er veldig n?r Vicinus. For ? f? med seg hvordan det g?r, f?r vi henne til ? filme en video av Vicinus. Vi sitter og venter p? at hun skal komme s? n?rt at gravitasjonskraften fra Vicinus skal dominere over gravitasjonskraften fra sola. Men hun kommer inn s?pass fort at det blir vanskelig for oss ? time den siste boosten riktig. Derfor skal vi f?rst bremse henne ned til omtrent 20% av farten:
Boost ved t = 0.73789: \(\Delta \vec{v} = [5.98636004, -3.30436468]\) AU/yrs
Med formelen vi fant for stabil bane beregner vi den aller siste boosten som trengs:
Boost ved t = 0.737897: \(\Delta \vec{v} = [-5.48024638, -0.11979542]\) AU/yrs
Og n? er vi fremme!
De neste dagene m? vi f?lge med p? at Michelle holder seg i en stabil bane rundt Vicinus.
Dag 55. Loggf?rer: William Eivik Olsen. Tidspunkt: t = 0.75 ?r siden vi forlot jorden
Michelle er fortsatt i bane rundt Vicinus. Hun har spilt inn video helt siden dag 50 (her i fortfilm):
Dette ser jo veldig fint ut! Det eneste som er litt rart er at banen ikke ser s? veldig sirkul?r ut. Vi m? ha gjort noen feil i beregningene av stabil hastighet. Hvor stor er denne feilen? Michelle har orientert seg og sendt informasjon om posisjon og hastighet, som vi har brukt til ? beregne egenskapene til banen hennes. Resultatene er f?lgende:
Eksentrisitet: \(0.223\)
Lengste halvakse: \(3.16 \cdot 10^{-5}\) AU
Korteste halvakse: \(3.08 \cdot 10^{-5}\) AU
Periode: \(3.32 \cdot 10^{-4}\) ?r
Apoapse: \(3.86 \cdot 10^{-5}\) AU
Periapse: \(2.45 \cdot 10^{-5}\) AU
Dersom du ikke husker hva alt dette betydde, sjekk ut dette innlegget.
Som vi husker er eksentrisiteten et m?l p? hvor utstrakt ellipsen er p? en skala fra 0 til 1. En ellipse med eksentrisitet 0 er en perfekt sirkel, mens en med eksentrisitet \(\approx\) 1 er s? utstrakt som den kan v?re. Michelles eksentrisitet er ikke helt nede i 0, men den er heller ikke veldig h?y. Banen ligner faktisk ganske mye p? banen til Merkur, planeten med h?yest eksentrisitet hjemme i solsystemet v?rt. Den har en verdi p? ca. 0.2. Merkur har holdt seg noks? stabilt i banen rundt solen v?r, s? vi velger ? akseptere dette som et godt nok resultat.
N? er alts? Michelle i bane rundt Vicinus! Hun har allerede sendt oss data som vi skal bruke til ? analysere Vicinus sin atmosf?re og bestemme hvor vi skal lande. Blogginnlegg om dette forventes ? v?re klart tirsdag 20. november. F?lg med!
Logg inn for ? kommentere